第二节n维向量组的极大线性无关组.ppt
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1、3.4 向量组的极大线性无关组,问:其中线性无关的部分组最多可以包含多少个向量?,定义1 若向量组 中的每一个向量都可以由向量组 线性表示,则称向量组 可由向量组线性表示,若向量组 和 可以互相线性表示,则称两个向量组等价,一、等价的向量组,向量组 可由 线性表示,即,向量组 可由 线性表示等价于存在 的 矩阵 使,若向量组 和 等价,等价向量组的性质:,1. 自反性:一个向量组与其自身等价,2. 对称性:若向量组 和 等价,则向量组 和 等价。,3. 传递性:若向量组 和 等价,向量组 和 等价,则向量组 和 等价。,定理1 设 中的两个向量组 和 若向量组 可由 线性表示,且 ,则向量组
2、线性相关,少的表示多的,多 的一定线性相关,注:1. ,不能相等;,2. 时,结论不一定成立.,(证明略),推论1 若向量组 可由向量组 线性表示,又已知 线性无关,则必有,推论2:两个线性无关的向量组互相等价,则它 们所含的向量个数相等,注:若只是等价的向量组,它们所含的向量 个数未必相等,定理1的逆否命题:,极大线性无关组等价定义,二 极大线性无关组,1.一个向量组的极大线性无关组可能不唯一,2.向量组和其极大线性无关组等价,(一个向量组的任何两个极大线性无关组都等价),3.一个向量组的极大线性无关组所含的向量个数唯一确定。,注:,三 向量组的秩与矩阵的秩的关系,定理2 矩阵A的行初等变换
3、不改变A的列向量组的线性相关性和线性组合关系,定义 一个向量组的极大线性无关组所含的向量个数称为向量组的秩. 线性无关的向量组的秩等于向量组的向量的个数.,例2,等于它的行向量组的秩.,定理 3 矩阵的秩等于它的列向量组的秩, 也,求向量组的最大无关组的步骤:,例3:设有向量组,(1)求向量组的秩,并讨论它的线性相关性。,(2)求向量组的一个极大线性无关组。,(3)把其余向量表示成为该极大线性无关组的 线性组合,解:取,(1)向量组即为A的列向量R(A)=2, 所以向量组的秩为2。,(2) 为向量组的一个极大线性无关组,(3),推论:设A 为 矩阵,秩 ,则有:,(1)当r=m 时,A 的行向
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