2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程学案新人教A版选修1_120170.wps
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1、2.3.12.3.1 抛物线及其标准方程 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.(重点) 2.会求简单的抛物线的方程.(重点) 3.了解抛物线的实际应用.(难点) 4.能区分抛物线标准方程的四种形式.(易混点) 基础初探 教材整理 抛物线的定义与标准方程 阅读教材 P56P58“”思考 部分,完成下列问题. 1.抛物线的定义 平面内与一个定点 F和一条定直线 l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F叫做抛物线 的焦点,直线 l叫做抛物线的准线 . 2.抛物线的标准方程 四种不同标准形式的抛物线方程 图形 标准 y22px y22px x22py x2 2py 方程 (p0) (p0) (p0
2、) (p0) 焦点 p p p p (,0 ) ( ,0) (0,2 ) (0,2) 2 2 坐标 准线 p x 2 p x 2 p y 2 p y 2 方程 判断(“正确的打”“,错误的打 ”) (1)标准方程 y22px(p0)中的 p的几何意义是焦点到准线的距离.( ) 1 (2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定.( ) (3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线.( ) (4)抛物线可看作双曲线的一支.( ) 【答案】 (1) (2) (3) (4) 小组合作型 求抛物线的标准方程 求适合下列条件的抛物线的标准方程,并写出它们的准线方程和焦点坐标. (
3、1)过点(3,2); (2)焦点在直线 x2y40 上; 5 (3)焦点到准线的距离为 . 2 【精彩点拨】 本题主要考查抛物线标准方程的求法,解题的关键是明确标准方程的类型 和参数 p的值. 【自主解答】 (1)点(3,2)在第二象限, 设抛物线方程为 y22px或 x22py(p0). 4 9 将点(3,2)代入方程,得 2p 或 2p . 3 2 4 当焦点在 x轴上时,所求抛物线方程是 y2 x, 3 1 1 其焦点为( ,0),准线方程为 x ; 3 3 9 当 焦点在 y轴上时,所求抛物线方程为 x2 y, 2 9 9 其焦点为(0,8 ),准线方程为 y . 8 (2)令 x0,
4、 由方程 x2y40,得 y2. 抛物线的焦点为 F(0,2). 设抛物线方程为 x22py(p0), p 则由 2,得 2p8, 2 所求抛物线方程为 x28y. 令 y0,由方程 x2y40,得 x4. 2 抛物线的焦点为 F(4,0). 设抛物线方程为 y22px(p0), p 则由 4,得 2p16, 2 所求抛物线方程为 y216x. 综上,所求抛物线方程为 x28y或 y216x. 其准线方程为 y2 或 x4, 焦点坐标为(0,2)或(4,0). 5 5 (3)由焦点到准线的距离为 ,可知 p . 2 2 所求抛物线方程为 y25x或 y25x或 x25y或 x25y. 求抛物线
5、方程,通常用待定系数法,若能确定抛物线的焦点位置,则可设出抛物线的标准 方程,求出 p值即可.若抛物线的焦点位置不确定,则要分情况讨论.焦点在 x轴上的抛物线方 程可设为 y2axa0,焦点在 y轴上的抛物线方程可设为 x2aya0 . 再练一题 1.根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1)准线方程为 y1; 【导学号:97792027】 (2)焦点在 x轴的正半轴上,焦点到准线的距离是 3. p 【解】 (1)由准线方程为 y1 知抛物线焦点在 y轴正半轴上,且 1,则 p2.故抛 2 物线的标准方程为 x24y. (2)设焦点在 x轴的正半轴上的抛物线的标准方程为 y22px(p0),
6、p p 则焦点坐标为(,0 ),准线为 x , 2 2 p p 则焦点到 准线的距离是| 2|p3, 2 因此所求的抛物线的标准方程是 y26x. 抛物线的实际应用 喷灌的喷头装在直立管柱 OA的顶点 A处,喷出水流的最高点 B高 5m,且与 OA所 在的直线相距 4 m,水流落在以 O为圆心,半径为 9 m 的圆上,则管柱 OA的长是多少? 【精彩点拨】 根据题意先建立坐标系,设出抛物线方程,把实际问题转化为数学问题. 【自主解答】 如图所示,建立直角坐标系,设水流所形成的抛物线的方程为 x22py(p 0), 3 因为点 C(5,5)在抛物线上, 所以 252p(5),因此 2p5, 所以
7、抛物线的方程为 x25y, 点 A(4,y0)在抛物线上, 所以 165y0, 16 即 y0 , 5 16 所以 OA 的长为 5 1.8 (m). 5 所以管柱 OA 的长为 1.8 m. 在建立抛物线的标准方程时,常以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立坐 标系,这样可使得标准方程不仅具有对称性,而且曲线过原点,方程不含常数项,形式更为简 单,便于应用. 再练一题 2.某河上有一座抛物线形的拱桥,当水面距拱顶 5 m 时,水面宽 8 m,一木船宽 4 m,高 2 m,载货的木船露在水面上的部分为 0.75 m,当水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能 通航? 【解】 以桥的拱
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