2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题:第十一章 计数原理、随机变量及其概率分布 11.2 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 11.2 排列与组合 排列与组合 考情考向分析 以理解和应用排列、组合的概念为主,常常以实际问题为载体,考查分类讨 论思想,考查分析、解决问题的能力,题型以解答题为主,难度为中档 1排列与组合的概念 名称定义 排列按照一定的顺序排成一列 组合 从n个不同元素中取出m(mn)个元素 合成一组 2.排列数与组合数 (1)排列数的定义:从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有排列的个数叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的排列数,用 A 表示 m n (2)组合数的定义:从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有组合的个数,叫做从 n
2、个不 同元素中取出 m 个元素的组合数,用 C 表示 m n 3排列数、组合数的公式及性质 公 式 (1)A n(n1)(n2)(nm1) m n n! nm! (2)C m n Am n Am m nn1n2nm1 m! n! m!nm! 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 性 质 (3)0!1;A n! n n (4)C C;CC C_ m nnmnmn1m nm1n 概念方法微思考 1排列问题和组合问题的区别是什么? 提示 元素之间与顺序有关的为排列,与顺序无关的为组合 2排列数与组合数公式之间有何关系?它们公式都有两种形式,如何选择使用? 提示 (1)排列数与组合数之间的联系为
3、 C A A . m nm mm n (2)两种形式分别为:连乘积形式;阶乘形式 前者多用于数字计算,后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证 3解排列组合综合应用问题的思路有哪些? 提示 解排列组合综合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手“分析” 是找出题目的条件、结论,哪些是“元素” ,哪些是“位置” ;“分辨”就是辨别是排列还是 组合,对某些元素的位置有无限制等;“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成 互相排斥的几类,然后逐类解决;“分步”就是把问题化成几个相互联系的步骤,而每一步 都是简单的排列组合问题,然后逐步解决 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(
4、请在括号中打“”或“”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列( ) (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (3)(n1)!n!nn!.( ) (4)若组合式 C C ,则 xm 成立( ) x nm n (5)kC nC.( ) k nk1n1 题组二 教材改编 2P29 习题 T56 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为_ 答案 24 解析 “插空法” ,先排 3 个空位,形成 4 个空隙供 3 人选择就座,因此任何两人不相邻的坐 法种数为 A 43224. 3 4 3 P24 习题 T7某校拟从 4
5、 名男教师和 5 名女教师中各选 2 名教师开设公开课, 则男教师 A 和女教师 B 至少有一名被选中的不同选法的种数是_ 答案 42 解析 从4名男教师和5名女教师中各选2名教师开设公开课, 所有的选法种数是C C 60. 2 42 5 男教师 A 和女教师 B 都没有被选中的选法种数是 C C 18,故男教师 A 和女教师 B 至少 2 32 4 有一名被选中的不同选法的种数是 601842. 题组三 易错自纠 4六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有 _种 答案 216 解析 第一类:甲在最左端,有 A 54321120(种)排法; 5 5 第二类:
6、乙在最左端,甲不在最右端, 有 4A 4432196(种)排法 4 4 所以共有 12096216(种)排法 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 5为发展国外孔子学院,教育部选派 6 名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文,若每 个国家至少去一人,则不同的选派方案种数为_ 答案 540 解析 依题意,选派方案分为三类:一个国家派 4 名,另两个国家各派 1 名,有A C4 6C1 2C1 1 A2 2 90(种); 一个国家派 3 名, 一个国家派 2 名, 一个国家派 1 名, 有 C C C A 360(种); 3 33 62 31 13 3 每个国家各派 2 名,有A 90(种
7、), C2 6C2 4C2 2 A3 3 3 3 故不同的选派方案种数为 9036090540. 6 寒假里 5 名同学结伴乘动车外出旅游, 实名制购票, 每人一座, 恰在同一排 A, B, C, D, E 五个座位(一排共五个座位),上车后五人在这五个座位上随意坐,则恰有一人坐对与自己车 票相符座位的坐法有_种(用数字作答) 答案 45 解析 设 5 名同学也用 A,B,C,D,E 来表示,若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法, 设 E 同学坐在自己的座位上,则其他四位都不坐自己的座位,则有 BADC,BDAC,BCDA, CADB,CDAB,CDBA,DABC,DCAB,DCBA,共 9 种
8、坐法,则恰有一人坐对与自己车票 相符座位的坐法有 9545(种) 题型一 排列问题 1用 1,2,3,4,5 这五个数字,可以组成比 20 000 大,并且百位数不是数字 3 的没有重复数字 的五位数,共有_个 答案 78 解析 根据题意知, 要求这个五位数比 20 000 大, 则首位必须是 2,3,4,5 这 4 个数字中的一个, 当首位是 3 时,百位数不是数字 3,符合要求的五位数有 A 24(个); 当首位是 2,4,5 时,由 4 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 于百位数不能是数字 3,则符合要求的五位数有 3(A A )54(个),因此共有 5424 4 43 3
9、 78(个)这样的五位数符合要求 2某高三毕业班有 40 人,同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言,那么全班共写了 _条毕业留言(用数字作答) 答案 1 560 解析 由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从 40 人中任选两人的排列数, 所以全 班共写了 A 40391 560(条)留言 2 40 36 名同学站成 1 排照相,要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边,共有_种不 同站法 答案 480 解析 方法一 (位置优先法)先从其他 5 人中安排 2 人站在最左边和最右边,再安排余下 4 人的位置,分为两步: 第 1 步,从除甲外的 5 人中选 2 人站在最左边和最右边,有 A 种站
10、法; 2 5 第 2 步,余下 4 人(含甲)站在剩下的 4 个位置上,有 A 种站法 4 4 由分步计数原理可知,共有 A A 480(种)不同的站法 2 54 4 方法二 (元素优先法)先安排甲的位置(既不站在最左边又不站在最右边), 再安排其他 5 人的 位置,分为两步: 第 1 步,将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上,有 A 种站法; 1 4 第 2 步,余下 5 人站在剩下的 5 个位置上,有 A 种站法 5 5 由分步计数原理可知,共有 A A 480(种)不同的站法 1 45 5 思维升华 排列应用问题的分类与解法 (1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素
11、分析法,在实际进行排列时 一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 多的问题可以采用间接法 (2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件 的排列问题的常用方法 题型二 组合问题 例 1 男运动员 6 名,女运动员 4 名,其中男、女队长各 1 名现选派 5 人外出参加比赛,在 下列情形中各有多少种选派方法? (1)男运动员 3 名,女运动员 2 名; (2)至少有 1 名女运动员; (3)队长中至少有 1 人参加; (4)既要有队长,又要有女运动员 解 (1)分两步完成:
12、 第一步,选 3 名男运动员,有 C 种选法; 3 6 第二步,选 2 名女运动员,有 C 种选法由分步计数原理可得,共有 C C 120(种)选法 2 43 62 4 (2)方法一 “至少有 1 名女运动员”包括以下四种情况: 1 女 4 男,2 女 3 男,3 女 2 男,4 女 1 男 由分类计数原理可得总选法共有 C C C C C C C C 246(种) 1 44 62 43 63 42 64 41 6 方法二 “至少有 1 名女运动员”的反面为“全是男运动员” ,可用间接法求解 从 10 人中任选 5 人有 C种选法,其中全是男运动员的选法有 C 种所以“至少有 1 名女 5 1
13、05 6 运动员”的选法有 C C 246(种) 5 105 6 (3)方法一 (直接法)可分类求解: “只有男队长”的选法种数为 C ; 4 8 “只有女队长”的选法种数为 C ; 4 8 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 “男、女队长都入选”的选法种数为 C , 3 8 所以共有 2C C 196(种)选法 4 83 8 方法二 (间接法)从 10 人中任选 5 人有 C种选法, 5 10 其中不选队长的方法有 C 种所以“至少有 1 名队长”的选法有 C C 196(种) 5 85 105 8 (4)当有女队长时,其他人任意选,共有 C 种选法;当不选女队长时,必选男队长,共有
14、 C 4 94 8 种选法,其中不含女运动员的选法有 C 种,所以不选女队长时的选法共有(C C )种所以 4 54 84 5 既要有队长又要有女运动员的选法共有 C C C 191(种) 4 94 84 5 思维升华 组合问题常有以下两类题型变化: (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含” ,则先将这些元素取出,再由另外元 素补足;“不含” ,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取 (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型 : 解这类题必须十分重视“至少”与“至多” 这两个关键词的含义,谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类 复杂时,考虑逆向思维,用
15、间接法处理 跟踪训练 1 某市工商局对 35 种商品进行抽样检查,已知其中有 15 种假货现从 35 种商品 中选取 3 种 (1)其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种? (2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种? (3)恰有 2 种假货在内,不同的取法有多少种? (4)至少有 2 种假货在内,不同的取法有多少种? (5)至多有 2 种假货在内,不同的取法有多少种? 解 (1)从余下的 34 种商品中,选取 2 种有 C 561(种)取法, 2 34 某一种假货必须在内的不同取法有 561 种 (2)从 34 种可选商品中,选取 3 种,有 C种或者 C C C 5 984(种)
16、取法 3 343 352 343 34 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 某一种假货不能在内的不同取法有 5 984 种 (3)从 20 种真货中选取 1 种,从 15 种假货中选取 2 种有 C C 2 100(种)取法 1 202 15 恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2 100 种 (4)选取 2 种假货有 C C种, 选取 3 种假货有 C种, 共有选取方式 C C C 2 100455 1 202 153 151 202 153 15 2 555(种) 至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种 (5)方法一 (间接法) 选取 3 种的总数为 C ,因此共有选
17、取方式 3 35 C C 6 5454556 090(种) 3 353 15 至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种 方法二 (直接法) 选取 3 种真货有 C种,选取 2 种真货有 C C种,选取 1 种真货有 C C种, 3 202 201 151 202 15 因此共有选取方式 C C C C C 6 090(种) 3 202 201 151 202 15 至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种 题型三 组合数的性质 例 2 (2016江苏)(1)求 7C 4C 的值; 3 64 7 (2)设 m,nN*,nm,求证: (m1)C (m2)C(m3)CnC(n
18、1)C (m1)C. m mmm1mm2mn1m nm2n2 (1)解 7C 4C 7204350. 3 64 7 (2)证明 当 nm 时,结论显然成立 当 nm 时,(k1)C m k k1k! m!km! 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (m1) k1! m1!k1m1! (m1)C, m1k1 km1,m2,n. 又因为 CCC, m1k1m2k1m2k2 所以(k1)C (m1)(CC), m km2k2m2k1 km1,m2,n. 因此,(m1)C (m2)C(m3)C(n1)C m mmm1mm2m n (m1)C (m2)C(m3)C(n1)C m mmm1mm2m
19、 n (m1)C(m1)(CC)CC(CC) m2m2m2m3m2m2m2m4m2m3m2n2m2n1 (m1)C. m2n2 思维升华 (1)组合数的性质可结合实际问题理解记忆 (2)利用 kC nC和 CCC 可有效解决一些常见组合数的求和问题 k nk1n1mn1m1nm n 跟踪训练 2 已知 m,nN*,定义 fn(m). nn1n2nm1 m! (1)求 f4(2),f4(5)的值; (2)证明:k2kfn(k)2n3n1. 2n k1 (1)解 f4(2)6,f4(5)0. 4 3 2! 4 3 2 1 0 5! (2)证明 fn(m)Error! 当 n1 时,k2kfn(k)
20、22n3n1,等式成立 2n k1 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当 n2 时,k2kfn(k)12fn(1)222fn(2)323fn(3)n2nfn(n) 2n k1 12C 222C 323C n2nC , 1 n2 n3 nn n 由于 k C k k n n! k!nk! n n C, n1! k1!n1k1! k1n1 所以k2nfn(k)n2Cn22Cn23Cn2nC2n(12)n12n3n 2n k1 0n11n12n1n1n1 1, 综上所述,nN*,k2kfn(k)2n3n1成立 2n k1 题型四 排列与组合的综合问题 命题点 1 相邻问题 例 3 为配合足
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