通用版2020版高考数学大一轮复习第24讲正弦定理和余弦定理的应用学案理新人教A版20190313369.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第 24 讲 正弦定理和余弦定理的应用第 24 讲 正弦定理和余弦定理的应用 1.仰角和俯角:与目标线在同一铅垂平面内的 和目标视线的夹角,目标视线在水 平视线 的叫仰角,目标视线在水平视线 的叫俯角,如图 3-24-1(a)所示. (a) (b) (c) (d) 图 3-24-1 2.方位角:指从 顺时针转到目标方向线的水平角,如图 3-24-1(b)中B点的方位角 为. 3.方向角:相对于某正方向的 ,如北偏东,即由正北方向顺时针旋转到达目标 方向(如图 3-24-1(c),其他方向角类似. 4.坡角:坡面与 所成的二面角的度数(如图 3-24-
2、1(d)所示,坡角为). 坡比:坡面的铅直高度与 之比(如图 3-24-1(d)所示,i为坡比). 题组一 常识题 1. 教材改编 海上有A,B,C三个小岛,A,B相距 5海里,从A岛望C和B成 45视角,从3 B岛望C和A成 75视角,则B,C两岛间的距离是 海里. 2. 教材改编 某人向正东方向走了x km 后,向右转 150,然后沿新方向走了 3 km,结果他离 出发点恰好 km,那么x的值为 . 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 3. 教材改编 如图3-24-2所示,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C 处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处2
3、.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为,则tan 等 于 . 图 3-24-2 图 3-24-3 4. 教材改编 如图 3-24-3 所示,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内 的两个观测点C与D.现测得BCD=,BDC=,CD=s,并在点C处测得塔顶A的仰角为, 则塔高AB= . 题组二 常错题 索引:仰角、 俯角概念不清;方向角概念不清;方位角概念不清;不能将空间问题转化为解三 角形问题. 5.在某次测量中,在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是 60,C点的俯角是 70,则 BAC= . 图 3-24-4 6.如图3-24-4所示,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A
4、在观察站南偏西40 的方向,灯塔B在观察站南偏东 60的方向,则灯塔A相对于灯塔B的方向角是 . 7.已知点A在点B南偏西 20的方向,若以点B为基点,则点A的方位角是 . 8.某起重装置的示意图如图 3-24-5 所示,已知支杆BC=10 m,吊杆AC=15 m,吊索AB=5 m,19 则起吊的货物与岸的距离AD为 m. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 图 3-24-5 探究点一 测量距离问题 例1 2018南京师大附中月考 如图3-24-6所示,A,B,C三个警亭有直道相通,已知A在B 的正北方向 6 千米处,C在B的正东方向 6千米处.3 (1)若警员甲从C出发,沿CA行至点
5、P处,此时CBP=45,求P,B两点间的距离. (2)若警员甲从C出发沿CA前往A,警员乙从A出发沿AB前往B,两人同时出发,甲的速度为3 千米/时,乙的速度为6千米/时.两人通过专用对讲机保持联系,乙到达B后原地等待,直到甲 到达A时任务结束.若对讲机的有效通话距离最大为9千米,试求两人通过对讲机能保持联系 的总时长. 图 3-24-6 总结反思 求距离即是求一条线段的长度,把该线段看作某个三角形的边,根据已知条件求 出该三角形的部分元素后,即可使用正弦定理或者余弦定理求该边的长度. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 变式题 2018青岛二模 如图 3-24-7 所示,A,B两点在
6、河的两岸,一名测量者在A的同侧河 岸边选定一点C,测出A,C两点的距离为 50 m,ACB=45,CAB=105,则A,B两点间的距 离为( ) 图 3-24-7 A.50 m2 B.50 m3 C.25 m2 D. m 252 2 探究点二 测量高度问题 例 2 2018衡水中学月考 如图 3-24-8 所示,在山顶有一座信号塔CD(CD所在的直线与地 平面垂直),在山脚A处测得塔尖C的仰角为,沿倾斜角为的山坡向上前进l米后到达B 处,测得C的仰角为. 图 3-24-8 (1)求BC的长; (2)若l=24,=45,=75,=30,求信号塔CD的高度. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可
7、打印 总结反思 高度也是两点之间的距离,其解法同求解水平面上两点间距离的方法是类似的, 基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中,使用正、余弦定理 或其他相关知识求出该高度. 变式题 如图 3-24-9 所示,为了测量一棵树的高度,在地上选取A,B两点,从A,B两点分别测 得树尖的仰角为 30,45,且A,B两点之间的距离为 60 m,则树的高度为( ) 图 3-24-9 A.(30+30) m3 B.(30+15) m3 C.(15+30) m3 D.(15+3) m3 探究点三 测量角度问题 例3 如图3-24-10所示,某渔船在航行中不幸遇险,发出呼救信号,某舰艇
8、在A处获悉后,立即 测出该渔船在方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为 40,距离为 15 海里 的C处,并测得渔船正沿方位角为 100的方向,以 15 海里/时的速度航行,该舰艇立即以 15 海里/时的速度沿直线前去营救,若舰艇与渔船恰好在B处相遇,求舰艇与渔船相遇所需3 的时间和舰艇的航向. 图 3-24-10 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 总结反思 测量 “角度” 即是求一个角的大小,把该角看作某个三角形的内角,根据已知条 件求出该三角形的一些元素后,使用正弦定理或者余弦定理解三角形即得. 变式题 如图3-24-11所示,在坡角为的山坡上的一点A处测得山顶上一建
9、筑物CD的顶端C 对于山坡的斜度为 15,向山顶前进 10 米后到达点B,又从点B测得C对于山坡的斜度为, 建筑物的高CD为 5 米. 图 3-24-11 (1)若=30,求AC的长; (2)若=45,求此山坡的坡角的余弦值. 第 24 讲 正弦定理和余弦定理的应用 考试说明 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实 际问题. 【课前双基巩固】 知识聚焦 1.水平视线 上方 下方 2.正北方向 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 3.水平角 4.水平面 水平长度 对点演练 1.5 解析 由题可知ACB=60,由正弦定理得=,即=,得2 AB sinACB
10、BC sinBAC 53 sin60 BC sin45 BC=5.2 2.2或 解析 如图所示,应有两种情况.由正弦定理,得=,sin A=33 AC sin30 BC sinA 3 1 2 3 ,A=60或A=120.当A=60时,AB=2;当A=120时,AB=. 3 2 33 3. 解析 由题意可得,在ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且+ACB=. 231 5 由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB,即 3.52=1.42+2.82- 21.42.8cos(-),解得 cos =,所以 sin =, 5 16 231 16 所以 ta
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