数学建模姜启源第三章简单的优化模型.ppt
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1、第三章 简单的优化模型,3.1 存贮模型 3.2 生猪的出售时机 3.3 森林救火 3.4 最优价格 3.5 血管分支 3.6 消费者均衡 3.7 冰山运输,现实世界中普遍存在着优化问题,静态优化问题指最优解是数(不是函数),建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数,求解静态优化模型一般用微分法,静 态 优 化 模 型,3.1 存贮模型,问 题,配件厂为装配线生产若干种产品,轮换产品时因更换设 备要付生产准备费,产量大于需求时要付贮存费。该厂 生产能力非常大,即所需数量可在很短时间内产出。,已知某产品日需求量100件,生产准备费5000元,贮存费 每日每件1元。试安排该产品的
2、生产计划,即多少天生产 一次(生产周期),每次产量多少,使总费用最小。,要 求,不只是回答问题,而且要建立生产周期、产量与 需求量、准备费、贮存费之间的关系。,问题分析与思考,每天生产一次,每次100件,无贮存费,准备费5000元。,日需求100件,准备费5000元,贮存费每日每件1元。,10天生产一次,每次1000件,贮存费900+800+100 =4500元,准备费5000元,总计9500元。,50天生产一次,每次5000件,贮存费4900+4800+100 =122500元,准备费5000元,总计127500元。,平均每天费用950元,平均每天费用2550元,10天生产一次平均每天费用最
3、小吗?,每天费用5000元,这是一个优化问题,关键在建立目标函数。,显然不能用一个周期的总费用作为目标函数,目标函数每天总费用的平均值,周期短,产量小,周期长,产量大,问题分析与思考,模 型 假 设,1. 产品每天的需求量为常数 r;,2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2;,3. T天生产一次(周期), 每次生产Q件,当贮存量 为零时,Q件产品立即到来(生产时间不计);,建 模 目 的,设 r, c1, c2 已知,求T, Q 使每天总费用的平均值最小。,4. 为方便起见,时间和产量都作为连续量处理。,模 型 建 立,贮存量表示为时间的函数 q(t),t=0生产Q件,q(
4、0)=Q, q(t)以 需求速率r递减,q(T)=0.,一周期 总费用,每天总费用平均 值(目标函数),离散问题连续化,一周期贮存费为,A=QT/2,模型求解,求 T 使,模型分析,模型应用,c1=5000, c2=1,r=100,回答问题,经济批量订货公式(EOQ公式),每天需求量 r,每次订货费 c1,每天每件贮存费 c2 ,,用于订货、供应、存贮情形,不允许缺货的存贮模型,问:为什么不考虑生产费用?在什么条件下才不考虑?,T天订货一次(周期), 每次订货Q件,当贮存量降到 零时,Q件立即到货。,允许缺货的存贮模型,A,B,当贮存量降到零时仍有需求r, 出现缺货,造成损失,原模型假设:贮存
5、量降到零时Q件立即生产出来(或立即到货),现假设:允许缺货, 每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足,一周期贮存费,一周期缺货费,周期T, t=T1贮存量降到零,一周期总费用,每天总费用 平均值 (目标函数),一周期总费用,求 T ,Q 使,为与不允许缺货的存贮模型相比,T记作T , Q记作Q,不允许缺货模型,记,允许缺货模型,允许缺货模型,注意:缺货需补足,Q每周期初的存贮量,每周期的生产量R (或订货量),Q不允许缺货时的产量(或订货量),3.2 生猪的出售时机,饲养场每天投入4元资金,用于饲料、人力、设备,估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。,问题,市场价格目前为每千克8元,但是预
6、测每天会降低 0.1元,问生猪应何时出售。,如果估计和预测有误差,对结果有何影响。,分析,投入资金使生猪体重随时间增加,出售单价随时间减少,故存在最佳出售时机,使利润最大,求 t 使Q(t)最大,10天后出售,可多得利润20元,建模及求解,生猪体重 w=80+rt,出售价格 p=8-gt,销售收入 R=pw,资金投入 C=4t,利润 Q=R-C=pw -C,估计r=2,,若当前出售,利润为808=640(元),t 天出售,=10,Q(10)=660 640,g=0.1,敏感性分析,研究 r, g变化时对模型结果的影响,设g=0.1不变,t 对r 的(相对)敏感度,生猪每天体重增加量r 增加1%
7、,出售时间推迟3%。,敏感性分析,研究 r, g变化时对模型结果的影响,设r=2不变,t 对g的(相对)敏感度,生猪价格每天的降低量g增加1%,出售时间提前3%。,强健性分析,保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售,由 S(t,r)=3,建议过一周后(t=7)重新估计 , 再作计算。,研究 r, g不是常数时对模型结果的影响,w=80+rt w = w(t),p=8-gt p =p(t),若 (10%), 则 (30%),3.3 森林救火,森林失火后,要确定派出消防队员的数量。 队员多,森林损失小,救援费用大; 队员少,森林损失大,救援费用小。 综合考虑损失费和救援费,确定队员数量。,问题
8、分析,问题,记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t).,损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定.,救援费f2(x)是x的增函数, 由队员人数和救火时间决定.,存在恰当的x,使f1(x), f2(x)之和最小,关键是对B(t)作出合理的简化假设.,问题分析,失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 画出时刻 t 森林烧毁面积B(t)的大致图形,分析B(t)比较困难,转而讨论森林烧毁速度dB/dt.,模型假设,3)f1(x)与B(t2)成正比,系数c1 (烧毁单位面积损失费),1)0tt1, dB/dt 与 t成
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