线代复习终极资料2.PPT
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1、第二章 重点,注:用矩阵的初等变换可解决: 判别矩阵是否可逆并求可逆矩阵的逆矩阵; 解矩阵方程; 求矩阵的秩; 求矩阵的标准形。 (矩阵的初等变换还有许多用处,见以后各章),矩阵可逆的判别、矩阵的秩的概念、 矩阵的初等变换。,1. 逆矩阵的运算规则,(A,B皆为方阵),三、一些结论,2. n 阶方阵A可逆的充要条件,A可逆,3. 关于矩阵秩的关系式,第三、四章内容总结,一、理论发展脉络,秩、最大 无关组,线性相关,基、维数,向量组等 价讨论,基础解 系、维数,解的结构,1 向量,解线性方程组,矩阵的秩,求向量组 的秩和最 大无关组,2 矩阵,求向量空 间的基和 维数,判别向量 组的线性 相关性
2、,求向量在 基下的坐标,解矩阵方程,求可逆矩阵的逆矩阵,2 若向量组 是向量空间V的一个基,则 V可表示为,一些概念:向量空间、基和维数、生成向量空间、子空间,向量空间,1 等价的向量组所生成的向量空间相同。,一些结论,结论2表明,此时V中向量可用一个统一的式子表出。,内容 回顾,定义 称解空间S的基为方程组 AX=0 的基础解系。,结论 2 若R(A)= r , 则解空间S的维数等于 nr 。 (其中 n 为方程组中未知变量的个数),结论 1 齐次线性方程组 AX=0 的解的全体是一个向量 空间。(记为 S,称S为解空间。),称(*)式为齐次方程组AX=0的通解。,B,解:应填 .,03年考
3、研题,以上命题中正确的是,练 习,例 (P94 例 2)求解方程组,解 对系数矩阵施行初等行变换变为行最简形,同解方 程组:,通解 为:,例 设A,B都是 n 阶方阵, 且AB= 0, 证明 R(A)+R(B)n,见P94例3,证 将矩阵 B 按列分块,则,由 AB = 0,即B的每一个列向量皆为方程组 AX=0 的解向量。,又若R(A)= r,则解空间S的维数:维(S)=nr。,非齐次线性方程组,设有非齐 次方程组,向量 形式,矩阵形式 AX=b 其中Amn为系数矩阵 (6),结论 对非齐次方程组(4)来说,下面四种说法等价:, 方程组(4)有解; 向量 b 能由向量组 a1, a2, ,a
4、n 线性表示; 向量组 a1, a2, ,an 与向量组 a1, a2, ,an , b 等价; 矩阵 A= (a1, a2, ,an ) 与B= (a1, a2, ,an , b)的秩相等。,通常称 A为系数矩阵,称 B= (A,b)为增广矩阵。,定理 1 非齐次方程组有解的充分必要条件为:它的系数 矩阵A与增广矩阵B的秩相等。,即 AX= b 有解 充要条件为 R(A)= R(B)。 故知 当R(A) R(B)时,方程组无解。,利用增广矩阵,方程组(4)的解的判定条件常表述为:,非齐次方程组的解的结构。,性质 2,非齐次方程的通解 = 对应齐次方程的通解 + +非齐次方程的一个特解,是对应
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