三年高考(2017_2019)高考数学真题分项汇编专题18计数原理理(含解析).pdf
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1、1 专题 18 计数原理专题 18 计数原理 1【2019 年高考全国卷理数】(1+2x2 )(1+x)4的展开式中x3的系数为 A12B16C20 D24 【答案】A 【解析】由题意得x3的系数为,故选 A 31 44 C2C4812 【名师点睛】本题主要考查二项式定理,利用展开式通项公式求展开式指定项的系数 2【2018 年高考全国卷理数】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德 巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”,如在不超过 30 的素数中,30723 随机选取两个不同的数,其和等于 30 的概率是 ABCD 1 12 1 14 1 15 1
2、18 【答案】C 【解析】不超过 30 的素数有 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共 10 个,随机选取两个不同的数, 共有种方法,其和等于 30 的有 3 种方法,分别是 7 和 23,11 和 19,13 和 17,所以随机选取 2 10 C45 两个不同的数,其和等于 30 的概率为,选 C 31 = 4515 3【2018 年高考全国卷理数】的展开式中的系数为 5 2 2 x x 4 x A10B20C40D80 【答案】C 【解析】由题可得的展开式的通式为,令, 5 2 2 x x 5 210 3 155 2 CC2 r r rrrr r Txx x 1034r
3、得,所以展开式中的系数为故选 C2r 4 x 22 5 C240 4 【2017 年高考全国卷理数】安排 3 名志愿者完成 4 项工作,每人至少完成 1 项,每项工作由 1 人完成, 则不同的安排方式共有 A12 种B18 种C24 种D36 种 【答案】D 【解析】由题意可得,一人完成两项工作,其余两人每人完成一项工作,据此可得,只要把工作分成三 份:有种方法,然后进行全排列,由乘法原理,不同的安排方式共有种故选 D 2 4 C 23 43 CA36 2 【名师点睛】 (1)解排列组合问题要遵循两个原则:按元素(或位置)的性质进行分类;按事情发生 的过程进行分步具体地说,解排列组合问题常以元
4、素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置), 再考虑其他元素(或位置) (2)不同元素的分配问题,往往是先分组再分配在分组时,通常有三种类型:不均匀分组;均 匀分组;部分均匀分组注意各种分组类型中,不同分组方法的求解 5【2017 年高考全国卷理数】展开式中的系数为 6 2 1 (1)(1)x x 2 x A15B20C30D35 【答案】C 【解析】因为,而展开式中含的项为 666 22 11 (1)(1)1 (1)(1)xxx xx 6 (1)x 2 x ,展开式中含的项为,故所求展开式中的系数为 222 6 1 C15xx 6 2 1 (1)x x 2 x 442 6 2 1 C15
5、xx x 2 x ,选 C15 1530 【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题,用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项,分析含 的项共有几项,进行相加即可这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况,尤 2 x 其是两个二项展开式中的不同r 6【2017 年高考全国卷理数】的展开式中的系数为 5 2xyxy 33 x y ABC40D808040 【答案】C 【解析】,由展开式的通项公式 555 222xyxyxxyyxy 5 2xy 可得:当时,展开式中的系数为; 5 15 C2 rr r r Txy 3r 5 2xxy 33 x y 3 32 5 C2140 当时,展开式中
6、的系数为,则的系数为2r 5 2yxy 33 x y 2 23 5 C2180 33 x y804040 故选 C 【名师点睛】 (1)二项式定理的核心是通项公式,求解此类问题可以分两步完成:第一步根据所给出的 条件(特定项)和通项公式, 建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件, 即n,r 均为非负整数,且nr,如常数项指数为零、有理项指数为整数等);第二步是根据所求的指数,再求 所求解的项 (2)求两个多项式的积的特定项,可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解 7【2019 年高考浙江卷理数】在二项式的展开式中,常数项是_;系数为有理数的项 9 ( 2)x 的个数是_
7、3 【答案】16 25 【解析】由题意,的通项为,当时,可得常数项为 9 ( 2)x 9 19 C ( 2)(0,1,29) rrr r Tx r 0r ;若展开式的系数为有理数,则,有共 5 个项故 09 19 C ( 2)16 2T 1,3,5,7,9r= 246810 T , T , T , T , T 答案为:, 16 2 5 【名师点睛】此类问题解法比较明确,首要的是要准确记忆通项公式,特别是“幂指数”不能记混,其 次,计算要细心,确保结果正确 8 【2018 年高考全国卷理数】从 2 位女生,4 位男生中选 3 人参加科技比赛,且至少有 1 位女生入选, 则不同的选法共有_种 (用
8、数字填写答案) 【答案】16 【解析】根据题意,没有女生入选有种选法,从 6 名学生中任意选 3 人有种选法, 3 4 C4 3 6 C20 故至少有 1 位女生入选,则不同的选法共有种,故答案为:1620416 【名师点睛】该题是一道关于组合计数的题目,并且在涉及到至多、至少问题时多采用间接法,即利用 总的减去没有女生的选法种数,该题还可以用直接法,分别求出有 1 名女生和有 2 名女生分别有多少种 选法,之后用加法运算求解 9 【2018 年高考江苏卷)某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生,现从中任选 2 名学生去参加活动,则恰好选 中 2 名女生的概率为_ 【答案】 3 10 【解析】
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