《几何与代数》科学出版社习题解析第四章.ppt
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1、,几何与代数,关秀翠,东南大学数学系,习题解析第四章,教学内容和学时分配,第四章 n维向量, 能由向量组 I:1,s线性表示,r(A)=r(A,), Ax = 有解., L(1,2,s) = R(A),1,2,s与1,2,t等价,L(1,2,s)=L(1,2,t),r(A)=r(A,B)=r(B), 矩阵方程 AX=B, BY=A都有解.,1, ,t能由1,s线性表示 AX=B 有解.,等价的向量组(相同个数)构成的矩阵必等价(相抵).,一、向量组的线性表示与等价,反之不成立,x11+x22+xss= 只在x1=x2=xs=0时成立.,(1,s)x= 只有零解., (1,s)x=Ax= 有非零
2、解,向量组1,s-1,s线性相关,向量组1,s-1,s 线性无关, r(A) s, r(A) = s =向量个数, 某个向量i可由其余的向量线性表示.,共线共面的推广,唯一表示定理: I l.i.,I,l.d.可由I 唯一线性表示.,Th4.3 大向量组由小向量组线性表示大向量组l.d.,Th4.5. 若I可由II线性表示, 则秩(I)秩(II); 且这两个向量组等价 秩(I)=秩(II).,反之不成立,二、向量组的线性相关与线性无关,三、向量组的极大无关组,(i) I0l.i.; (ii)II0,I0,l.d. I可由I0线性表示,命题:如果r(1,2,s)= r, 则1,2,s中任意 r个
3、线性无关的向量均为1,2,s的极大无关组.,极大无关组不唯一,任两个极大无关组都等价.,向量空间V的基为向量组V中的极大无关组.,V的维数为向量组的秩.,齐次线性方程组的解空间V=xRn| Ax=0的基础解系为向量组V的极大无关组, V的维数为nr(A).,四、向量空间,V Rn,对加法数乘封闭,Rn本身,e1, e2, , en,n,零空间,无,0,齐次线性方程组的解空间 xRn|Ax = , ARmn,Ax = 的基础解系,n r(A),生成子空间L(1, ,s) = k11+ kss|k1,ksR,1, , s的 极大无关组,1, , s的秩,A的秩,A的列向量组的 极大无关组,矩阵A的
4、列空间, 即L(A1,A2, An),n r(A),Ax = 的基础解系,A的秩,A的列向量组的 极大无关组,A的核空间或零空间K(A)=xRn|Ax= ,A的值域R(A)= Ax|xRn=L(A1,A2, An),五、向量的内积,向量空间基和维数,一. 内积和正交性,二. 标准正交基和Schmidt正交化方法,线性相关,共线共面,基,直角坐标系,标准正交基,维数,仿射坐标系,三. 正交矩阵,维数,将l.i.向量化为标准正交向量组,Q(QT)正交QTQ=E Q1=QT Q列(行)向量组标准正交,基础解系本质是解向量组的极大无关组, 维数为n-r(A),r(A,b) = r(A)+1 Ax=b无
5、解b不能由A的列向量 组线性表示直线(或平面)间无公共点; (2) r(A,b)=r(A)=n Ax=b有唯一解 b可由A的列向 量组唯一地线性表示 直线(或平面)间有唯一公共点; (3) r(A,b)= r(A)n Ax=b有无穷多解, 且通解中含有 nr(A)个自由变量, Ax=0的基础解系有nr(A)个解向量 b可由A的列向量组线性表示, 但表示方式不唯一 直线(或平面)重合或平面交于一条直线.,x = 0 + k11 +knrnr .,六. 线性方程组的解的结构,齐次线性方程组的基础解系,非齐次线性方程组的一般解,作业中的问题:,作业中的问题,证明一组向量线性无关时,最好不要假设它们
6、线性相关,再令线性组合等于0;而是直接令线性 组合等于0,再证明所有的组合系数都等于0.,将向量组写成矩阵时,要事先说明向量是列向量还是行向量,并注意区分向量组等价及矩阵等价.,第四章 n维向量,A成立的充要条件是B成立.,即A成立 当且仅当 B成立.,即A成立 B成立.,既要证明必要性“”,又要证明充分性“”,8. 设a,b为参数, 讨论向量组 的秩; 并问a,b为何值时, 向量组线性无关?,解: 令,A中含有一个二阶非零子式, r(A)2,当a=0或b=1/3时,r(A) = 2.,当a0且b 1/3时,r(A) = 3,向量组线性无关.,习题解析,第二章 n维向量,11. 设1,2,s线
7、性均为n维向量, 1=1, 2= 1+2, 3= 1+2+3, s= 1+2+s, 证明:1, 2, , s线性无关 1,2,s线性无关.,证1:,第二章 n维向量,设1,2,s线性无关.,则 k11+k2(1+2)+ + ks(1+2+s) = .,习题解析,证明充分性:,设 k11+k22+ + kss = .,即 (k1+ + ks)1+ (k2+ + ks)2+ +kss = .,因为1,2,s线性无关.,所以1, 2, , s线性无关.,11. 设1,2,s线性均为n维向量, 1=1, 2= 1+2, 3= 1+2+3, s= 1+2+s, 证明:1, 2, , s线性无关 1,2,
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