地下建筑结构-第03章-弹性地基梁.ppt
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1、弹性地基梁理论,1. 概述,定义:,弹性地基梁,是指搁置在具有一定弹性地基上,各点与地基紧密相贴的梁 。如铁路枕木、钢筋混凝土条形基础梁,等等。,作用:通过这种梁,将作用在它上面的荷载,分布到较大面积的地基上,既使承载能力较低的地基,能承受较大的荷载,又能使梁的变形减小,提高刚度降低内力。,1. 概述,地下建筑结构的计算,与弹性地基梁理论有密切关系。地下建筑结构弹性地基梁可以是平放的,也可以是竖放的,地基介质可以是岩石、粘土等固体材料,也可以是水、油之类的液体介质。弹性地基梁是超静定梁,其计算有专门的一套计算理论。,1. 荷载种类和组合,弹性地基梁与普通梁的区别:,普通梁只在有限个支座处与基础
2、相连,是有限个 未知力 ,弹性地基梁具有无穷多个支点和无穷多个 未知反力。 超静定次数是无限还是有限,这是它们的一个主要区别 普通梁的支座通常看作刚性支座,即可以略去地基 的变形,只考虑梁的变形,弹性地基梁则必须同时 考虑地基的变形。 地基的变形是考虑还是略去,这是它们的另一个 主要区别。,2. 弹性地基梁的计算模型,计算模型分类:,.,局部弹性地基模型 2. 半无限体弹性地基模型,局部弹性地基模型,1867年前后,温克尔(E.Winkler)假设: 地基表面任一点的沉降与该点单位面积上所受的压力成正比。即,(3-1),优点:,可以考虑梁本身的实际弹性变形,消除了反力直线分布假设中的缺点。,局
3、部弹性地基模型,缺点:,没有反映地基的变形连续性,故温克尔假设不能全面反映地基梁的实际情况。,2. 半无限体弹性地基模型,把地基看作一个均质、连续、弹性的半无限体(所谓 半无限体是指占据整个空间下半部的物体,即上表面 是一个平面,并向四周和向下方无限延伸的物体)。,假设:,优点:,1、地基的连续整体性;2、几何物理上简化模型,缺点:,1、地基土非连续;2、地基土非均质;,3.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式及其初参数解,基本假设:,1.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式,左图所示为局部弹性地基梁上的长为l、宽度为b单位宽度1的等截面直梁,在荷载 及Q作用下,梁和地基的沉陷为 ,梁与地基之间的反力为
4、。 在局部弹性地基梁的计算中,通常以沉陷函数 作为基本未知量,地基梁在外荷载 、 Q作用下产生变形,最终处于平衡状态,选取坐标系xoy,外荷载,地基反力,梁截面内力及变形正负号规定如右图所示。,1.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式,为建立 应满足的挠曲微分方程,在梁中截取一微段 ,考察该段的平衡有:,得:,得:,化简得:,将上式对于x求导得:,略去二阶微量得:,(3-2),(3-3),(3-4),如果梁的挠度已知,则梁任意截面的转角Q,弯矩M,剪力Q可按材料力学中的公式来计算,即:,1.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式,此即为弹性地基梁的挠曲微分方程式,令 , 若地基梁宽度为b,则有,2. 对应齐
5、次微分方程的通解,上面推导得弹性地基梁的挠曲微分方程式是一个四阶常系数线性非齐次微分方程,令式中,,即得对应齐次微分方程:,由微分方程理论知,上述方程的通解由四个线性无关的特解组合而成。为寻找四个线性无关的特解,令,并代入上式有:,由复数开方根公式得:,是与梁和地基的弹性性质相关的一个综合参数,反映了地基梁与地基的相对刚度,对地基梁的受力特性和变形有重要影响,通常把,(3.7),(3.8),(3.9),常系数齐次线性微分方程,一般形式,(8),二阶,(9),设想(9)有形式解 y = erx (为什么?),(10),r2 + pr + q = 0,故有,(10)式称为(9)的特征方程, 分三种
6、情形讨论,(i) = p2 4q 0, (10)有两个不等实根 r1, r2.,(9)的通解为,代入得,(r2 + pr + q ) erx = 0,(ii) = 0, r1= r2( = r),此时 y1 = erx .,(9)的通解为,(iii) 0, r1,2 = i 为一对共轭复根.,得(9)的两个复数形式的解,Y1 = e( + i)x,Y2 = e( i)x,由叠加原理, 知,也是(9)的解, 且线性无关,故(9)的通解为,特征根,方程的通解,一对共轭复根r1,2= i,两个不等的实根r1, r2,两个相等的实根r1=r2=r,( 0),解:特征方程是,r2 r 6 = 0,其根r
7、1=3, r2= 2是两个相异实根, 故所求通解为,y = C1e3x + C2e2x.,例8. 求解方程 4y + 12y + 9y = 0.,解:特征方程是,4r2 +12r + 9 = 0.,此方程有二重实根,故所求通解为,例9. 求解方程 y6y+13y=0.,解:特征方程是,r2 6r + 13 = 0.,其根 r1,2=32i为一对共轭复根,故所求通解为,特征根,对应的线性无关的特解,(1) 单实根 r,r1,2=i,(2) k重实根 r,(3)一对单复根,r=i,(4)一对k重复根,( 0),( 0),表12-1,例10. 求解方程,y(4) 2y + 5y = 0.,解:特征方
8、程为,r42r3+5r2=0.,对应线性无关的特解为y1=1, y2=x, y3=excos2x, y4= exsin2x, 故所求通解为,其根为r1= r2=0, r3,4=12i.,2. 对应齐次微分方程的通解,由上式(3.8),分别令时k=1,2,3时,即可得四个线性无关的特解,将其进行组合并引入四个积分常数,即得齐次微分方程式(3.7)的通解;,利用双曲函数关系:,且令,则有,式中B1、B2、B3、及B4均为待定积分常数,式(3.10)和式(3.11)均为微分方程(3.7)的通解,在不同的问题中,有各自不同的方便之处。,(3.10),(3.11),(一)初参数法,3. 初参数解,由式(
9、3.11),再据式(3.5)有,(3.12),式(3.12)中积分常数B1、B2、B3、B4的确定是一个重要环节,梁在任一截面都有四个参数量,即挠度y、转角 、弯矩M、剪力Q、而初始截面(x=o)的四个参数 、 、 、 就叫做初参数。,用初参数法计算了弹性地基梁的基本思路是,把四个积分常数改用四个初参数来表示,这样做的好处是: 使积分常数具有明确的物理意义; 根据初参数的物理意义来寻求简化计算的途径。,3. 初参数解,(二)用初参数表示积分常数,如图3.4所示,梁左端的四个边界条件(初参数)为,(3.13),将上式代入式(3.12),解出积分常数得:,(3.14),3. 初参数解,再将式(3.
10、14)代入式(3.12),并注意 ,则有,(3.15),3. 初参数解,其中,、 、 、 及称为双曲线三角函数,它们之间有如下微分关系:,3. 初参数解,式(3.7)等价于地基梁仅在初参数作用下的挠曲微分方程,式(3.6)等价于地基梁既有初参数作用,又有外荷载作用的挠曲微分方程,其特解项就是仅在外荷载作用下引起的梁挠度的附加项。下面根据梁上作用的各种形式荷载分别加以讨论。,4. 弹性地基梁挠曲微分方程的特解,(一)集中荷载作用的特解项,1、集中力作用的特解项。,如图3.5为一弹性地基梁,O端作用有初参数 、 、 、 ,A点有集中力p。设y1为OA段的挠度表达式,y2为AB段的挠度表达式,由梁上
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- 地下 建筑结构 03 弹性 地基
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