2019数学新设计北师大选修2-1精练:第二章 空间向量与立体几何 2.6含答案.pdf
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1、6 距离的计算距离的计算 课后训练案巩固提升巩固提升 A 组 1.已知向量 n=(1,0,-1)与直线 l 垂直,且 l 经过点 A(2,3,1),则点 P(4,3,2)到 l 的距离为( ) A.B.C.D. 解析:n=(1,0,-1)与直线 l 垂直, n 的单位向量 n0=. 又l 经过点 A(2,3,1), =(2,0,1), 在 n 上的投影n0=(2,0,1).点 P 到 l 的距离为. 答案:B 2.已知平面 的一个法向量 n=(-2,-2,1),点 A(-1,3,0)在平面 内,则点 P(-2,1,4)到 的距离为( ) A.10B.3C.D. 解析: 的一个法向量为 n=(-
2、2,-2,1), n0=. 又点 A(-1,3,0)在 内,=(-1,-2,4), 点 P 到平面 的距离为|n0|=. 答案:D 3.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 a,则点 A1到对角线 BC1所在的直线的距离为( ) A.aB.aC.aD. 解析:建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A1(a,0,a),B(a,a,0),C1(0,a,a). =(0,a,-a),=(-a,0,a). |=a,|=a. 点 A1到 BC1的距离 d=a. 答案:A 4. 导学号 90074046如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,M,N 分别是线段 BB1,B1C1
3、的中点,则直线 MN 与平面 ACD1间的距离是( ) A.B.C.D. 解析:如图, 建立空间直角坐标系,则 A(1,0,0),D1(0,0,1),M,N,C(0,1,0). 所以=(-1,0,1),. 所以.又直线 AD1与 MN 不重合, 所以 MNAD1.又 MN平面 ACD1, 所以 MN平面 ACD1. 因为=(-1,0,1),=(0,1,-1), 设平面 ACD1的法向量 n=(x,y,z), 则所以 所以 x=y=z.令 x=1,则 n=(1,1,1). 又因为-(1,0,0)=,所以点 M 到平面 ACD1的距离 d=. 故直线 MN 与平面 ACD1间的距离为. 答案:D
4、5. 如图,在长方体 ABCD-ABCD中,AB=2,BC=3,AA=4,则点 B 到直线 AC 的距离为 . 解析:AB=2,BC=3,AA=4,则 B(2,0,0),C(2,3,0),A(0,0,4), =(0,0,4)-(2,3,0)=(-2,-3,4), =(2,0,0)-(2,3,0)=(0,-3,0), 上的投影为 =. 点 B 到直线 AC 的距离 d= =. 答案: 6. 如图,已知ABC是以B为直角的直角三角形,SA平面ABC,SA=BC=2,AB=4,M,N,D分别是SC,AB,BC的中点, 则点 A 到平面 SND 的距离为 . 解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则 N
5、(0,2,0),S(0,0,2),D(-1,4,0),=(0,-2,2),=(-1,4,-2).设平面 SND 的 法向量为 n=(x,y,1). n=0,n=0, n=(2,1,1).=(0,0,2), 点 A 到平面 SND 的距离为. 答案: 7. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,侧棱 PA底面 ABCD,AB=,BC=1,PA=2,E 为 PD 的中点.在侧 面 PAB 内找一点 N,使 NE平面 PAC,并分别求出点 N 到 AB 和 AP 的距离. 解建立如图所示的空间直角坐标系,则由题意有 A(0,0,0),C(,1,0),D(0,1,0),P(0,0,
6、2),E. 所以=(,1,0),=(0,0,2). 因为点 N 在侧面 PAB 内,故可设点 N 的坐标为(x,0,z),则. 由 NE平面 PAC,可得 即 化简,得所以 即点 N 的坐标为,从而点 N 到 AB 和 AP 的距离分别为 1,. 8.已知三棱柱 ABC-A1B1C1是各条棱长均为 a 的正三棱柱,D 是侧棱 CC1的中点.求点 C 到平面 AB1D 的距离. 解 (方法一)如图,连接 A1B,交 AB1于点 M,连接 DM,则 DM平面 AA1B1B,所以 A1BDM.又=()( )=|2-|2=0, A1BAB1. A1B平面 AB1D. 即是平面 AB1D 的一个法向量.
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