2019版二轮复习数学(理·重点生)通用版:专题跟踪检测(五) “导数与函数的零点问题”考法面面观含解析.pdf
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1、专题跟踪检测(五)专题跟踪检测(五) “导数与函数的零点问题”考法面面观“导数与函数的零点问题”考法面面观 1(2018全国卷全国卷)已知函数已知函数 f(x) x3a(x2x1) 1 3 (1)若若 a3,求,求 f(x)的单调区间;的单调区间; (2)证明:证明:f(x)只有一个零点只有一个零点 解:解:(1)当当 a3 时,时,f(x) x33x23x3, 1 3 f(x)x26x3. 令令 f(x)0,解得,解得 x32或或 x32.33 当当 x(,32)(32,)时,时,f(x)0;33 当当 x(32,32)时,时,f(x)0, 所以所以 f(x)0 等价于等价于3a0. x3
2、x2x1 设设 g(x)3a, x3 x2x1 则则 g(x)0, x2 x 2 2x 3 x 2 x 1 2 仅当仅当 x0 时,时,g(x)0, 所以所以 g(x)在在(,)上单调递增上单调递增 故故 g(x)至多有一个零点,从而至多有一个零点,从而 f(x)至多有一个零点至多有一个零点 又又 f(3a1)6a22a 6 2 0, 1 3 (a 1 6) 1 6 1 3 故故 f(x)有一个零点有一个零点 综上,综上,f(x)只有一个零点只有一个零点 2(2018郑州第一次质量预测郑州第一次质量预测)已知函数已知函数 f(x)ln x , ,aR 且且 a0. 1 ax 1 a (1)讨论
3、函数讨论函数 f(x)的单调性;的单调性; (2)当当 x时,试判断函数时,试判断函数 g(x)(ln x1)exxm 的零点个数的零点个数 1 e, ,e 解:解:(1)f(x)(x0), ax 1 ax2 当当 a0 恒成立,恒成立, 函数函数 f(x)在在(0,)上单调递增;上单调递增; 当当 a0 时,由时,由 f(x)0,得,得 x ; ax 1 ax2 1 a 由由 f(x)0 时,函数时,函数 f(x)在上单调递增,在上单调递减在上单调递增,在上单调递减 ( 1 a, , ) (0, , 1 a) (2)当当 x时,判断函数时,判断函数 g(x)(ln x1)exxm 的零点,即
4、求当的零点,即求当 x时,时, 1 e, ,e 1 e, ,e 方程方程(ln x1)exxm 的根的根 令令 h(x)(ln x1)exx, 则则 h(x)ex1. ( 1 x ln x1) 由由(1)知当知当 a1 时,时,f(x)ln x 1 在上单调递减,在在上单调递减,在(1,e)上单调递增,上单调递增, 1 x ( 1 e, ,1 1) 当当 x时,时,f(x)f(1)0. 1 e, ,e ln x10 在在 x上恒成立上恒成立 1 x 1 e, ,e h(x)ex1010, ( 1 x ln x1) h(x)(ln x1)exx 在上单调递增在上单调递增 1 e, ,e h(x)
5、minh2e , ,h(x)maxe. ( 1 e) 1 e 1 e 当当 me 时,函数时,函数 g(x)在上没有零点;在上没有零点; 1 e 1 e 1 e, ,e 当当2e me 时,函数时,函数 g(x)在上有一个零点在上有一个零点 1 e 1 e 1 e, ,e 3(2018贵阳模拟贵阳模拟)已知函数已知函数 f(x)kxln x1(k0) (1)若函数若函数 f(x)有且只有一个零点,求实数有且只有一个零点,求实数 k 的值;的值; (2)证明:当证明:当 nN*时,时,1 ln(n1) 1 2 1 3 1 n 解:解:(1)法一:法一:f(x)kxln x1,f(x)k (x0,
6、k0), 1 x kx 1 x 当当 0 时,时,f(x)0. 1 k 1 k f(x)在在 0, 上单调递减,在 ,上单调递增, 上单调递减,在 ,上单调递增 1 k 1 k f(x)minfln k, ( 1 k) f(x)有且只有一个零点,有且只有一个零点,ln k0,k1. 法二:由题意知方程法二:由题意知方程 kxln x10 仅有一个实根,仅有一个实根, 由由 kxln x10,得,得 k(x0), ln x 1 x 令令 g(x)(x0),g(x), ln x 1 x ln x x2 当当 00; 当当 x1 时,时,g(x)ln, n 1 n 1 n n 1 n 1 ln ln
7、 lnln(n1), 1 2 1 3 1 n 2 1 3 2 n 1 n 故故 1 ln(n1) 1 2 1 3 1 n 4.已知函数已知函数 f(x)ax3bx2(c3a2b)xd 的图象如图所示的图象如图所示 (1)求求 c,d 的值;的值; (2)若函数若函数 f(x)在在 x2 处的切线方程为处的切线方程为 3xy110,求函数,求函数 f(x)的解析 式; 的解析 式; (3)在在(2)的条件下,函数的条件下,函数 yf(x)与与 y f(x)5xm 的图象有三个不同的交点,求的图象有三个不同的交点,求 m 1 3 的取值范围的取值范围 解:函数解:函数 f(x)的导函数为的导函数为
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