数论综合练习题(2).pdf
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1、数论综合练习题 【练习 1 】三个连续自然数的乘积等于 39270 。这三个连续自然数的和等于多少? 【练习 2 】两名运动员进行一场乒乓球比赛,采取三局两胜制。每局先得 11 分者为胜, 如果打到 10 平,则先多得 2 分者为胜。结果三局比赛下来,单方最高得分都不超过 20 分,把每人每局得分乘在一起恰为 480480 。请问:各局的比分分别是多少?(按大比小的 方式写出) 【练习3】从 1!, 2!, 3!, ,100!这 100 个数中去掉一个数,使得剩下各数的乘积 是一个完全平方数。请问:被去掉的那个数是什么? 【练习 4】已知 51 位数 55 55 999 能被 13 整除,中间
2、方格内的数字是多少? 25 个 525 个 9 【练习 5】在六位数11 11 中的两个方框内各填入一个数字,使此数能被17 和 19 整除。 方框中的两位数是多少? 【练习 6 】所有 70 的倍数中,共有多少个数恰有 70 个约数? 【练习 7 】4 个运动员进行乒乓球比赛,他们的号码分别为 101 、126、 173、193。规定每 两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以 3 所得的余数。请问:比赛盘数最多的运动员打 了多少盘? 【练习 8 】有一个大于 1 的整数,用它除 300 、262、205 得到相同的余数,求这个数。 【练习 9】已知 21! AB0909421717094 CD
3、000 ,那么四位数ABCD是多少? 【练习 10】a 、b 是自然数, a 进制数47 a和 b 进制数74b相等, ab 的最小值是多少? 【练习 11】 22003与20032的和除以 7 的余数是 _ 【练习 12 】有 2 个三位数相乘的积是一个五位数,积的后四位是 1031 ,第一个数各个位 的数字之和是 10 ,第二个数的各个位数字之和是 8 ,求两个三位数的和。 【练习 13】一个自然数除429、791、500 所得的余数分别是 a 5 、 2a 、a,求这个自然 数和 a 的值 . 【练习 14】计算 (32003 1) 除以 26 的余数 【练习15】把7 位数2ABCDE
4、F变成7 位数ABCDEF2 ,已知新7 位数比原7 位数大 3591333,求( 1)原 7 位数是几,(2)如果把汉语拼音字母顺序编为 1 26 号,且以所求得 原 7 位数的前四个数字组成的两个两位数2 A 和 BC 所对应的拼音字母拼成一个汉字,再以后 三个数字D,E,F分别对应的拼音字母拼成另一个汉字,请写出由这两个汉字组成的词。 答案 【答案 1】39270 2 3 5 7 11 17 ,按大数配小数的原则,17 2 34 ,11 3 33, 7 5 35 , 所以这三个连续自然数的和是33+34+35=102 【答案 2】 480480 480 1001 25 3 5 7 11
5、13 因为最高得分不超过20 分, 13 只能单独, 13 超过了 11 分,所以另一得分是 11 或是 15,3 5=15 分, (1)当另一得分为 15 分时,则 7 可以配 2 的 14 分,刚好剩余了 4 个 2 ,等于 16 分,所以三场比赛是 16:14 ;15:13 ;11:1 。 (2)当另一得分为 11 分时,则超过 11 分的可以有 12 分、 14 分与 15 分;无法构成。 所以各局比分是:16:14 ; 15:13 ; 11:1 。 2 100 , 98! 97! 2 98 2 2 ,则【答案 3】100! 99! 99! 97! , 2! 1! 1! 从 1 !,2
6、!,3!一直到 100!的乘积可转化为: 1! 2! 100! 2 2 4 100 1! 2! 100! 2 250 1 2 50 , 则被去掉的那个数为 50! 。 【答案 4】令该 51 位数为 55 55 a 99 9 ,则根据能被13 整除的特征,三位一段,奇数段 25 个 525 个 9 之和与偶数段之和的差如果是 13 的倍数,则其为 13 的倍数。 奇数段之和为: 999 999 999 5a9 555 555 555 ; 偶数段之和为: 999 999 999 555 555 555 其差为: 5a9 ,则 5a9 应为 13 的倍数。则a 5 【答案 5】采用试除法 .设六位
7、数为11ab11,11ab11 11 10000 ab00 11 110011 ab00 如果一个数能同时被17 和 19 整除,那么一定能被 323 整除 110011 323 340191,余 191 也可以看成不足 323 191 132 所以当 ab00132323n 时,即ab00是100的倍数时,六位数才是323的倍数 所以有 323n 的末位只能是10 2 8 ,所以n只能是 6 ,16 ,26, 验证有 n 16 时, 132323165300 ,所以原题的方框中填入5 , 3 得到的 115311 满足题 意 【答案 6 】设 70 的 N 倍恰有 70 个约数。 70=2
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