韦达定理与根与系数的关系测试题.pdf
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1、根与系数的关系练习题 一、选择题 1若 1 x, 2 x是一元二次方程013 2 xx的两个根,则 21 11 xx 的值是() A2 B1 C 1 D3 2 若 关 于x 的 一 元 二 次 方 程 22 430xkxk的 两 个 实 数 根 分 别 是 12 ,x x ,且 满 足 1212 xxxx.则 k 的值为() A 1 或 3 4 B 1C 3 4 D不存在 3方程 x 2-3x-6=0 与方程 x2-6x+3=0 的所有根的乘积为 ( ) A-18 B18 C -3 D3 4若 x1,x2是一元二次方程 2x2-3x+1=0 的两个根,则 x1 2+x 2 2 的值是 ( )
2、A 4 5 B 4 9 C 4 11 D7 5若关于x 的一元二次方程2x 22x3m10 的两个实数根 x1,x2,且 x1 x2 x1x2 4,则实数m 的取值范围是 Am 5 3 Bm 1 2 Cm 5 3 D 5 3 m 1 2 5已知方程x 2+(2k+1)x+k22=0 的两实根的平方和等于 11,k 的取值是( ) A3 B 3 C1 D 3 或 1 6下列说法中不正确的是( ) A方程 x 2+2x-7=0 的两实数根之和为 2 B方程 x 2-3x-5=0 的两实数根之积为 -5 C方程 x 2-2x-7=0 的两实数根的平方和为 18 D. 方程 x 2-3x-5=0 的两
3、实数根的倒数和为 5 3 7如果 x 的方程 x 2+kx+1=0 的两根的差为 1,那么 k 的值为() A 2 B3C5D6 8已知关于x 的方程 5x 2+kx-6=0 的一个根为 2,设方程的另一个根为x1,则有() Ax1= 5 3 ,k=-7 Bx1=- 5 3 ,k=-7 C x1=- 5 3 ,k=7 Dx1= 5 3 ,k=7 二、填空题 1已知一元二次方程0132 2 xx的两根为 1 x、 2 x,则 21 xx 2如果 1 x, 2 x是方程 065 2 xx 的两个根,那么 21 xx 3已知 1 x, 2 x是方程 2 630xx的两实数根,则 21 12 xx x
4、x 的值为 _ 4已知 1 x、 2 x是关于x的方程01)1( 22 axxa的两个实数根,且 1 x 2 x 3 1 , 则 21 xx 5设 x1、x2是方程 2x 2 +4x-3=0 的两个根,则(x1+1)(x2+1)= 6若方程0342 2 xx的两根为 a、,则 22 2aa 7若方程052 2 kxx的两根之比是2:3,则 k= 8 请 写 出 一 个 二 次 项 系 数 为1 , 两 实 根 之 和 为3的 一 元 二 次 方 程: 三、解答题 1已知关于x 的二次方程x2+mx-1=0 的一个根是 12,求另一个根及m 的值 2已知关于x 的方程 x 2( k+1) x+k
5、+2=0 的两个实数根的平方和等于 6,求 k 的值 3,是关于 x 的一元二次方程(m1)x 2x + 1 = 0 的两个实数根,且满足 (+1)(+1) = m +1,求实数 m 的值 4已知关于x 的方程0)2(2 22 mxmx,问:是否存在正实数m,使方程的两个实数 根的平方和等于56,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. 5已知关于x 的一元二次方程x 2+(4m+1)x+2m-1=O (1)求证:不论m 为任何实数,方程总有两个不相等的实数根; (2)若方程两根为x1、x2,且满足 1 x1+ 1 x2 = 1 2,求 m 的值 一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练 安
6、徽省利辛县教育局督导室夏飞 对于一元二次方程,当判别式时, 其求根公式为:;若两根为,当 0 时,则两根的关 系为:;,根与系数的这种关系又称为韦达定理;它的逆 定理也是成立的,即当,时,那么则是 的两根。一元二次方程的根与系数的关系,综合性强,应 用极为广泛,在中学数学中占有极重要的地位, 也是数学学习中的重点。 学习中, 老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外,还常常要求同学们熟记 一元二次方程根的判别式存在的三种情况, 以 及应用求根公式求出方程的两个根, 进而分解因式, 即。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做 些分析,希望能给同学们带来小小的帮助。 一、根据判别式,讨论
7、一元二次方程的根。 例 1:已知关于的方程( 1)有两个不相等的实数 根,且关于的方程( 2)没有实数根,问取什么整数时, 方程( 1)有整数解? 分析:在同时满足方程( 1),(2)条件的的取值范围中筛选符合条件的 的整数值。 解:方程( 1)有两个不相等的实数根, 解得; 方程( 2)没有实数根, 解得; 于是,同时满足方程 (1), (2)条件的的取值范围是 其中,的整数值有或 当时,方程( 1)为,无整数根; 当时,方程( 1)为,有整数根。 解得: 所以,使方程( 1)有整数根的的整数值是。 说明:熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础,正确确定的 取值范围,并依靠熟练的解不
8、等式的基本技能和一定的逻辑推理,从而筛选出 ,这也正是解答本题的基本技巧。 二、判别一元二次方程两根的符号。 例 1:不解方程,判别方程两根的符号。 分析: 对于来说,往往二次项系数,一次项系数,常 数项皆为已知, 可据此求出根的判别式, 但只能用于判定根的存在与否,若 判定根的正负, 则需要确定或的正负情况。 因此解答此题的关键是: 既要求出判别式的值,又要确定或的正负情况。 解:,42(7)650 方程有两个不相等的实数根。 设方程的两个根为, 0 原方程有两个异号的实数根。 说明: 判别根的符号,需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合 起来进行确定,另外由于本题中0,所以可判定方程
9、的根为一正一负;倘 若0,仍需考虑的正负,方可判别方程是两个正根还是两个负根。 三、已知一元二次方程的一个根,求出另一个根以及字母系数的值。 例 2:已知方程的一个根为 2,求另一个根及的 值。 分析:此题通常有两种解法:一是根据方程根的定义,把代入原方程, 先求出的值,再通过解方程办法求出另一个根;二是利用一元二次方程的根与 系数的关系求出另一个根及的值。 解法一: 把代入原方程,得: 即 解得 当时,原方程均可化为: , 解得: 方程的另一个根为 4,的值为 3 或1。 解法二: 设方程的另一个根为, 根据题意,利用韦达定理得: , ,把代入,可得: 把代入,可得: , 即 解得 方程的另
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- 定理 系数 关系 测试
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