2019届中考数学总复习:平面直角坐标系与一次函数、反比例函数.pdf
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1、第 1 页 共 22 页 2019 届中考数学总复习:平面直角坐标系与一次函数、反比例函数 【考纲要求】 结合实例,了解常量、变量和函数的概念,体会“变化与对应”的思想; 会确定函数自变量的取值范围,即能用三种方法表示函数,又能恰当地选择图象去描述两个 变量之间的关系; 理解正比例函数、反比例函数和一次函数的概念,会画他们的图象,能结合图象讨论这些函 数的基本性质,能利用这些函数分析和解决有关的实际问题. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、平面直角坐标系 1. 平面直角坐标系 平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系,坐标平面内一点对应的有序实 数对叫做这点的坐标. 在平面内
2、建立了直角坐标系,就可以把“形”(平面内的点)和“数”(有序实数 对)紧密结合起来. 2各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点 点 P(x,y) 在第一象限0,0 yx; 点 P(x,y) 在第二象限0,0 yx; 点 P(x,y) 在第三象限0,0 yx; 第 2 页 共 22 页 点 P(x,y) 在第四象限0,0 yx; 点 P(x,y) 在 x 轴上0y,x 为任意实数; 点 P(x,y) 在 y 轴上0x,y 为任意实数; 点 P(x,y) 既在 x 轴上,又在y 轴上x, y 同时为零,即点P坐标为( 0,0) . 3. 两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点 P(x,y
3、) 在第一、三象限夹角平分线上x 与 y 相等; 点 P(x,y) 在第二、四象限夹角平分线上x 与 y 互为相反数 . 4. 和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同; 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同. 5. 关于 x 轴、 y 轴或原点对称的点的坐标的特征 点 P与点 p关于 x 轴对称横坐标相等,纵坐标互为相反数; 点 P与点 p关于 y 轴对称纵坐标相等,横坐标互为相反数; 点 P与点 p关于原点对称横、纵坐标均互为相反数. 6. 点 P(x,y) 到坐标轴及原点的距离 ( 1)点 P(x,y) 到 x 轴的距离等于y; ( 2)点 P
4、(x,y) 到 y 轴的距离等于x; ( 3)点 P(x,y) 到原点的距离等于 22 yx . 要点诠释: (1)注意: x 轴和 y 轴上的点,不属于任何象限; (2)平面内点的坐标是有序实数对,当ba时, (a,b)和( b, a)是两个不同点的坐标. 考点二、函数 1. 函数的概念 设在某个变化过程中有两个变量x、y, 如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值,y 都有唯一确 定的值与它相对应,那么就说y 是 x 的函数, x 叫做自变量 . 2. 自变量的取值范围 对于实际问题, 自变量取值必须使实际问题有意义. 对于纯数学问题, 自变量取值应保证数学式子有 意义 . 3表示方法 解
5、析法;列表法;图象法. 4画函数图象 (1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值; (2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点; (3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来. 要点诠释: (1)在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量; (2)确定自变量取值范围的原则:使代数式有意义;使实际问题有意义. 考点三、几种基本函数(定义图象性质) 1. 正比例函数及其图象性质 (1)正比例函数:如果y=kx(k 是常数, k0) ,那么 y 叫做 x 的正比例函数 (2)正比例函数y=kx( k 0) 的图象: 第 3 页
6、共 22 页 过( 0,0) , ( 1,K)两点的一条直线 (3)正比例函数y=kx(k0) 的性质 当 k0 时,图象经过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大; 当 k0 时,图象经过第二、四象限,y 随 x 的增大而减小 . 2. 一次函数及其图象性质 (1)一次函数:如果y=kx+b(k,b是常数, k0), 那么 y 叫做 x 的一次函数 (2)一次函数y=kx+b (k0) 的图象 ( 3)一次函数y=kx+b(k0) 的图象的性质 一次函数ykxb的图象是经过(0 ,b) 点和)0,( k b 点的一条直线 当 k0 时, y 随 x 的增大而增大; 当 k0 k0 时,函数图
7、像的两个分支分别 在第一、三象限.在每个象限内,y 随 x 的增大而减小 . x 的取值范围是x0, y 的取值范围是y0; 当 k0 时,函数图像的两个分支分别 在第二、四象限. 在每个象限内,y 随 x 的增大而增大 . (5)反比例函数解析式的确定: 利用待定系数法(只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出k) (6) “反比例关系”与“反比例函数”: 成反比例的关系式不一定是反比例函数, 但是反比例函数 x k y中的两个变量必成反比例关系. 要点诠释: (1)用待定系数法求解析式(列方程 组 求解); (2)利用一次(正比例)函数、反比例函数的图象求不等式的解集. 【典型例题】 类
8、型一、坐标平面有关的计算 1 已知点 A(a,-5) ,B(8, b) ,根据下列要求确定a,b 的值 . (1)A,B两点关于y 轴对称; (2)A,B两点关于原点对称; (3)AB x 轴; (4)A,B两点都在一、三象限的角平分线上 【思路点拨】 (1)关于 y 轴对称, y 不变, x 变为相反数; (2)关于原点对称,x 变为相反数, y 变为相反数; (3)AB x 轴,即两点的纵坐标不变即可; (4)在一、三象限两坐标轴夹角的平分线上的点的横纵坐标相等,即可得出a,b 【答案与解析】 (1) 点 A(a,-5) ,B(8,b) 两点关于y 轴对称,则a-8 且 b-5 (2)点
9、A(a,-5) ,B(8,b) 两点关于原点对称,则a-8 且 b5 (3)AB x 轴,则 a8 且 b-5 (4)A,B两点都在一、三象限的角平分线上,则a-5 且 b8 【总结升华】运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键在一、三象限角平分线上的点的横纵 坐标相等,在二、四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数 举一反三: 【变式 】已知点 A 的坐标为 (- 2,- 1) (1) 如果 B 为 x 轴上一点,且10AB,求 B 点的坐标; (2) 如果 C 为 y 轴上的一点,并且C 到原点的距离为3,求线段 AC 的长; (3) 如果 D 为函数 y2x- 1 图象上一点,5AD,
10、求 D 点的坐标 【答案】 第 6 页 共 22 页 ( 1) 设 B( x,0) ,由勾股定理得 22 (2)(01)10ABx 解得 x1- 5,x21 经检验 x1- 5,x21 均为原方程的解 B 点的坐标为 (- 5,0) 或( 1,0) (2) 设 C( 0,y) ,OC3,C 点的坐标为 ( 0,3) 或( 0,- 3) 由勾股定理得 22 ( 2)(31)2 5AC;或2 2AC (3) 设 D( x, 2x- 1), AD 5, 由勾股定理得 22 (2)(21 1)5xx 解得 1 1 5 x, 2 1x 经检验, 1 1 5 x, 2 1x均为原方程的解 D 点的坐标为
11、( 1 5 , 3 5 ) 或(- 1,- 3) 2已知某一函数图象如图所示 (1) 求自变量x 的取值范围和函数y 的取值范围; (2) 求当 x0 时, y 的对应值; (3) 求当 y0 时, x 的对应值; (4) 当 x 为何值时,函数值最大; (5) 当 x 为何值时,函数值最小; (6) 当 y 随 x 的增大而增大时,求x 的取值范围; (7) 当 y 随 x 的增大而减小时,求x 的取值范围 【思路点拨】 本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用要能根据函数图象的性质和图 象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件,结合实际意义得到正确的结论. 【答案与解析
12、】 (1) x 的取值范围是- 4x4,y 的取值范围是 - 2y4; (2) 当 x0 时, y3; (3) 当 y0 时, x- 3 或- 1 或 4; (4) 当 x1 时, y 的最大值为4; (5) 当 x- 2 时, y 的最小值为 - 2; (6) 当- 2x1 时, y 随 x 的增大而增大; (7) 当- 4x- 2 或 1x4 时, y 随 x 的增大而减小 【总结升华】本题主要是培养学生的识图能力 举一反三: 【变式 1】下图是韩老师早晨出门散步时,离家的距离y 与时间 x 的函数图象若用黑点表示韩老师家 第 7 页 共 22 页 的位置,则韩老师散步行走的路线可能是(
13、) 【答案】理解题意,读图获取信息是关键,由图可知某段时间内韩老师离家距离是常数,联想到韩老师 是在家为圆心的弧上散步,分析四个选项知D项符合题意答案: D 【高清课程名称:平面直角坐标系与一次函数高清 ID 号: 406069 关联的位置名称(播放点名称):例 1】 【变式 2】下列图形中的曲线不表示y 是 x 的函数的是 ( ) 【答案】 C. 类型二、一次函数 3 (2015?盘锦) 盘锦红海滩景区门票价格80 元/ 人,景区为吸引游客,对门票价格进行动态管理, 非节假日打a 折,节假日期间,10 人以下(包括10 人)不打折,10 人以上超过10 人的部分打b 折, 设游客为x 人,门
14、票费用为y 元,非节假日门票费用y1(元)及节假日门票费用y2(元)与游客x(人) 之间的函数关系如图所示 (1)a= ,b= ; (2)直接写出y1、y2与 x 之间的函数关系式; (3)导游小王6 月 10 日(非节假日) 带 A旅游团, 6 月 20 日(端午节) 带 B旅游团到红海滩景区旅游, 两团共计50 人,两次共付门票费用3040 元,求 A 、B两个旅游团各多少人? 第 8 页 共 22 页 【思路点拨】 (1)根据函数图象,用购票款数除以定价的款数,计算即可求出a 的值;用第11 人到 20 人的购票款数除以定价的款数,计算即可求出b 的值; (2)利用待定系数法求正比例函数
15、解析式求出y1,分 x10 与 x 10,利用待定系数法求一次函数解析 式求出 y2与 x 的函数关系式即可; (3)设 A团有 n 人,表示出B团的人数为( 50n) ,然后分0n10 与 n10 两种情况,根据(2) 的函数关系式列出方程求解即可 【答案与解析】 解: (1)由 y1图象上点( 10,480) ,得到 10 人的费用为480 元, a=10=6; 由 y2图象上点( 10,800)和( 20,1440) ,得到 20 人中后 10 人费用为640 元, b=10=8; (2)设 y1=k1x, 函数图象经过点(0,0)和( 10, 480) , 10k1=480, k1=4
16、8, y1=48x; 0x10 时,设 y2=k2x, 函数图象经过点(0,0)和( 10, 800) , 10k2=800, k2=80, y2=80x, x10 时,设 y2=kx+b, 函数图象经过点(10,800)和( 20,1440) , , , y2=64x+160; y2=; 第 9 页 共 22 页 (3)设 B团有 n 人,则 A团的人数为(50 n) , 当 0n10 时,80n+48( 50n) =3040, 解得 n=20(不符合题意舍去) , 当 n10 时,800+64( n 10)+48( 50n)=3040, 解得 n=30, 则 50n=5030=20 答:
17、A团有 20 人, B团有 30 人 【总结升华】本题考查了一次函数的应用,主要利用了待定系数法求一次函数解析式,准确识图获取必 要的信息并理解打折的意义是解题的关键,(3)要注意分情况讨论 举一反三: 【高清课程名称:平面直角坐标系与一次函数高清 ID 号: 406069 关联的位置名称(播放点名称):例 6】 【变式 1】 (1) 直线 y2x+1 向下平移2 个单位,再向右平移2 个单位后的直线的解析式是_ _. (2)直线 y2x+1 关于 x 轴对称的直线的解析式是_ _; 直线 y2x+l 关于 y 轴对称的直线的解析式是_ _; 直线 y2x+1 关于原点对称的直线的解析式是_
18、_ (3) 如图所示,已知点C为直线 yx 上在第一象限内一点,直线y2x+1 交 y 轴于点 A,交 x 轴于 B,将直线AB平移后经过 (3,4) 点,则平移后的直线的解析式是_ _ 【答案】 (1)y 2x-5 ; (2)y -2x-1 ,y-2x+1 ,y2x-1 ; (3)y2x-2 【变式 2】某地夏天旱情严重该地10 号、 15 号的人日均用水量的变化情况如图所示若该地10 号、 15 号的人均用水量分别为18 千克和 15 千克,并一直按此趋势直线下降当人日均用水量低于10 千克 时,政府将向当地居民送水那么政府应开始送水的号数为( ) A23 B24 C 25 D26 第 1
19、0 页 共 22 页 【答案】 解析:设图中直线解析式为ykx+b, 将(10 , 18),(15 ,15) 代入解析式得 1018, 1515, kb kb 解得 3 , 5 24, k b 3 24 5 yx 由题意知, 3 2410 5 x,解得 1 23 3 x,送水号数应为24 答案: B 类型三、反比例函数 4 (2015?安顺)如图,在平面直角坐标系xOy 中,一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数 m y x 的图象交于A(2,3) 、B( 3,n)两点 (1)求一次函数和反比例函数的解析式; (2)若 P 是 y 轴上一点,且满足PAB 的面积是5,直接写出OP 的长 【思
20、路点拨】 (1)用待定系数法即可确定出反比例函数解析式;再将B 坐标代入反比例解析式中求出n 的值,确定 出 B 坐标,根据A 与 B 坐标即可确定出一次函数解析式; (2)如图所示, 对于一次函数解析式,令 x=0 求出 y 的值, 确定出 C 坐标, 得到 OC 的长, 三角形 ABP 面积由三角形ACP 面积与三角形BCP 面积之和求出,由已知的面积求出PC 的长,即可求出OP 的长 【答案与解析】 解: (1)反比例函数 m y x 的图象经过点A( 2,3) , m=6 反比例函数的解析式是y=, B 点( 3, n)在反比例函数y=的图象上, 第 11 页 共 22 页 n=2,
21、B( 3, 2) , 一次函数y=kx+b 的图象经过A(2,3) 、B( 3, 2)两点, , 解得:, 一次函数的解析式是y=x+1 ; (2)对于一次函数y=x+1 ,令 x=0 求出 y=1,即 C(0, 1) ,OC=1, 根据题意得:SABP= PC 2+PC 3=5, 解得: PC=2, 则 OP=OC+CP=1+2=3 或 OP=CPOC=21=1 【总结升华】 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,涉及的知识有: 待定系数法求函数解析式, 坐标与图形性质,以及三角形的面积求法,熟练掌握待定系数法是解本题的关键 举一反三: 【变式 】 已知正比例函数ykx(k为常数,0k)
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- 2019 中考 数学 复习 平面 直角 坐标系 一次 函数 反比例
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