运用“分拆”法证明一类轮换对称不等式.pdf
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1、1 运用“分拆”法证明一类轮换对称不等式 徐彦辉 (浙江省温州大学数信学院325035) 纵观国内外数学奥林匹克中的不等式试题, 有不少试题是关于轮换对称的不 等式, 轮换对称不等式形式优美, 证明技巧很多 , 但规律难寻 . 笔者最近发现运用 “分拆法”可统一证明一类轮换对称不等式, 特写出来供大家参考 . 1. 凑配型构造 例 1. 已知, ,a b cR + ?,且 222 3abc,求证: 333 3abc. 证明: 由均值不等式得 332332332 13,13,13aaabbb ccc , 以上三式相加并整理得 222 3333()3 3 2 abc abc. 例 2. 已知,a
2、b c为正数 , 求证: 222222 3()aab bbbc ccca aa b c. 证明: 由 22 2abab得 22222 4()3(2)3()aabbaabbab , 即 22 23()aab ba b , 同理可得 2222 23(),23()bbc cb ccca ac a , 所以, 222222 2() 2 3()aab bbbc ccca aa b c , 故原不等式成立 . 例 3. 设, ,a b cR?,求证: 444 444444444 1 4442 abc abcabcabc +? + . 证明: 由均值不等式得 44444444422222222 42()()
3、2222(),abcaabacaa ba caabc+=+?+=+ 则 442 4442222222 , 42()2() aaa abcaabcabc ? + 同理, 42 444222 , 42() bb abcabc + 42 444222 , 42() cc abcabc + 以上三式相加即得 444 444444444 1 4442 abc abcabcabc +? + . 例 4(1997 年美国奥赛题 )已知,a b c为正数 , 求证: 333333 1111 ababcbcabccaabcabc . 证明: 由 3322 ()aba babab ab 得 33 () abcab
4、cc ababcab ababcabc , 同理可得 3333 , abcaabcb bcabcabc caabcabc , 所以, 333333 1 abcabcabc ababcbcabccaabc , 故原不等式成立 . 2 2. 巧设配偶因子 例 5(第 19 届北欧竞赛题)设, ,a b c是正实数 , 求证: 222 222abc abc bccaab . 证明: 令0, 由均值不等式得 2 2 ()22 a bca bc , 等号成立当且仅当 2 2 () a bc bc 即 2 2 2 () a bc . 又易知所证不等式等号成立的条件是abc, 此 时 1 2 . 则有 2
5、2 2 2 abc a bc , 同理有 2 2 2 2 bca b ca , 2 2 2 2 cab c ab , 将这 三个不等式相加化简即得所证不等式 222 222abc abc bccaab . 例 6. 设, ,a b c是正实数 , 且 222 3abc, 求证: 111 1 1 2121 2abbcca . 证明: 令0, 由均值不等式得 1 (12)2 12 ab ab , 此不等式等号成 立条件是 1 (12) 12 ab ab 即 2 1 (12)ab . 又易知所证不等式等号成立的条 件是1abc, 此时 1 9 . 则有 112 (1 2) 1 293 ab ab ,
6、 同理有 112 (1 2) 1293 bc bc , 112 (1 2) 1 293 ca ca , 将这三个不等式相加得 , 1111 2(3 222 ) 1 21 21 29 abbcca abbcca . 又由均值不等式可得 , 222 62()222abcabbcca , 代入上式得所证 不等式 111 1 1 21 212abbcca . 例 7. 若 12 , n x xx 为小于 1 的正数且 12 1 n xxx,m nN且 2,2mn , 则 1 1122 111 1 m mmmm nn n xxxxxxn . 证明: 因(0,1),(1,2, ) i xin , 则(0,
7、1) m ii xx. 令0, 3 由均值不等式得 1 ()2 m iim ii xx xx , 此不等式等号成立的条件是 1 () m iim ii xx xx , 即 2 1 () m ii xx . 又易知所证不等式等号成立的条件是 1 ,(1,2, ) i xin n , 此时 2 12 (1) m m n n , 则 2 121 12 () (1)1 mm m iimmm ii nn xx xxnn , 即 2 112 12 () 1(1) mm m iimmm ii nn xx xxnn , 其中1,2,in, 将这n个不等式相加得 , 12 112 111 12 () 1(1)
8、mmnnn m ii mmm iiiii nn xx xxnn . 因为 12 1 n xxx, 所以 11 1 nn m ii m ii xx nnn , 即 1 1 1 n m i m i x n , 代入上述 不等式化简即证得 : 1 1122 111 1 m mmmm nn n xxxxxxn . 3. 线性构造 例 8. 设 , ,a b cR , 且1abc, 求证: 222 333 9 111 abc abc . 证明: 注意到, ,a b cR , 且在 1 3 a b c时取得 . 不放设 2 3 3(1 3 ) 1 a ka a 恒成立 , 化简可得 2 2 (13 )()
9、 0 1 aakka a . 欲满足构造条件 , 分子 2 (1 3 )()a akka必含 有 2 (1 3 )a, 2 ()akka中必还含有(13 )a, 则我们有 11 0 39 kk, 解得 3 10 k. 此时, 2 33 3(13 ) 110 a a a 2 2 (1 3 ) (3) 0 10(1) aa a . 同理, 2 33 3(13 ) 110 b b b , 2 33 3(13 ) 110 c c c , 三式累加得 : 222 3333 9(13 )(13 )(13 )0 11110 abc abc abc , 即 222 333 9 111 abc abc (当且仅
10、当 1 3 abc时取等号 ). 例 9. 设 , ,a b cR , 且1abc, 求证: 3 1114 abc bca . 4 证明: 联系已知及不等号成立条件, 不妨假设 3 (13 ) 14 a akab b 恒成立 , 化简得 (13 )14 (1) 0 4(1) bk b a b . 同上例的分析 , 解得 3 16 k. 此时, 33 (13 ) 1416 aa ab b 159 11616 a aab b . 同理, 159 11616 b bbc c , 159 11616 c cca a . 三式累加得 159 ()() 1111616 abc abcabbcca bca
11、. 由1abc, 故 2 ()1abc, 则 2 ()1 33 abc abbcca, 所以, 3 1114 abc bca ( 当且仅当 1 3 abc时取等号 ). 例 10. 设 3 , , 4 a b c, 且1abc, 求证 : 222 9 11110 abc abc . 证明: 设待定系数, 使 2 31 () 1103 a a a 恒成立 , 即 2 (31)(3) (31) 10(1)3 aa a a . 考虑此式等号成立 , 应有 2 (31)(3) (31) 10(1)3 aa a a , 解得 18 25 . 此时, 2 3181 () 1 10253 a a a 2 (
12、31) (43)0aa. 则当时显然成立 . 所以, 2 3181 () 1 10253 a a a , 同理, 2 3181 () 1 10253 b b b , 2 3181 () 110253 c c c . 三式累加得 222 918 (1)0 1111025 abc ab c abc . 证毕. 4. 齐次构造 例 11( 数学通报1435号问题 )已知,a b为正数 , 求证:1 33 ab abba . 证明: 由均值不等式知 333331 244442 3ba ba ba b, 则 3333311 2244222 23(3 )aba baa b a ab , 即 3311 44
13、42 (3 )abaab , 即 3 4 33 44 3 aa ab ab , 同理可得 3 4 33 44 3 bb ba ab , 所以,1 33 ab abba . 如果将 ,a b分别换成 22 ,ab, 即可得到一个新的不等式 , 即例 11. 3 4 a 5 例 12(数学通报1454号问题 )已知,a b为正数 , 求证: 2222 1 33 ab abba . 例 13. 已知,a b c为正数 , 且1abc, 求证: 111 1 121212abc . 证明: 由均值不等式知 2211 3333 2()2bcbca , 则 2 3 222 333 1 12 a a abc
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- 运用 证明 一类 轮换 对称 不等式
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