平面几何中四个重要定理的应用.pdf
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1、A BP R C Q 平面几何中四个重要定理的应用(一) 梅涅劳斯 (Menelaus) 定理(梅氏线) ABC的三边 BC 、CA 、 AB或其延长线上有点P 、Q、R,则 P、Q、R共线的充要条件是1 RB AR QA CQ PC BP 。 塞瓦 (Ceva) 定理(塞瓦点) ABC的三边 BC 、CA 、AB上有点 P、Q、R,则 AP 、 BQ 、CR共 点的充要条件是1 RB AR QA CQ PC BP 。 托勒密 (Ptolemy) 定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是 该四边形内接于一圆。 西姆松 (Simson) 定理(西姆松线) 从一点向三角形的三边所引
2、垂线的垂足共线的充要条件是 该点落在三角形的外接圆上。 例题: 1 设 AD是 ABC的边 BC上的中线, 直线 CF交 AD于 F。求证: FB AF2 ED AE 。 【分析】 CEF截 ABD 1 FA BF CB DC ED AE (梅氏定理) 【评注】也可以添加辅助线证明:过A、B、D之一作 CF的平行 线。 2 过 ABC的重心 G的直线分别交AB 、AC于 E、F,交 CB于 D。 求证:1 FA CF EA BE 。 【分析】连结并延长AG交 BC于 M ,则 M为 BC的中点。 DEG截 ABM 1 DB MD GM AG EA BE (梅氏定理) DGF截 ACM 1 DC
3、 MD GM AG FA CF (梅氏定理) FA CF EA BE = MDAG )DCDB(GM = MDGM2 MD2GM =1 【 评注】梅氏定理 A BC F D E A BC D G F E l P A C B E F D A BCP Q R A B C D A BCDM G F E 3 D、E、F 分别在 ABC的 BC 、 CA 、AB边上, EA CE FB AF DC BD ,AD、BE 、CF交成 LMN 。 求 SLMN。 【分析】 【评注】梅氏定理 4 以 ABC各边为底边向外作相似的等腰BCE 、CAF 、 ABG 。求证: AE 、 BF、CG相交于一点。 【分析
4、】 【评注】塞瓦定理 5 已知 ABC中, B=2 C。求证: AC 2=AB2+AB BC 。 【分析】过A作 BC的平行线交ABC的外接圆于D,连结 BD 。则 CD=DA=AB ,AC=BD 。 由托勒密定理,AC BD=AD BC+CD AB 。 【评注】托勒密定理 6 已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。 求证: 413121 AA 1 AA 1 AA 1 。 (第 21 届全苏数学竞赛) 【分析】 【评注】托勒密定理 7 ABC的 BC 边上的高AD 的延 长 线 交 外接圆于 P, 作 PE AB于 E,延长 ED交 AC延长线于F。 求证: BC EF=BF CE+BE
5、CF。 【分析】 【评注】西姆松定理(西姆松线) 8 正六边形ABCDEF 的对角线AC 、CE分别被内分点M 、N分成的比为AM :AC=CN :CE=k , A B C D E F M N L C B A A B C D P E F BC A D A B C G F E A B C G F E M N L A 1 A 7 A 6 A 5 A 4 A3 A 2 A1 A 7 A 6 A 5 A4 A3 A2 且 B、M 、 N共线。求k。 ( 23-IMO-5 ) 【分析】 【评注】面积法 9 O为ABC内 一 点, 分别以 da、db、 dc表示 O 到BC、 CA 、 AB的距离 , 以
6、 Ra、Rb、 Rc表 示 O到A、B、C的距离。 求证: (1)aRabdb+cdc; (2) a Racdb+bdc; (3) Ra+Rb+Rc 2(da+db+dc) 。 【分析】 【评注】面积法 10ABC中,H、 G、 O分 别 为 垂 心、 重心、外心。 求证:H、G、O 三点 共线,且HG=2GO。 (欧拉线) 【分析】 【 评注】同一法 11ABC 中, AB=AC , AD BC 于 D,BM 、BN三等分 ABC ,与 AD相交于 M 、N,延长 CM 交 AB于 E。 求证: MB/NE。 【分析】 【评注】对称变换 12G是 ABC的重心,以 AG为弦作圆切BG于 G,
7、 延长 CG交圆于 D。 求证: AG 2=GC GD 。 D E F A B C N M O C AB H G B C D M N A E O D E F A B C M N O C B A D F E O C B A D F E K L O B A C D H G 8 6 7 4 5 3 2 1 B C D M N A E 【分析】 【评注】平移变换 13C是直径AB=2的 O上一点, P在 ABC 内 , 若 PA+PB+PC 的最小 值是,求此时 ABC的面积 S。 【分析】 【评注】旋转变换 费马点:已 知 O 是 ABC 内一点, AOB= BOC= COA=120 ; P是 AB
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