数列通项公式求法大全配练习及答案.pdf
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1、数列通项公式的十种求法 一、公式法 * 11 (1)() n aanddnad nN 1* 1 1 () nn n a aa qqnN q 二、累加法)( 1 nfaa nn 例 1 已知数列 n a满足 11 211 nn aana,求数列 n a的通项公式。 2 n an 例2 已 知 数 列 n a满 足 11 2313 n nn aaa, , 求 数 列na的 通 项 公 式 。 ( 31. n n an) 三、累乘法 nn anfa)( 1 例 3 已知数列 n a满足 11 2(1)53 n nn anaa,求数列 n a的通项公式。 ( (1) 1 2 325!. n n n n
2、 an) 评注:本题解题的关键是把递推关系 1 2(1)5 n nn ana转化为 1 2(1)5 n n n a n a , 进而求 出 132 1 1221 nn nn aaaa a aaaa ,即得数列na的通项公式。 例 4 已知数列 n a满足 11231 123(1)(2) nn aaaaanan, 求 n a的通项 公式。 ( ! . 2 n n a) 评注:本题解题的关键是把递推关系式 1 (1)(2) nn anan转化为 1 1(2) n n a nn a , 进而求出 13 2 122 nn nn aaa a aaa , 从而可得当2 n na时,的表达式,最后再求出数列
3、 n a的 通项公式。 四、待定系数法qpaa nn 1 nfpaa nn 1nnn qapaa 12 (其中 p,q 均为常数)。 例5已 知 数 列 n a满 足 11 2356 n nn aaa, 求 数 列 n a的 通 项 公 式 。 ( 1 25 nn n a) 评注:本题解题的关键是把递推关系式 1 23 5 n nn aa转化为 1 1 52(5 ) nn nn aa, 从而可知数列5 n n a是等比数列,进而求出数列5 n n a的通项公式,最后再求出数列 n a的通项公式。 例 6 已知数列 n a满足 11 35241 n nn aaa,求数列 n a的通项公式。 (
4、1 133522 nn n a) 评 注 : 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 1 35 24 n nn aa转 化 为 1 1 5223 (522 ) nn nn aa,从而可知数列5 22 n n a是等比数列,进而求 出数列5 22 n n a的通项公式,最后再求数列 n a 的通项公式。 例 7 已知数列 na满足 2 11 23451 nn aanna,求数列 na的通项公式。 ( 42 231018 n n ann) 评注:本题解题的关键是把递推关系式 2 1 2345 nn aann转化为 22 1 3(1)10(1)182(31018) nn annann
5、,从而可知数列 2 31018 n ann是等比数列, 进而求出数列 2 31018 n ann的通项公式, 最后再 求出数列 n a的通项公式。 五、递推公式为 n S与 n a的关系式 (或() nn Sf a) 解法:这种类型一般利用 )2( ) 1( 1 1 nSS nS a nn n 例 8 已知数列 n a前 n 项和 2 2 1 4 n nn aS.(1)求 1n a 与 n a 的关系;( 2)求通项公 式 n a. 六 例 9 已知数列 na满足11 32313 n nn aaa,求数列 na的通项公式。 解: 1 32 31 n nn aa两边除以 1 3 n ,得 1 1
6、1 21 3333 nn nnn aa , 则 1 11 21 3333 nn nnn aa ,故 11223211 22321 11 122 122 ()()()() 33333333 212121213 ()()()() 333333333 2(1)11111 ()1 333333 nnnnnnn nnnnn nn nnn nnnn aaaaaaaaaa aa n 因此 1 1 (1 3) 2(1)211 3 1 331 3322 3 n n n nn ann , 则 211 33. 322 nn n an 评注:本题解题的关键是把递推关系式 1 32 31 n nn aa转化为 1 11
7、 21 3333 nn nnn aa , 进而求出 11223211 1122321 ()()()() 333333333 nnnnnn nnnnnn aaaaaaaaa ,即得数列 3 n n a 的通项公式,最后再求数列 n a的通项公式。 七、对数变换法(当通项公式中含幂指数时适用) 例 10 已知数列 na满足 5 1 2 3 n nn aa, 17a,求数列na的通项公式。 解:因为 5 11 237 n nn aaa,所以 1 00 nn aa,。在 5 1 2 3 n nn aa式两边取 常用对数得 1 lg5lglg3lg 2 nn aan 设 1 lg(1)5(lg) nn
8、ax nyaxny 11 将式代入 11 式,得5lglg 3lg 2(1)5(lg nn anx nyaxny,两边消去 5 lg n a并整理,得(lg3)lg 255x nxyxny,则 lg35 lg25 xx xyy ,故 lg3 4 lg3lg2 164 x y 代入 11 式,得 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg 2 lg(1)5(lg) 41644164 nn anan12 由 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg1lg 710 41644164 a及12 式, 得 lg3lg3lg 2 lg0 4164 n an, 则 1 lg3lg3lg 2 lg(1) 4
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