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1、1 第十章重积分 一元函数积分学中, 我们曾经用和式的极限来定义一元函数fx 在区间,a b 上的定积分, 并已经建立了定积分理论,本章将把这一方法推广到多元函数的情形,便得到重积分的概念. 本 章主要讲述多重积分的概念、性质、计算方法以及应用. 第 1 节二重积分的概念与性质 1.1 二重积分的概念 下面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量,引出二重积分的定义. 1.1.1. 曲顶柱体的体积 曲顶柱体 是指这样的立体,它的底是xOy平面上的一个有界闭区域D,其侧面是以D的 边界为准线的母线平行于z 轴的柱面,其顶部是在区域D上的连续函数,zfx y,且 ,0fx y所表示的曲面(图10
2、1). 图 101 现在讨论如何求曲顶柱体的体积. 分析这个问题,我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似的.可以用与定积分类似的方法 (即分割、近似代替、求和、取极限的方法)来解决(图10 2). 图 102 (1)分割闭区域D为 n 个小闭区域 , n12 , 2 同时也用 i 表示第i个小闭区域的面积,用 i d 表示区域i的直径(一个闭区域的直径 是指闭区域上任意两点间距离的最大值),相应地此曲顶柱体被分为n 个小曲顶柱体 . (2)在每个小闭区域上任取一点 1122 , , , , nn 对第i个小曲顶柱体的体积,用高为,() ii f 而底为 i 的平顶柱体的体积来近似代替. (3)
3、这 n个平顶柱体的体积之和 1 (,) n iii i f 就是曲顶柱体体积的近似值. (4)用表示 n个小闭区域 i 的直径的最大值,即max 1 i in d .当0(可理解为 i 收缩为一点 )时,上述和式的极限,就是曲顶柱体的体积: 0 1 lim(,). n iii i Vf 1.1.2 平面薄片的质量 设 薄片在xOy平 面占有平面闭 区域D,它 在点,()xy处的 面密 度是,() x y.设 ()0x y,且在D上连续,求薄片的质量(见图 10-3). 图 10-3 先分割闭区域D 为 n 个小闭区域 n12 , 在每个小闭区域上任取一点 1122 , , , , nn 近似地
4、,以点,() ii 处的面密度,() ii 代替小闭区域 i 上各点处的面密度,则得到第i 块小薄片的质量的近似值为,() iii ,于是整个薄片质量的近似值是 1 (,) n iii i 用max 1 i in d 表示n个小闭区域 i 的直径的最大值,当D无限细分,即当0时, 上述和式的极限就是薄片的质量M ,即 0 1 lim(,) n iii i M . 以上两个具体问题的实际意义虽然不同,但所求量都归结为同一形式的和的极限.抽象出来 就得到下述二重积分的定义. 定义1 设D是xOy平面上的有界闭区域,二元函数,()zf x y 在D上有界 .将D分为 n 个小区域 3 n12 , 同
5、时用 i 表示该小区域的面积,记 i 的直径为 i d ,并令max 1 i in d . 在 i 上任取一点, 1,2,()() ii in ,作乘积 , iii f 并作和式 1 (,) n iii i n Sf . 若0时, n S 的极限存在 (它不依赖于D的分法及点 (,) ii 的取法 ),则称这个极限值为 函数,()zf x y 在D上的二重积分,记作( , )d D f x y,即 0 1 ( , )dlim(,) n iii i D f x yf,(10-1-1) 其中D叫做积分区域,,()f x y 叫做被积函数,d叫做面积元素,,d()f x y 叫做被积表达 式, x
6、与y叫做积分变量, 1 (,) n iii i f 叫做积分和 . 在直角坐标系中,我们常用平行于 x轴和y轴的直线 (y=常数和x=常数 )把区域D分割成 小矩形,它的边长是x和 y,从而xy,因此在直角坐标系中的面积元素可写成 ddx dy,二重积分也可记作 0 1 ( , )d dlim(,) n iii i D f x yx yf. 有了二重积分的定义,前面的体积和质量都可以用二重积分来表示.曲顶柱体的体积V 是函 数,()zf x y 在区域D上的二重积分 ( , )d D Vf x y ; 薄片的质量M 是面密度,() x y在区域D上的二重积分 ( , )d D Mx y. 因为
7、总可以把被积函数,()zf xy 看作空间的一曲面,所以当,()f x y 为正时, 二重积分的 几何意义就是曲顶柱体的体积;当,()f x y 为负时,柱体就在xOy平面下方,二重积分就是曲 顶柱体体积的负值. 如果,()f x y 在某部分区域上是正的,而在其余的部分区域上是负的,那么 ,()f x y 在D上的二重积分就等于这些部分区域上柱体体积的代数和. 如果,()f xy 在区域D上的二重积分存在(即和式的极限 (10-1-1)存在 ),则称,()f xy 在D上 可积 .什么样的函数是可积的呢?与一元函数定积分的情形一样,我们只叙述有关结论,而不作 证明 . 如果,()f xy 是
8、闭区域D上连续,或分块连续的函数,则,()f xy 在D上可积 . 我们总假定,()zf x y 在闭区域D上连续,所以,()fx y 在D上的二重积分都是存在的, 以后就不再一一加以说明. 1.1.3 二重积分的性质 设二元函数,()()f x yg x y 在闭区域D上连续, 于是这些函数的二重积分存在.利用二重积 分的定义,可以证明它的若干基本性质.下面列举这些性质. 4 性质 1 常数因子可提到积分号外面.设 k 是常数,则 ( , )d( , )d DD kf x ykf x y. 性质 2 函数的代数和的积分等于各函数的积分的代数和,即 ()() d()d()d DDD f x y
9、g x yf x yg x y,. 性质 3 设闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域,则D上的二重积分等于各部分 闭区域上的二重积分的和. 例如D分为区域 1 D和 2 D(见图 10-4),则 12 ( , )d( , )d( , )d DDD f x yf x yf x y. (10-1-2) 图 10-4 性质 3 表示二重积分对积分区域具有可加性 . 性质 4 设在闭区域D上,1()f x y, 为D的面积,则 1dd DD . 从几何意义上来看这是很明显的.因为高为 1 的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面 积. 性质 5 设在闭区域D上有,()()f x yg xy ,则
10、( , )d( , )d DD f x yg x y. 由于(,)( , )( , )f x yf x yf x y 又有( , )d( , ) d DD f x yf x y . 这就是说,函数二重积分的绝对值必小于或等于该函数绝对值的二重积分. 性质 6设、Mm分别为()f x y,在闭区域D上的最大值和最小值, 为D的面积,则有 ( , )d D mf x yM. 上述不等式是二重积分估值的不等式.因为()mf x yM,,所以由性质5 有 d( , )dd DDD mf x yM, 即d( , )dd DDD mmf x yMM. 性质 7 设函数,()f x y 在闭区域D上连续,
11、是D的面积,则在D上至少存在一点,() 使得 ( , )d() D f x yf,. 5 这一性质称为二重积分的中值定理. 证显然0. 因,()f x y 在有界闭区域D上连续,根据有界闭区域上连续函数取到最大值、最小值定理, 在D上必存在一点 11 xy,使 11 fxy,等于最大值M ,又存在一点 22 ()xy,使 22 ()f xy,等于最小 值 m ,则对于D上所有点,()x y ,有 2211 .mfxyfx yfxyM, 由性质 1 和性质 5,可得 d( , )dd DDD mf x yM 再由性质4 得 ( , )d D mf x yM , 或 1 ( , )d D mf x
12、 yM 根据闭区域上连续函数的介值定理知,D上必存在一点,(),使得 1 ( ,)d() D f x yf, , 即 ( , )d() D f x yf,,,()D. 证毕 . 二重积分中值定理的几何意义可叙述如下: 当:,()S zf x y为空间一连续曲面时,对以S为顶的曲顶柱体,必定存在一个以D为底, 以D内某点,()的函数值,()f 为高的平顶柱体,它的体积,()f 就等于这个曲顶柱体的 体积 . 习题 101 1.根据二重积分性质,比较ln()d D xy与 2 ln()d D xy的大小,其中 (1)D表示以10,()、 1,0()、 1,1() 为顶点的三角形; (2)D表示矩形
13、区域|35,2,0x yxy. 2.根据二重积分的几何意义,确定下列积分的值: (1) 22 d D axy , 222 |Dxyxya,; (2) 222 d D axy, 222 |Dxyxya,. 3.设,fx y为连续函数,求 2 0 1 lim( , )d r D f x y r , 22 2 00 ,Dx yxxyyr|. 4.根据二重积分性质,估计下列积分的值: (1)4+d D Ixy,22| 00Dxyxy,; 6 (2) 22 sinsind D Ixy,,|00Dx yxy,; (3) 22 49 d D Ixy, 22 4,|Dx yxy. 5.设0,10,1D,证明函
14、数 1, , , 为内有理点即均为有理数, ,为内非有理点0 x yDx y fx y x yD 在D上不可积 . 7 第 2 节 二重积分的计算 只有少数二重积分(被积函数和积分区域特别简单)可用定义计算外,一般情况下要用定义 计算二重积分相当困难下面我们从二重积分的几何意义出发,来介绍计算二重积分的方法, 该方法将二重积分的计算问题化为两次定积分的计算问题 2.1 直角坐标系下的计算 在几何上,当被积函数,0fx y时,二重积分( , )d D fx y的值等于以D为底,以曲面 ,()zf xy 为顶的曲顶柱体的体积.下面我们用 “ 切片法 ” 来求曲顶柱体的体积V . 设积分区域D由两条
15、平行直线,xa xb及两条连续曲线yxyx 12 ,(见图 105) 所围成,其中abxx 12 ,,则 D 可表示为 12 ,|Dx yaxb xy x. 图 105 用平行于yOz坐标面的平面 00 xxaxb 去截曲顶柱体,得一截面,它是一个以区间 1020xx ,为底,以, 0()zf xy为曲边的曲边梯形(见图 10 6),所以这截面的面积为 d 20 10 () 0 () 0 (, ) x x f xyyA x. 图 106 由此,我们可以看到这个截面面积是 0 x的函数 .一般地,过区间 , a b 上任一点且平行于 yOz坐标面的平面,与曲顶柱体相交所得截面的面积为 d 2 1
16、 () ( ) (, ) x x f x yAyx, 其中y是积分变量, x 在积分时保持不变.因此在区间 , a b 上, A x是 x 的函数, 应用计 算平行截面面积为已知的立体体积的方法,得曲顶柱体的体积为 ddd 2 1 () () ()( , ) bb x aax A xxf x yVyx , 即得 8 2 1 ( ) ( ) ( , )d( , )dd bx ax D f x yf x yyx, 或记作 2 1 ( ) ( ) ( , )dd( , )d bx ax D f x yxf x yy. 上式右端是一个先对y,后对 x积分的 二次积分或累次积分 .这里应当注意的是:做第
17、一次积分 时,因为是在求x 处的截面积A x,所以 x 是, a b之间任何一个固定的值,y是积分变量;做 第二次积分时,是沿着x 轴累加这些薄片的体积A xdx ,所以 x 是积分变量 . 在上面的讨论中,开始假定了,()0f x y,而事实上,没有这个条件,上面的公式仍然正 确.这里把此结论叙述如下: 若,()zf x y 在闭区域D上连续,:Daxbxyx 12 ,,则 2 1 ( ) ( ) ( , )d dd( , )d bx ax D f x yx yxf x yy. (10-2-1) 类似地, 若,()zf xy 在闭区域D上连续, 积分区域D由两条平行直线ya yb,及两条 连
18、续曲线 xyxy 12 ,(见图 107)所围成,其中cdxx 12 ,,则 D 可表示为 ,|Dx ycydyxy 12 ,. 则有 2 1 ( ) ( ) ( , )d dd( , )d dx cx D f x yx yyf x yx. (10-2-2) 图 107 以后我们称图10-5 所示的积分区域为X型区域,X型区域 D 的特点是:穿过D 内部且平 行于 y 轴的直线与D 的边界的交点不多于两个称图107 所示的积分区域为Y 型区域, Y 型 区域 D 的特点是:穿过D 内部且平行于x 轴的直线与D 的边界的交点不多于两个. 从上述计算公式可以看出将二重积分化为两次定积分,关键是确定
19、积分限,而确定积分限 又依赖于区域D 的几何形状 因此, 首先必须正确地画出D 的图形, 将 D 表示为 X 型区域或Y 型区域 如果 D 不能直接表示成X 型区域或 Y 型区域, 则应将 D 划分成若干个无公共内点的小 区域,并使每个小区域能表示成X 型区域或Y型区域, 再利用二重积分对区域具有可加性相加, 区域 D 上的二重积分就是这些小区域上的二重积分之和(图 108) 图 10-8 9 例 1 计算二重积分d D xy,其中D为直线yx与抛物线 2 yx 所包围的闭区域. 解画出区域D的图形,求出yx与 2 yx 两条曲线的交点,它们是0,0及 1,1 .区域 D(图 109)可表示为
20、: 2 0.xxyx1, 图 109 因此由公式 (10-2-1)得 2 2 11 2 00 ddd 2 x x x x D x xyx xydyyx d 1 35 0 11 () 224 xxx. 本题也可以化为先对x ,后对y的积分,这时区域D可表为:1,0yyyx.由公式 (10-2-2)得 1 0 ddd y y D xyy yx x . 积分后与上面结果相同. 例 2计算二重积分 22 1d D yxy ,其中D是由直线,1yxx和1y所围成的闭 区域 . 解 画出积分区域D,易知D:11,1xxy(图 10-10),若利用公式 (10-2-1),得 图 10-10 11 2222
21、1 1d(1d )d x D yxyyxyyx d 1 3 1 22 2 1 1 1 3 x xyx dd 11 3 3 10 12 1(1) 33 xxxx 1 2 . 10 若利用公式 (10-2-2),就有 1 2222 11 1d1dd y D yxyyxyxy, 也可得同样的结果. 例 3 计算二重积分 2 2 d D x y ,其中D是直线2,yyx和双曲线1xy所围之闭区域. 解求得三线的三个交点分别是 1 ,(1,1) 2 ,2 及 2,2() .如果先对y积分,那么当 1 2 1x时, y的下限是双曲线 1 y x ,而当12x时, y 的下限是直线yx,因此需要用直线x1把
22、区 域D分为 1 D和 2 D两部分 (图 1011). 1 2 1 1,2 1 :Dxy x ; 2 2,2:1Dxxy. 图 1011 于是 12 22222 1222 11 22222 1 2 ddddddd x x DDD xxxxx xyxy yyyyy dd 22 22 12 1 1 1 2 x x xx xx yy dd 22 12 3 1 1 2 22 xx xxxx 12 4323 1 1 2 4626 xxxx8127 19264 . 如果先对 x 积分,那么:12, 1 Dyxy y ,于是 223 22 1 222 11 1 dddd 3 y y y D y xxx y
23、xy yyy d 2 2 2 54 1 1 11 36312 yy y yy 27 64 . 由此可见,对于这种区域D,如果先对y积分,就需要把区域D分成几个区域来计算.这 比先对 x 积分繁琐多了.所以,把重积分化为累次积分时,需要根据区域D和被积函数的特点, 11 选择适当的次序进行积分. 例 4 设,()f xy 连续,求证 dddd(, )( , ) bxbb aaay xf x yyyf x y x . 证上式左端可表为 ddd( , )(, ) bx aaD xf x yyf x y, 其中,:D axbayx(图 1012)区域D也可表为:,aybyxb, 图 1012 于是改变
24、积分次序,可得 ( , )dd( , )d bb ay D f x yyfx yx 由此可得所要证明的等式. 例 5计算二重积分d sin D x x ,其中D是直线yx与抛物线 2 yx所围成的区域. 解把区域D表示为 x 型区域,即 2 D =x ,y |0x1,xyx.于是 dddd 2 2 11 00 sinsinsin x x x x D xxx xyyx xxx sin d 1 0 1xxx 1 0 coscossinxxxx 1sin10.1585 注:如果化为y型区域即先对x 积分,则有 ddd 1 0 sinsin y y D xx yx xx . 由于 sin x x 的原
25、函数不能由初等函数表示,往下计算就困难了,这也说明计算二重积分时, 除了要注意积分区域D的特点(区分是x 型区域,还是y型区域)外,还应注意被积函数的特 点,并适当选择积分次序. 2.2 二重积分的换元法 与定积分一样,二重积分也可用换元法求其值,但比定积分复杂得多.我们知道,对定积分 d b a fxx作变量替换 ( )xt 时,要把fx变成 ft, dx 变成d( ) tt ,积分限,a b也要变 成对应 t 的值 .同样,对二重积分,d D fx y作变量替换 , , xx u v yy u v 12 时,既要把 ,fx y 变成 ,fx u vy u v ,还要把xOy面上的积分区域D
26、变成uOv面上的区 域 uv D,并把D中的面积元素 d 变成 uv D中的面积元素d * .其中最常用的是极坐标系的情形. 2.2.1 极坐标系的情形 下面我们讨论利用极坐标变换,得出在极坐标系下二重积分的计算方法.把极点放在直角坐 标系的原点,极轴与x 轴重合,那么点P的极坐标,P r 与该点的直角坐标,P x y 有如下互 换公式: c o s,s i n;0, 02xryrr; 22 ,arctan;, y rxyx y x . 我们知道,有些曲线方程在极坐标系下比较简单,因此,有些二重积分 ,d D fx y 用极坐标代换后,计算起来比较方便,这里假设,zfx y 在区域D上连续 .
27、 在直角坐标系中,我们是以平行于x 轴和y轴的两族直线分割区域D为一系列小矩形,从 而得到面积元素dd dx y. 在极坐标系中,与此类似,我们用“常数r” 的一族同心圆,以及“常数” 的一族过极点 的射线,将区域D分成 n 个小区域,1,2, ij i jn ,如图 1013 所示 . 图 1013 小区域面积 2 2 1 2 ijiijij rrr 21 2 iijij rrr . 记 2 2 ,1 , 2 , i jij rijn , 则有 ijiijij rr , 故有 dd d rr . 则 dd d,cos , sin DD fx yfrrr r. 这就是直角坐标二重积分变换到极坐
28、标二重积分的公式.在作极坐标变换时,只要将被积函 数中的,x y分别换成cos , sinrr,并把直角坐标的面积元素dd dx y换成极坐标的面积元素 13 d drr 即可 .但必须指出的是:区域D必须用极坐标系表示. 在极坐标系下的二重积分,同样也可以化为二次积分计算.下面分三种情况讨论: (1) 极点 O 在区域D外部,如图1014 所示 . 图 1014 设区域D在两条射线, 之间,两射线和区域边界的交点分别为,A B,将区域D的 边界分为两部分,其方程分别为 12 ,rr rr且均为, 上的连续函数.此时 12 ,|,Dr rrr . 于是 d ddd 2 1 cos , sinc
29、os , sin r r D frrr rfrrr r (2) 极点 O 在区域D内部,如图1015 所示 .若区域D的边界曲线方程为rr ,这时 积分区域D为 ,|0,02Dr rr, 且 r在0,2上连续 . 图 1015 于是 d ddd 2 00 cos , sincos ,sin r D frrrr frrr r . (3) 极点 O 在区域D的边界上,此时,积分区域D如图 1016 所示 . 图 1016 14 ,|,0Dr rr , 且 r 在 0,2上连续,则有 d ddd 0 cos , sincos , sin r D frrr r frrr r . 在计算二重积分时,是否
30、采用极坐标变换,应根据积分区域D与被积函数的形式来决定. 一般来说, 当积分区域为圆域或部分圆域,及被积函数可表示为 22 fxy或 y f x 等形式时, 常采用极坐标变换,简化二重积分的计算. 例 6计算二重积分 22 22 1 d d 1 D xy Ix y xy , 其中 222 ,|01Dx yxyaa. 解在极坐标系中积分区域D为 ,|0,02Dr ra, 则有 22 2 2 222 00 1 1 d ddd 11 a D xy r Ix yr r xyr 2 2 2 2 002 11 dd 1 1 aa t rt r rrt r t 令 2 222 0 arcsin1arcsin
31、11 a ttaa. 例 7计算二重积分 2 d D xy,其中D是单位圆在第I象限的部分 . 解采用极坐标系. D可表示为 ,100 2 r(图 10-17) , 图 10-17 于是有 1 222 2 00 ddcossind D xyrrr r dd 1 24 2 00 1 cos sin 15 rr. 15 例 8计算二重积分 D x 2d ,其中D是二圆 22 1xy和 22 4xy之间的环形闭区域. 解区域D:2 , 120r,如图 10 18 所示 . 图 1018 于是 2222 223 0101 1cos215 dcosddd 24 D xrr rrr 2d . 2.2.2.
32、 直角坐标系的情形 我们先来考虑面积元素的变化情况. 设函数组,,,()()xx u vyy u v 为单值函数,在 uv D上具有一阶连续偏导数,且其雅可比 行列式 (, ) 0 ( , ) J x y u v , 则由反函数存在定理,一定存在着D上的单值连续反函数 ,,,()()uu xyvv x y . 这时 uv D与D之间建立了一一对应关系,uOv 面上平行于坐标轴的直线在映射之下成为 xOy面上的曲线,,, 00 ()()u x yuv x yv.我们用 uOv 面上平行于坐标轴的直线 ,1, ,1, , (2;2) ijuuvvin jm 将区域 uv D分割成若干个小矩形,则映
33、射将 uOv 面上的直线网变成xOy面上的曲线网(图 10 19). 图 10 19 在 uv D中任取一个典型的小区域 uv D(面积记为 * )及其在D中对应的小区域 D(面积 记为 ),如图 1020 所示 . 16 图 10 20 设 D的四条边界线的交点为 1211322 ,,,,, 000000 ()()()P xyP xxyyP xxyy和 433 , 00 ()P xxyy.当 , uv很小时, 1 2 3, , ii xyi也很小, D的面积可用 12 PP 与 14 P P 构成的平行四边形面积近似.即 1214 P PP P. 而 1112 xyP Pij 0000000
34、0 ,(,x uu vx uvy uu vy uvij 0000 , uu xuvuyuvui j . 同理 001400 , vv P Pxuvvyuvvij . 从而得 1214 yx uu uu P PPP y x vv vv 的绝对值 *( , )(, ) ( , )( , ) x yx y u v u vu v . 因此,二重积分作变量替换,()()xx u vyy u v 后,面积元素d与 d * 的关系为 *( , ) , ( , ) x y dd u v 或 ( , ) ( , ) x y dxdydudv u v . 由此得如下结论: 定理 1若,()fx y 在xOy平面上
35、的闭区域D上连续,变换:,()()Txx u vyy u v ,将 uOv 平面上的闭区域 uv D变成xOy平面上的D,且满足 : (1),()()x u vy u v 在 uv D上具有一阶连续偏导数, (2)在 uv D上雅可比式 ( 0 ( ,) , ) x y J u v ; (3)变换: uv TDD 是一对一的,则有 17 ( , )d d( , ), ( , )d d . uv DD f x yx yf x u vy u vJu v 例 9计算二重积分ed d yx yx D x y , 其中D是由 x 轴,y轴和直线 2xy所围成的闭区域. 解令,uyx vyx,则 , 22
36、 xy vuvu . 在此变换下,xOy面上闭区域D变为 uOv 面上的对应区域D(图 1021). 图 1021 雅可比式为 11 (, ) 122 ( , )211 22 x y u v J, 则得 1 ed ded d 2 yx u yx v DD x yu v -1 de d(ee ) d 22 00 11 22 u v v v vuv v ee 1 = . 例 10设D为xOy平面内由以下四条抛物线所围成的区域: 222 ,xay xby ypx, 2 yqx,其中 , 00abpq,求D的面积 . 解由D的构造特点, 引入两族抛物线 22 ,yux xvy,则由 u 从p变到q,v
37、 从 a 变到b 时,这两族抛物线交织成区域D(图 1022). 图 10 22 雅可比行列式为 (, ) 1 ( , )( , ) ( ,) J x y u vu v x y 18 2 2 2 2 11 3 2 2 yy xx xx y y , 则所求面积 11 d dd d 33 DD Sx yu vbaq p . 习题 102 1.画出积分区域,把( , )d D f x y化为二次积分: (1)1,1,0Dx yxyyxy;(2) 2 2,Dx yyxxy,. 2.改变二次积分的积分次序: (1) 2 0 dd 2 2 ( , ) y y yf x y x ; (2) e 1 dd l
38、n 0 ( , ) x xf x yy; (3) 22 0 , x x dxfx y dy; (4) 2 2 11 -11 d( , )d x x xf x y y. 3.设( , )f x y 连续,且( , )( , )d D f x yxyf x y,其中 D 是由直线0,1yx及曲线 2 yx 所 围成的区域,求( , ).f x y 4.计算下列二重积分: (1) 22 D xyd,,|1,1Dx yxy; (2)d sin D x x ,其中D是直线yx与抛物线yx所围成的区域; (3)d D x, 22 ,|Dx yxyx; (4) 2 2-y ed d D xx y ,D是顶点
39、分别为0,0O,1 1A,0,1B的三角形闭区域. 5.求由坐标平面及2,3,4xyxyz所围的角柱体的体积. 6.计算由四个平面0,0,1,1xyxy所围的柱体被平面0z及 236xyz截得的立 体的体积 . 7.在极坐标系下计算二重积分: (1) 22 sind d D xyx y , 2222 4,|Dx yxy; (2)()d d D xyx y ,,| 22 Dx yxyxy; (3)d d D xyx y ,其中D为圆域 222 xya ; (4) 22 ln(1)d d D xyx y ,其中D是由圆周 22 1xy及坐标轴所围成的在第一象限内的闭 区域 . 19 8. 将下列积
40、分化为极坐标形式: (1) 2 dd 2 2 22 00 () axx xxyy a ; (2) dd 22 00 x xxyy a . 9.求球体 2222 xyzR 被圆柱面 22 2xyRx 所割下部分的体积. 10.作适当坐标变换,计算下列二重积分: (1) 2 2 d d D x x y y ,由12,xyxyx所围成的平面闭区域; (2)d d y xy D ex y ,,|0,01,Dx yxyxy; (3) 2 2 22 1d d D yx x y ab , 其中D是椭圆 2 2 22 1 y x ab 所围成的平面闭区域; (4)sind d D xyxyx y , ,| 0
41、,0Dx yxyxy. 11.设闭区域D由直线100,xyxy所围成,求证: 1 cosd dsin1. 2 D xy x y xy 12.求由下列曲线所围成的闭区域的面积: (1) 曲线 33 4,8,5,15xyxyxyxy所围成的第一象限的平面闭区域; (2) 曲线,xya xyb yx yx所围的闭区域0,0()ab. 20 第 3 节三重积分 3.1 三重积分的概念 三重积分是二重积分的推广,它在物理和力学中同样有着重要的应用. 在引入二重积分概念时,我们曾考虑过平面薄片的质量,类似地,现在我们考虑求解空间 物体的质量问题.设一物体占有空间区域,在 中每一点,()x y z 处的体密
42、度为,()x y z,其 中,()x y z是上的正值连续函数.试求该物体的质量. 先将空间区域任意分割成n 个小区域 12 , , , n v v v (同时也用 i v表示第i个小区域的体积).在每个小区域 i v上任取一点,() iii ,由于 , ,() x y z是连续函数,当区域 i v充分小时,密度可以近似看成不变的,且等于在点,() iii 处的密度,因此每一小块 i v的质量近似等于 ,() iiii v , 物体的质量就近似等于 1 (,) n iii i v i . 令小区域的个数n 无限增加,而且每个小区域 i v无限地收缩为一点,即小区域的最大直 径max 1 0 i
43、 in d v时,取极限即得该物体的质量 0 1 lim(,) n iii i vM i . 由二重积分的定义可类似给出三重积分的定义: 定义 1 设 是空间的有界闭区域,,()f x y z 是 上的有界函数, 任意将 分成 n 个小区 域 12 , n v v v, 同 时 用 i v表 示 该 小 区 域 的 体 积 , 记 i v的 直 径 为 i d v, 并 令 max 1 i in d v,在 i v上任取一点,() iii ,1,2,()in ,作乘积,() iiii f v ,把这些 乘积加起来得和式 1 (,) n iii i f v i ,若极限 0 1 lim(,) n
44、 iii i f v i 存在 (它不依赖于区域的分 法及点 (,) iii 的取法 ),则称这个极限值为函数,()f xy z 在空间区域上的 三重积分, 记作 , ,fx y z dv , 即 0 1 , ,lim(,) n iiii i fx y z dvf v , 其中,()f x y z 叫做 被积函数,叫做 积分区域,dv 叫做 体积元素 . 在直角坐标系中,若对区域用平行于三个坐标面的平面来分割,于是把区域分成一些小 长方体 .和二重积分完全类似,此时三重积分可用符号, ,d d dfx y zx y z 来表示,即在直角坐 标系中体积元素dv 可记为d d dx y z. 有了
45、三重积分的定义,物体的质量就可用密度函数, ,()x y z在区域 上的三重积分表示, 即 , ,Mx y z dv , 如果在区域 上 ,1()f xy z,并且 的体积记作 V ,那么由三重积分定义可知 1dvdv V . 21 这就是说,三重积分dv 在数值上等于区域的体积 . 三重积分的存在性和基本性质,与二重积分相类似,此处不再重述. 3.2 三重积分的计算 为简单起见,在直角坐标系下,我们采用微元分析法来给出计算三重积分的公式. 三重积分( , , )df x y zv表示占空间区域的物体的质量.设 是柱形区域,其上、下分别 由连续曲面()()zz x yzz x y 12 ,所围
46、成, 它们在xOy平面上的投影是有界闭区域D; 的侧 面由柱面所围成,其母线平行于z 轴,准线是D的边界线 .这时,区域可表示为 12 , , ,|()()()x y zzx yzzxyx yD 先在区域D内点,()xy 处取一面积微元dd dx y,对应地有中的一个小条,再用与xOy面 平行的平面去截此小条,得到小薄片(图 1023). 图 1023 于是以 d 为底,以dz为高的小薄片的质量为 ,d d d()f x y zx y z . 把这些小薄片沿z 轴方向积分,得小条的质量为 dd d 2 1 (, ) (,) ( , , ) zx y zx y f x y zzx y . 然后,
47、再在区域D上积分,就得到物体的质量 2 1 ( ,) ( , ) ( , , )dd d zx y zx y D f x y zzx y . 也就是说,得到了三重积分的计算公式 , ,fx y z dv = 2 1 ( ,) ( , ) ( , , )dd d zx y zx y D f x y zzx y 2 1 ( , ) ( , ) d d( , , )d zx y zx y D x yf x y zz. (10-3-1) 例 1计算三重积分d d dx x y z,其中 是三个坐标面与平面1xyz所围成的区域 (图 1024). 图 1024 22 解积分区域 在xOy平面的投影区域D是由坐标轴与直线1xy围成的区域: 10x,10yx,所以 1111 0000 d d dd ddddd xyxxy D x x y zx yx zxyx z dd 11 00 (1) x xxxyy d 2 1 0 (1) 1 224 x xx. 例 2计算三重积分dz v , 其中 2222 :,000 xyzxyzR(见图 1025) . 图 1025 解区域 在xOy平面上的投影区域 222 :,00D xyxyR.对于D中任意一点 ,()x y ,相应
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