【优质文档】八年级上册一次函数经典例题.pdf
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1、学习必备欢迎下载 一次函数复习课 知识点 1 一次函数和正比例函数的概念 若两个变量 x,y 间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b 为常数, k0 )的形式,则称 y 是 x 的一次函数(x 为自变量), 特别地,当 b=0 时, 称 y 是 x 的正比例函数 .例如: y=2x+3, y=-x+2,y= 2 1 x 等都是一次函数, y= 2 1 x,y=-x 都是正比例函数 . 【说明】 (1)一次函数的自变量的取值范围是一切实数,但在实际问题中要根据函 数的实际意义来确定 . (2)一次函数 y=kx+b(k,b 为常数, b0 )中的 “ 一次” 和一元一次方程、一元一次 不等式中
2、的 “ 一次” 意义相同,即自变量 x 的次数为 1,一次项系数 k 必须是不为零的常数, b 可为任意常数 . (3)当 b=0,k0 时,y= kx 仍是一次函数 . (4)当 b=0,k=0 时,它不是一次函数 . 知识点 2 函数的图象 把一个函数的自变量x 与所对应的 y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系 内描出它的对应点, 所有这些点组成的图形叫做该函数的图象画函数图象一般分为三步: 列表、描点、连线 知识点3 一次函数的图象 由于一次函数 y=kx+b(k,b 为常数,k0 )的图象是一条直线, 所以一次函数 y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b 由于两点确定一条
3、直线, 因此在今后作一次函数图象时, 只要描出适合关系式的两点, 再连成直线即可,一般选取两个特殊点:直线与y 轴的交点( 0,b) ,直线与 x 轴的交点 (- k b , 0) .但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数 y=kx 的图象时,只要描出点(0, 0) , (1,k)即可 . 知识点 4 一次函数 y=kx+b(k,b 为常数, k0 )的性质 (1)k 的正负决定直线的倾斜方向; k0 时,y 的值随 x 值的增大而增大; kO 时,y 的值随 x 值的增大而减小 学习必备欢迎下载 (2)|k|大小决定直线的倾斜程度,即|k|越大,直线与x 轴相交的锐角度数越大(直 线陡)
4、 ,|k|越小,直线与 x 轴相交的锐角度数越小(直线缓) ; (3)b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置; 当 b0 时,直线与 y 轴交于正半轴上; 当 b0 时,直线与 y 轴交于负半轴上; 当 b=0时,直线经过原点,是正比例函数 (4)由于 k,b 的符号不同,直线所经过的象限也不同; 如图 1118(l)所示,当 k0,b0 时,直线经过第一、二、三象限(直线不经 过第四象限); 如图 1118(2)所示,当 k0,bO 时,直线经过第一、三、四象限(直线不 经过第二象限); 如图 1118(3)所示,当 kO,b0 时,直线经过第一、二、四象限(直线不 经过第三象限); 如图
5、1118(4)所示,当 kO,bO 时,直线经过第二、三、四象限(直线不 经过第一象限) (5) 由于|k|决定直线与 x 轴相交的锐角的大小, k 相同,说明这两个锐角的大小相等, 且它们是同位角,因此,它们是平行的另外,从平移的角度也可以分析,例如:直线 y=x1 可以看作是正比例函数y=x 向上平移一个单位得到的 知识点 5 正比例函数 y=kx(k0 )的性质 (1)正比例函数 y=kx 的图象必经过原点; (2)当 k0 时,图象经过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大; (3)当 k0 时,图象经过第二、四象限,y 随 x 的增大而减小 知识点 6 点 P(x0,y0)与直线 y
6、=kx+b 的图象的关系 (1) 如果点 P (x0, y0) 在直线 y=kx+b 的图象上,那么 x0,y0的值必满足解析式y=kx+b; (2)如果 x0,y0是满足函数解析式的一对对应值,那么以x0,y0为坐标的点 P(1, 2)必在函数的图象上 例如:点 P(1,2)满足直线 y=x+1,即 x=1 时, y=2,则点 P(1,2)在直线 y=x+l 的图象上;点 P (2,1)不满足解析式y=x+1,因为当 x=2 时,y=3,所以点 P (2,1) 不在直线 y=x+l 的图象上 学习必备欢迎下载 知识点 7 确定正比例函数及一次函数表达式的条件 (1)由于正比例函数 y=kx(
7、k0 )中只有一个待定系数k,故只需一个条件(如一对 x,y 的值或一个点)就可求得k 的值 (2)由于一次函数 y=kx+b(k0 )中有两个待定系 数 k, b, 需要两个独立的条件确定两个关于k, b 的方程, 求得 k,b 的值,这两个条件通常是两个点或两对x,y 的值 知识点 8 待定系数法 先设待求函数关系式 (其中含有未知常数系数) ,再 根据条件列出方程(或方程组) ,求出未知系数,从而得 到所求结果的方法,叫做待定系数法其中未知系数也 叫待定系数例如:函数y=kx+b 中,k,b 就是待定系 数 知识点 9 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤 (1)设函数表达式为y=k
8、x+b; (2)将已知点的坐标代入函数表达式,解方程(组); (3)求出 k 与 b 的值,得到函数表达式 例如:已知一次函数的图象经过点(2,1)和( -1,-3)求此一次函数的关系式 解:设一次函数的关系式为ykx+b(k0 ) , 由题意可知, ,3 ,21 bk bk 解 . 3 5 , 3 4 b k 此函数的关系式为y= 3 5 3 4 x 【说明】 本题是用待定系数法求一次函数的关系式,具体步骤如下: 第一步,设(根 据题中要求的函数 “ 设” 关系式 y=kx+b,其中 k,b 是未知的常量, 且 k0 ) ;第二步,代(根 学习必备欢迎下载 据题目中的已知条件,列出方程(或方
9、程组) ,解这个方程(或方程组),求出待定系数 k, b) ;第三步,求(把求得的k,b 的值代回到 “ 设” 的关系式 y=kx+b 中) ;第四步,写(写 出函数关系式) . 思想方法小结 (1)函数方法 函数方法就是用运动、 变化的观点来分析题中的数量关系,抽象、升华为函数的模型, 进而解决有关问题的方法 函数的实质是研究两个变量之间的对应关系,灵活运用函数方 法可以解决许多数学问题 (2)数形结合法 数形结合法是指将数与形结合,分析、研究、解决问题的一种思想方法,数形结合法 在解决与函数有关的问题时,能起到事半功倍的作用 知识规律小结(1)常数 k,b 对直线 y=kx+b(k 0 )
10、位置的影响 当 b0 时,直线与 y 轴的正半轴相交; 当 b=0时,直线经过原点; 当 b0 时,直线与 y 轴的负半轴相交 当 k,b 异号时,即 - k b 0 时,直线与 x 轴正半轴相交; 当 b=0时,即 - k b =0 时,直线经过原点; 当 k,b 同号时,即 - k b 0 时,直线与 x 轴负半轴相交 当 kO,bO 时,图象经过第一、二、三象限; 当 k0,b=0时,图象经过第一、三象限; 当 bO,bO 时,图象经过第一、三、四象限; 当 kO,b0 时,图象经过第一、二、四象限; 当 kO,b=0 时,图象经过第二、四象限; 当 bO,bO 时,图象经过第二、三、四
11、象限 (2)直线 y=kx+b(k0 )与直线 y=kx(k 0) 的位置关系 直线 y=kx+b(k 0) 平行于直线 y=kx(k 0) 当 b0 时,把直线 y=kx 向上平移 b 个单位,可得直线y=kx+b; 学习必备欢迎下载 当 bO 时,把直线 y=kx 向下平移 |b|个单位,可得直线y=kx+b (3)直线 b1=k1x+b1与直线 y2=k2x+b2(k10 ,k20 )的位置关系 k1k2y1与 y2相交; 21 21 bb kk y1与 y2相交于 y 轴上同一点( 0,b1)或( 0,b2) ; 21 21 , bb kk y1与 y2平行; 21 21 , bb k
12、k y1与 y2重合. 典例讲解 基本题 本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之间的关系,以 及构成一次函数及正比例函数的条件 例 1 下列函数中,哪些是一次函数?哪些是正比例函数? (1)y=- 2 1 x;(2)y=- x 2 ;(3)y=-3-5x; (4)y=-5x 2; (5)y=6x- 2 1 (6)y=x(x-4)-x 2. 学习必备欢迎下载 基础应用题 本节基础知识的应用主要包括: (1)会确定函数关系式及求函数值; (2)会画一次函 数(正比例函数)图象及根据图象收集相关的信息;(3)利用一次函数的图象和性质解决 实际问题; (4)利用待定系数法求函数
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