《2014年全国高考天津省数学(理)试卷及答案【精校版】.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2014年全国高考天津省数学(理)试卷及答案【精校版】.pdf(20页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、绝密 启用前 2014 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(理工类) 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共150 分,考试用时120 分钟。第卷1 至 2 页,第卷3 至 5 页。 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。 答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答 题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利! 第卷 注意事项: 1.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其他答案标号。 2 本卷共 8 小题,每小题5 分,共 40 分。 参考
2、公式: ?如果事件A,B互斥,那么?如果事件A,B相互独立,那么 ()( )()P ABP AP B()()()P ABP A P B. ?圆柱的体积公式VSh.?圆锥的体积公式 1 3 VSh. 其中S表示圆柱的底面面积,其中S表示圆锥的底面面积, h表示圆柱的高.h表示圆锥的高 . 一、选择题:在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. (1)i是虚数单位,复数 7 34 i i + = + () (A)1i-(B)1i-+(C) 1731 2525 i+(D) 1725 77 i-+ (2) 设变量x,y满足约束条件 0, 20, 1 2 , y xy y x 则目标函数2zxy
3、的最小值为() (A)2(B)3(C)4(D)5 F E D C B A (3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的 S的值为( ) (A)15 (B)105 (C)245 (D)945 (4)函数( ) () 2 1 2 log4f xx=-的单调递增区间是() (A)()0,+ ¥(B)(),0- ¥ (C)()2,+¥(D)(),2- ? (5)已知双曲线 22 22 1 xy ab -=()0,0ab的一条渐近线平行于直线l:210yx=+, 双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为() (A) 22 1 520 xy -=(B) 22 1 205 xy -= (C) 22
4、 33 1 25100 xy -=(D) 22 33 1 10025 xy -= (6)如图,ABCD是圆的内接三角形,BACD的平分线交圆于点D, 交BC于点E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F. 在上述条 件下,给出下列四个结论: BD平分CBFD ; 2 FBFD FA=?; AE CEBE DE?;AF BDAB BF?. 则所有正确结论的序号是() (A)(B)(C)( D) (7)设,a bR?,则 |“ab”是“a ab b”的() (A)充要不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充要也不必要条件 (8)已知菱形ABCD的边长为2,120BAD?,点,E
5、F分别在边,BC DC上, BEBCl=,DFDCm=. 若1AE AF?, 2 3 CE CF?-,则lm+=() (A) 1 2 (B) 2 3 (C) 5 6 (D) 7 12 第卷 注意事项: 1用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2本卷共12 小题,共 110 分。 二、填空题(本大题共6 个小题,每小题5 分,共 30 分 .把答案填在题中横线上.) (9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向, 拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容 量为 300 的样本进行调查. 已知该校一年级、二年级、三年级、四 年级的本科生人数之比为4:5: 5:6
6、,则应从一年级本科生中抽 取_名学生 . (10)已知一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何 体的体积为 _ 3 m. (11)设 n a是首项为 1 a,公差为 -1 的等差数列, n S为其前n项 和. 若 124 ,S SS成等比数列,则 1 a的值为 _. (12)在ABCD中,内角,A B C所对的边分别是, ,a b c. 已知 1 4 bca-=, 2sin3sinBC=,则cosA的值为 _. (13)在以O为极点的极坐标系中,圆4sinrq=和直线sinarq =相交于,A B两点 . 若 AOBD是等边三角形,则a的值为 _. (14)已知函数( ) 2 3f
7、xxx=+,xR?.若方程( )10f xa x-=恰有 4 个互异的实 数根,则实数a的取值范围为_. 三、解答题(本题共6 道大题,满分80 分 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 ) (15) (本小题满分13 分) 已知函数 2 3 cossin3cos 34 fxxxx ,x R. ()求fx的最小正周期; ()求fx在闭区间, 4 4 上的最大值和最小值. 2 4 4 2 4 2 俯视图 侧视图正视图 (16) (本小题满分13 分) 某大学志愿者协会有6 名男同学, 4 名女同学 . 在这 10 名同学中, 3 名同学来自数学学院, 其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不
8、相同的七个学院. 现从这 10 名同学中随机选取3 名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). ()求选出的3 名同学是来自互不相同学院的概率; ()设 X为选出的 3 名同学中女同学的人数,求随机变量 X的分布列和数学期望 . (17) (本小题满分13 分) 如图,在四棱锥PABCD-中,PA 底面ABCD,ADAB,/ABDC, 2ADDCAP=,1AB =,点E为棱PC的中点 . ()证明BEDC; ()求直线BE与平面PBD所成角的正弦值; ()若 F为棱PC上一点,满足BFAC , 求二面角 FABP- 的余弦值 . (18) (本小题满分13 分) 设椭圆 2
9、2 22 1 xy ab (0ab)的左、右焦点为 12 ,F F,右顶点为A,上顶点为B. 已知 12 3 2 ABF F=. ()求椭圆的离心率; ()设 P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点 1 F,经过原点的直 线l与该圆相切 . 求直线的斜率. (19) (本小题满分14 分) 已知q和n均为给定的大于1 的自然数 . 设集合0,1,2,1,qM =-,集合 1 12 ,1,2, n ni Ax xxx qx qxM in - +?=+. ()当2q =, 3n= 时,用列举法表示集合 A; ()设, s tA?, 1 1 2 n n saa qa q - =+,
10、1 1 2 n n tbb qb q - =+,其中 (20) (本小题满分14 分) 已知函数( ) x fxxae=-()aR?,xR?. 已知函数( )yf x=有两个零点 12 ,x x,且 12 xx,解得2x . 由复合函数的单调性知( )f x的 单调递增区间为(),2- ?. (5)已知双曲线 22 22 1 xy ab -=()0,0ab的一条渐近线平行于直线l:210yx=+, 双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为() (A) 22 1 520 xy -=(B) 22 1 205 xy -= F E D C B A (C) 22 33 1 25100 xy -=(D
11、) 22 33 1 10025 xy -= 解:A 依题意得 222 2 5 ba c cab ? = ? ? ? = ? ? ? =+ ? ? ,所以 2 5a =, 2 20b =,双曲线的方 程为 22 1 520 xy -=. (6)如图, ABCD 是圆的内接三角形, BACD 的平分线交圆于点 D, 交BC于点E,过点 B的圆的切线与AD的延长线交于点F . 在上述条件 下,给出下列四个结论:BD平分CBFD; 2 FBFD FA=?; AE CEBE DE?;AF BDAB BF?. 则所有正确结论的序号是() (A)(B)(C)( D) 解:D 由弦切角定理得FBDEACBAE
12、?,又BFDAFB?,所以BFDD AFBD,所以 BFBD AFAB =,即AF BDAB BF?,排除 A、C. 又FBDEACDBC?,排除 B. (7)设,a bR?,则 |“ab”是“a ab b”的() (A)充要不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充要也不必要条件 解:C 设( )f xx x=,则( ) 2 2 0 ,0 , xx xx fx ?3 - = ” 是“a ab b”的充要条件 . (8)已知菱形ABCD的边长为2,120BAD?,点,E F分别在边,BC DC上, BEBCl=,DFDCm=. 若1AE AF?, 2 3 CE CF?-,则lm
13、+=() (A) 1 2 (B) 2 3 (C) 5 6 (D) 7 12 解: C因为120BAD?,所以cos1202ABADABAD?鬃= -. 因为BEBCl=,所以AEABADl=+,AFABADm=+. 因为1AE AF?,所以 ()() 1ABADABADlm+?=,即 3 22 2 lml m+-= 同理可得 2 3 l mlm-= -, +得 5 6 lm+=. 第卷 注意事项: 1用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2本卷共12 小题,共 110 分。 二、填空题(本大题共6 个小题,每小题5 分,共 30 分 .把答案填在题中横线上.) (9)某大学为了解在校本科
14、生对参加某项社会实践活动的意向, 拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容 量为 300 的样本进行调查. 已知该校一年级、二年级、三年级、四 年级的本科生人数之比为4:5: 5:6,则应从一年级本科生中抽 取_名学生 . 解: 60 应从一年级抽取 4 60 4556 300? + 名 . (10)已知一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何 体的体积为 _ 3 m. 解: 20 3 p 该几何体的体积为 2120 422 33 p pp?鬃= 3 m. (11)设 n a是首项为 1 a,公差为 -1 的等差数列, n S为其前n项和 . 若 124 ,S SS成
15、等比数 列,则 1 a的值为 _. 解: 1 2 -依题意得 2 214SS S= ,所以( )() 2 111 2146aaa-=-,解得 1 1 2 a = -. (12)在ABCD中,内角,A B C所对的边分别是, ,a b c. 已知 1 4 bca-=, 2sin3sinBC=,则cosA的值为 _. 解: 1 4 -因为2sin3sinBC=,所以23bc=,解得 3 2 c b =,2ac=. 所以 222 1 cos 24 bca A bc +- = -. (13)在以O为极点的极坐标系中,圆4sinrq=和直线sinarq =相交于,A B两点 . 若 2 4 4 2 4
16、2 俯视图 侧视图正视图 AOBD是等边三角形,则a的值为 _. 解: 3圆的方程为 () 2 2 24xy+-=,直线为ya=. 因为 AOBD 是等边三角形,所以其中一个交点坐标为 , 3 a a 骣 ? ? ? 桫 ,代入圆的方程可得 3a = . (14)已知函数( ) 2 3f xxx=+,xR?.若方程 ( ) 10f xa x-=恰有 4 个互异的实数根,则实数a的取值范围 为_. 解:01a 显然 0a . ()当()1ya x= -与 2 3yxx= -相切时,1a =,此时( )10f xa x-=恰有 3 个互异的实数根. ()当直线()1ya x=-与函数 2 3yxx
17、=+相切时,9a =, 此时( )10f xa x-=恰有 2 个互异的实数根. 结合图象可知01a. 解 2:显然 1a 1 ,所以 2 3 1 xx a x + = - . 令 1tx=- ,则 4 5at t =+. 因为( ), 4 44t t ?+, 所以() 4 5,19,t t ?+. 结合图象可得01a. 三、解答题(本题共6 道大题,满分80 分解答应 写出文字说明,证明过程或演算步骤 ) (15) (本小题满分13 分) x y 31O x y 13 O t y O 9 1 已知函数 2 3 cossin3cos 34 fxxxx ,xR. ()求fx的最小正周期; ()求
18、 fx 在闭区间, 4 4 上的最大值和最小值. (15)本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式与余弦公式,三角函数的最小正 周期、单调性等基础知识. 考查基本运算能力. 满分 13 分. () 解: 由已知,有( ) 2 133 cossincos3cos 224 fxxxxx 骣 ? =诅+-+ ? ? 桫 2 133 sincoscos 224 xxx=?+ () 133 sin 21cos2 444 xx=-+ 13 sin 2cos2 44 xx=- 1 sin 2 23 x p骣 ? =- ? ? 桫 . 所以,( )f x的最小正周期 2 2 T p p=. () 解:
19、因为( )f x在区间, 412 pp轾 犏- 犏 臌 上是减函数,在区间, 12 4 pp轾 犏 - 犏 臌 上是增函数 . 1 44 f p骣 ?- = - ? ? 桫 , 1 122 f p骣 ?- = - ? ? 桫 , 1 44 f p骣 ? = ? ? 桫 . 所以,函数( )f x在闭区间, 4 4 p p 轾 犏- 犏 臌 上的最大值为 1 4 ,最小值为 1 2 -. (16) (本小题满分13 分) 某大学志愿者协会有6 名男同学, 4 名女同学 . 在这 10 名同学中, 3 名同学来自数学学院, 其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这 10 名
20、同学中随机选取3 名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). ()求选出的3 名同学是来自互不相同学院的概率; ()设X为选出的3 名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望. (16)本小题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件、 离散型随机变量的分布列与 数学期望等基础知识. 考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 满分 13 分. () 解: 设“选出的3 名同学来自互不相同的学院”为事件A,则 ( ) 1203 3737 3 10 49 60 CCCC P A C ? =. 所以,选出的3 名同学来自互不相同学院的概率为 49 60 . 所以,( )
21、f x的最小正周期 2 2 T p p=. () 解: 随机变量X的所有可能值为0,1,2, 3. () 3 46 3 10 kk CC P xk C - =()0,1 ,2,3k =. 所以,随机变量X的分布列是 X0 1 2 3 P 1 6 1 2 3 10 1 30 随机变量 X的数学期望() 11316 123 6210305 0E X?=+?. (17) (本小题满分13 分) 如图,在四棱锥PABCD-中,PA 底面ABCD,AD AB ,/ABDC, 2ADDCAP=,1AB =,点E为棱PC的中点 . ()证明 BEDC ; ()求直线BE与平面PBD所成角的正弦值; ()若F
22、为棱PC上一点,满足BFAC, 求二面角FABP-的余弦值 . (17)本小题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角、直 线与平面所成的角,直线与平面垂直等基础知识. 考查用空间 z y x P E DC B A 向量解决立体几何问题的方法. 考查空间想象能力、 运算能力和推理论证能力. 满分 13 分. (方法一) 依题意,以点A为原点建立空间直角坐标系(如图), 可得()1,0,0B,()2,2,0C,()0,2,0D, () 0,0,2P. 由E为棱PC的中点,得()1,1,1E. () 证明: 向量 ()0,1,1BE = , ()2,0,0DC = ,故0BE DC?. 所以, BE
23、DC . () 解: 向量()1,2,0BD = -,()1,0,2PB =-. 设(), ,nx y z=为平面PBD的法向量,则 0, 0, n BD n PB ? ? ? ? ? ? ? 即 20, 20. xy xz - += ? ? ? -= ? ? 不妨令1y =,可得() 2,1,1n = 为平面 PBD的一个法向量 .于是有 23 cos, 362 n BE n BE nBE = = . 所以,直线BE与平面PBD所成角的正弦值为 3 3 . () 解: 向量 ()1,2,0BC = , ()2,2,2CP = - , ()2,2,0AC = , ()1,0,0AB = . 由
24、点F在棱PC上,设CFCPl=,01l. 故()12 ,22 ,2BFBCCFBCCPllll=+=+=-. 由BFAC,得0BFAC?, 因此,()() 2 122 220ll-+-= ,解得 3 4 l =. 即 1 1 3 , 2 2 2 BF 骣 ? =- ? ? 桫 . 设() 1 , ,nx y z=为平面FAB的法向量,则 1 1 0, 0, nAB nBF ? ? ? ? ? ? 即 0, 113 0. 222 x xyz = ? ? ? ?- += ? ? ? 不妨令 1z= ,可得 () 1 0,3,1n =-为平面FAB的一个法向量. 取平面ABP的法向量() 2 0,1
25、,0n =,则 12 12 11 33 10 cos, 10101 nn n n nn - = - . 易知,二面角 FABP- 是锐角,所以其余弦值为 3 10 10 . (方法二) () 证明: 如图,取PD中点M,连接EM,AM. 由于,E M分别为,PC PD的中点,故/EMDC,且 1 2 EMDC=, 又由已知,可得/EMAB且EMAB=,故四边形ABEM为平行四边形,所以 /BEAM. 因为PA底面ABCD,故PACD,而CDDA,从而CD 平面PAD,因为 AM 平面PAD,于是CDAM,又/BEAM,所以BECD. () 解: 连接BM,由()有CD 平面PAD,得CDPD,
26、而/EMCD,故 PDEM. 又因为 ADAP= ,M为PD的中点,故 PDAM ,可得 PDBE ,所以 PD 平面 BEM,故平面BEM 平面PBD. 所以直线 BE在平面PBD内的射影为直线BM,而BEEM ,可得 EBMD 为锐角,故 EBMD为直线BE与平面PBD所成的角 . 依题意,有2 2PD =,而M为PD中点,可得2AM =,进而2BE =. 故在直角三角形BEM中,tan 1 2 EMAB EBM BEBE ?=,因此 3 in 3 sEMB?. 所以,直线BE与平面PBD所成角的正弦值为 3 3 . ()解:如图,在PACD中,过点F作/FHPA交AC 于点H. 因为PA
27、 底面ABCD,故FH 底面ABCD,从而 FHAC. 又BFAC,得AC 平面FHB,因此 ACBH. 在底面 ABCD内,可得3CHHA= ,从而 3CFFP= . 在平面PDC内,作 /FGDC交 PD于点G,于是3DGGP=. 由于/DCAB,故/GFAB,所以,A B F G四点共面 . 由AB PA ,AB AD ,得AB 平面PAD,故 ABAG . 所以 PAGD 为二面角 FABP- 的平面角 . 在PAGD中,2PA=, 12 42 PGPD=,45APG?, 由余弦定理可得 10 2 AG =, 3 os 10 0 c 1 PAG?. 所以,二面角FABP-的斜率值为 3
28、 10 10 . (18) (本小题满分13 分) 设椭圆 22 22 1 xy ab (0ab)的左、右焦点为 12 ,F F,右顶点为A,上顶点为B. 已知 12 3 2 ABF F=. ()求椭圆的离心率; ()设 P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点 1 F,经过原点的直 线l与该圆相切 . 求直线的斜率. (18)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、 圆的方程等基础知识. 考 查用代数方法研究圆锥曲线的性质. 考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力. 满分 13 分. () 解:设 椭圆的右焦点 2 F的坐标为(),0c. 由 12 3 2
29、ABF F=,可得 222 3abc+=, 又 222 bac=-,则 2 2 1 2 c a =. 所以,椭圆的离心率 2 2 e=. 22 3abc+=,所以 222 23acc-=,解得2ac=, 2 2 e =. () 解: 由()知 22 2ac=, 22 bc=. 故椭圆方程为 22 22 1 2 xy cc +=. 设() 00 ,P xy. 由() 1 ,0Fc-,()0,Bc,有() 100 ,F Pxc y=+,() 1 ,F Bc c=. 由已知,有 11 0FPFB?,即() 00 0xc cy c+=. 又0c 1,故有 00 0xyc+=. 又因为点P在椭圆上,故
30、22 00 22 1 2 xy cc +=. 由和可得 2 00 340xcx+=. 而点P不是椭圆的顶点,故 0 4 3 c x = -,代入得 0 3 c y =, 即点P的坐标为 4 , 33 c c 骣 ?- ? ? 桫 . 设圆的圆心为() 11 ,T x y,则 1 4 0 2 3 23 c xc -+ = -, 1 2 3 23 c c yc + =,进而圆的半径 ()() 22 11 5 0 3 rxycc=-+-=. 设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为ykx= 由l与圆相切,可得 11 2 1 kxy r k - = + ,即 2 22 335 3 1 cc k c
31、k 骣 ? - ? ? 桫 = + , 整理得 2 810kk-+=,解得415k =?. 所以,直线 l的斜率为 415+或415-. (19) (本小题满分14 分) 已知q和n均为给定的大于1 的自然数 . 设集合0,1,2,1,qM =-,集合 1 12 ,1,2, n ni Ax xxx qx qxM in - +?=+. ()当2q =,3n=时,用列举法表示集合A; ()设, s tA?, 1 1 2 n n saa qa q - =+, 1 1 2 n n tbb qb q - =+,其中 , ii a bM?,1,2,in=. 证明:若 nn ab在R上恒成立,可得( )f
32、x在R上单调递增,不合题意. (2)0a时, 由( )0fx=,得lnxa= -. 当x变化时,( )fx ,( )f x的变化情况如下表: x () ,ln a- ? lna-() ln ,a-+ ¥ ( )fx 0 ( ) fx ln1a- 这时,( )f x的单调递增区间是(),ln a- ?;单调递减区间是()ln , a-+ ¥. 于是, “函数( )yf x=有两个零点”等价于如下条件同时成立: 1()ln0fa-;2存在() 1 ,ln as ?,满足( ) 1 0fs ,即ln10a,解得 1 0ae - . 由已知, 12 ,x x满足( ) 1 ag x=,() 2 ag
33、x=. 由() 1 0,ae - ? ,及( )g x的单调性,可得 ()1 0,1x ?,() 2 1,x ?. 对于任意的() 1 12 0,a ae - ?,设 12 aa,( )() 121 ggaxx=,其中 12 01xx,即( )() 11 ggxh,可得 11 xh;类似可得 22 xh,得 222 111 xhh xxh ,且 21 21 , ln , xtx xxt = ? ? ? -= ? ? 解得 1 ln 1 t x t = - , 2 ln 1 tt x t = - . 所以, () 12 1 ln 1 tt xx t + += - . 令( ) ()1 ln 1 xx h x x + = - ,()1,x ?,则 ( ) () 2 1 2ln 1 xx x hx x -+- = - . 令( ) 1 2lnu xxx x = -+-,得( ) 2 1x ux x 骣- ? = ? ? 桫 . 当()1,x ?时,( )0ux . 因此,( )u x在()1,+ ¥上单调递增,故对于任意的 () 1,x?,( )( )10u xu=,由此可得( )0hx ,故( )h x在()1,+ ¥上单调递增 . 因此,由可得 12 xx+随着t的增大而增大. 而由(),t随着a的减小而增大,所以 12 xx+随着a的减小而增大.
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