【考前三个月】高考数学必考题型过关练:第26练(含答案).pdf
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1、第 26 练数列求和问题大全 题型一分组转化法求和 例 1等比数列 an 中, a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列第二列第三列 第一行3210 第二行6414 第三行9818 (1)求数列 an的通项公式; (2)若数列 bn满足: bnan(1) nln a n,求数列 bn的前 n项和 Sn. 破题切入点(1)可以通过逐个验证来确定数列的前三项,进而求得an; (2)可以分组求和:将bn前 n 项和转化为数列an 和数列 ( 1) nln a n前 n 项的和 解(1)当 a13 时,不合题意; 当 a12 时
2、,当且仅当a26,a318 时,符合题意; 当 a110 时,不合题意 因此 a12,a26,a318.所以公比 q3. 故 an2 3 n1 (nN* ) (2)因为 bnan(1) nln a n 2 3n 1(1)nln(2 3 n1) 2 3n 1(1)nln 2(n1)ln 3 2 3n 1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3, 所以Sn2(1 3 3 n1)1 11(1)n (ln 2ln 3)12 3 ( 1) nnln 3. 所以当 n 为偶数时, Sn2 13 n 13 n 2ln 3 3n n 2ln 3 1; 当 n 为奇数时, Sn2 13 n 13 (ln
3、2 ln 3) n1 2 n ln 3 3n n1 2 ln 3ln 21. 综上所述, Sn 3 nn 2ln 31, n为偶数, 3 nn1 2 ln 3ln 21,n为奇数 . 题型二错位相减法求和 例 2已知:数列 an 的前 n 项和为 Sn,且满足Sn2an n(nN *) (1)求 a1, a2的值; (2)求数列 an的通项公式; (3)若数列 bn的前 n 项和为 Tn,且满足 bnnan(nN * ),求数列 bn 的前 n 项和 Tn. 破题切入点(1)代入求解即可 (2)由 Sn 2ann 得 Sn12an1(n1), n2,两式相减构造数列求通项公式 (3)错位相减求
4、和 解(1)Sn2ann. 令 n1,解得 a11; 令 n2,解得 a23. (2)Sn2ann, 所以 Sn12an1(n1)(n2,nN *), 两式相减得an2an1 1, 所以 an12(an11)(n2,nN *), 又因为 a112, 所以数列 an1是首项为2,公比为 2 的等比数列 所以 an12n,即通项公式an2n 1(nN *) (3)bnnan,所以 bn n(2 n 1)n 2nn, 所以 Tn(1 211)(222 2) (3233)(n 2nn), Tn(1 2 12 223 23 n 2n)(123n) 令 Sn1 212 223 23 n 2n, 2Sn1
5、2 22 23 3 24 n 2n1, ,得 Sn2122232nn 2n 1, Sn 2 12 n 1 2 n 2n 1, Sn2(1 2 n)n 2n12(n1) 2n 1, 所以 Tn2(n1) 2n 1n n1 2 (nN * ) 题型三倒序相加法求和 例 3已知函数f(x) 1 4 x2(xR) (1)证明: f(x)f(1x) 1 2; (2)若数列 an的通项公式为anf( n m)(mN *,n1,2, m),求数列 a n的前 m 项和 Sm; (3)设数列 bn满足 b11 3,bn 1b2 nbn,Tn 1 b11 1 b2 1 1 bn 1 ,若 (2)中的 Sm满足对
6、 不小于 2 的任意正整数m, Sm0, 则 1 bn1 1 bnbn1 1 bn 1 bn1, 即 1 bn1 1 bn 1 bn1, 所以 Tn( 1 b1 1 b2) ( 1 b2 1 b3) ( 1 bn 1 bn1) 1 b1 1 bn13 1 bn1. 因为 bn1bn b2 n0, 所以 bn1bn, 即数列 bn是单调递增数列 所以 Tn关于 n 递增, 所以当 nN *时, T nT1. 因为 b11 3,b 2(1 3) 21 3 4 9, 所以 TnT13 1 b2 3 4. 由题意,知Sm3 4, 即 m 4 1 12 3 4,解得 m 10 3 , 所以正整数m 的最
7、大值为3. 题型四裂项相消法求和 例 4在公差不为0 的等差数列 an中, a1,a4,a8成等比数列 (1)已知数列 an 的前 10 项和为 45,求数列 an的通项公式; (2)若 bn 1 anan1,且数列 b n的前 n 项和为 Tn,若 Tn 1 9 1 n9,求数列 a n的公差 破题切入点(1)列方程组 (两个条件 )确定 an. (2)可以采用裂项相消法求得含有公差的表达式,再和已知Tn1 9 1 n 9对比求得公差 解设数列 an的公差为 d, 由 a1,a4,a8成等比数列可得 a 2 4a1 a8,即 (a13d) 2a 1(a17d), a2 16a1d9d 2a2
8、 17a1d, 而 d0, a19d. (1)由数列 an的前 10 项和为 45 可得 S1010a1 109 2 d45, 即 90d45d45,故 d 1 3,a 13, 故数列 an的通项公式为 an 3(n1) 1 3 1 3(n 8) (2)bn 1 anan1 1 d 1 an 1 an1 , 则数列 bn的前 n 项和为 Tn 1 d 1 a1 1 a2 1 a2 1 a3 1 an 1 an1 1 d 1 a1 1 an1 1 d 1 9d 1 9d nd 1 d 2 1 9 1 n9 1 9 1 n9. 所以 1 d 21,d 1. 故数列 an的公差 d1 或 1. 总结
9、提高数列求和的主要方法: (1)分组求和法:一个数列既不是等差数列也不是等比数列,若将这个数列适当拆开,重新组 合,就会变成几个可以求和的部分,即能分别求和,然后再合并,或对字母n 分类讨论后再 求和 (2)错位相减法:这是推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,主要用于求 an bn 的前 n 项和,其中 an和bn分别是等差数列和等比数列 (3)倒序相加法:这是推导等差数列前n 项和时所用的方法,将一个数列倒过来排序,如果原 数列相加时,若有公因式可提,并且剩余项的和易于求得,则这样的数列可用倒序相加法求 和 (4)裂项相消法:把数列和式中的各项分别裂开后,消去一部分从而计算和的方法,适
10、用于求 通项为 1 an an1的前 n 项和,其中 a n 若为等差数列,则 1 an an1 1 d ( 1 an 1 an1) 其余还有公式法求和等 1若数列 an的通项公式为an 2 n n2 ,则其前n 项和 Sn为() A1 1 n2 B. 3 2 1 n 1 n1 C.3 2 1 n 1 n2 D. 3 2 1 n1 1 n2 答案D 解析方法一因为 an 2 n n2 1 n 1 n2, 所以 Sna1 a2an 1 1 3 1 2 1 4 1 3 1 5 1 n1 1 n1 1 n 1 n2 1 1 2 1 n1 1 n2 3 2 1 n1 1 n2 . 故选 D. 方法二因
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