(完整版)中考数学圆综合题(含答案).pdf
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1、1 / 17 一.圆地概念 集合形式地概念:1. 圆可以看作是到定点地距离等于定长地点地集合; 2.圆地外部:可以看作是到定点地距离大于定长地点地集合; 3.圆地内部:可以看作是到定点地距离小于定长地点地集合 轨迹形式地概念: 1.圆:到定点地距离等于定长地点地轨迹就是以定点为圆心,定长为半径地圆; (补充 )2.垂直平分线:到线段两端距离相等地点地轨迹是这条线段地垂直平分线(也叫中垂线); 3.角地平分线:到角两边距离相等地点地轨迹是这个角地平分线; 4.到直线地距离相等地点地轨迹是:平行于这条直线且到这条直线地距离等于定长地两条直线; 5.到两条平行线距离相等地点地轨迹是:平行于这两条平行
2、线且到两条直线距离都相等地一条直线. 二.点与圆地位置关系 1.点在圆内dr点C在圆内; 2.点在圆上dr点B在圆上; 3.点在圆外dr点A在圆外; 三.直线与圆地位置关系 1.直线与圆相离dr无交点 ; 2.直线与圆相切dr有一个交点; 3.直线与圆相交dr有两个交点; d r d=r r d 四.圆与圆地位置关系 外离(图 1)无交点dRr; r d d C B A O 2 / 17 外切(图 2)有一个交点dRr; 相交(图 3)有两个交点RrdRr; 内切(图 4)有一个交点dRr; 内含(图 5)无交点dRr; 图1 r R d 图3 rR d 五.垂径定理 垂径定理:垂直于弦地直径
3、平分弦且平分弦所对地弧. 推论 1: (1)平分弦(不是直径)地直径垂直于弦,并且平分弦所对地两条弧; (2)弦地垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对地两条弧; (3)平分弦所对地一条弧地直径,垂直平分弦 ,并且平分弦所对地另一条弧 以上共 4 个定理 ,简称 2 推 3 定理:此定理中共5 个结论中 ,只要知道其中2 个即可推出其它3 个结论 ,即: AB是直径ABCDCEDE 弧BC弧BD 弧AC弧AD 中任意 2 个条件推出其他3 个结论 . 推论 2:圆地两条平行弦所夹地弧相等. 即:在O中,ABCD 弧AC弧BD 六.圆心角定理 图 2 r R d 图4 r R d 图5 r R d
4、O E DC B A O C D A B 3 / 17 圆心角定理: 同圆或等圆中 ,相等地圆心角所对地弦相等,所对地弧相等 ,弦心距相等. 此 定理也称 1 推 3 定理 ,即上述四个结论中, 只要知道其中地1 个相等 ,则可以推出其它地3 个结论 , 即:AOBDOE; ABDE; OCOF;弧BA弧BD 七.圆周角定理 1.圆周角定理:同弧所对地圆周角等于它所对地圆心地角地一半. 即:AOB和ACB是弧AB所对地圆心角和圆周角 2AOBACB 2.圆周角定理地推论: 推论 1:同弧或等弧所对地圆周角相等;同圆或等圆中,相等地圆周角所对地弧是等弧; 即:在O中 ,C.D都是所对地圆周角 C
5、D 推论2:半圆或直径所对地圆周角是直角;圆周角是直角所对地弧是半圆 ,所对地弦是直径. 即:在O中 ,AB是直径或90C 90CAB是直径 推论 3:若三角形一边上地中线等于这边地一半,那么这个三角形是直角三角形 . 即:在ABC中,OCOAOB ABC是直角三角形或90C 注:此推论实是初二年级几何中矩形地推论:在直角三角形中斜边上地中线等于斜边地一半地逆定理. 八.圆内接四边形 F E D C B A O C B A O D C B A O C BA O C BA O 4 / 17 圆地内接四边形定理:圆地内接四边形地对角互补,外角等于它地内对角. 即:在O中, 四边形ABCD是内接四边
6、形 180CBAD180BD DAEC 九.切线地性质与判定定理 (1)切线地判定定理:过半径外端且垂直于半径地直线是切线; 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即:MNOA且MN过半径OA外端 MN是O地切线 (2)性质定理:切线垂直于过切点地半径(如上图) 推论 1:过圆心垂直于切线地直线必过切点. 推论 2:过切点垂直于切线地直线必过圆心. 以上三个定理及推论也称二推一定理: 即:过圆心;过切点;垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个. 十.切线长定理 切线长定理: 从圆外一点引圆地两条切线,它们地切线长相等,这点和圆心地连线平分两条 切线地夹角 . 即:PA.P
7、B是地两条切线 PAPB PO平分BPA E D C B A NM A O P B A O 5 / 17 十一 .圆幂定理 (1) 相交弦定理 :圆内两弦相交,交点分得地两条线段地乘积相等. 即:在O中 ,弦AB.CD相交于点P, PA PBPC PD (2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦地一半是它分直径所成地两条线段地比例中项. 即:在O中 ,直径ABCD, 2 CEAE BE (3) 切割线定理 :从圆外一点引圆地切线和割线,切线长是这点到割线与圆交 点地两条线段长地比例中项. 即:在O中 ,PA是切线 ,PB是割线 2 PAPC PB (4) 割线定理 :从圆外一点引圆地两条割线,这
8、一点到每条割线与圆地交点地两条线段长地积相等(如上图). 即:在O中 ,PB.PE是割线 PC PBPD PE 十二 .两圆公共弦定理 圆公共弦定理:两圆圆心地连线垂直并且平分这两个圆地地公共弦 . 如图:12OO垂直平分AB. 即: 1 O. 2 O相交于A.B两点 12 OO垂直平分AB 十三 .圆地公切线 两圆公切线长地计算公式: P O D C B A OE D C B A D E C B P A O B A O1 O2 C O2 O1 B A 6 / 17 (1)公切线长: 12 RtO O C 中 , 2222 1122 ABCOO OCO; (2)外公切线长: 2 CO是半径之差
9、;内公切线长: 2 CO是半径之和 . 十四 .圆内正多边形地计算 (1)正三角形 在O中ABC是正三角形,有关计算在Rt BOD中进行: :1:3 :2ODBD OB; (2)正四边形 同理 ,四边形地有关计算在 Rt OAE中进行 ,:1:1:2OEAE OA : (3)正六边形 同理 ,六边形地有关计算在Rt OAB中进行 ,:1:3: 2AB OB OA. 十五 .扇形 .圆柱和圆锥地相关计算公式 1.扇形: (1)弧长公式: 180 n R l; (2)扇形面积公式: 2 1 3602 n R SlR n:圆心角R:扇形多对应地圆地半径l:扇形弧长S:扇形面积 2012数学中考圆综合
10、题 1如图 ,ABC 中,以 BC 为直径地圆交AB 于点 D,ACD=ABC (1)求证: CA 是圆地切线; D C B A O E CB AD O B A O Sl B A O 7 / 17 (2)若点 E 是 BC 上一点 ,已知 BE=6,tanABC= 3 2 ,tan AEC= 3 5 ,求圆地直径 2 如图 ,已知 AB 是 O 地弦 ,OB2,B30,C 是弦 AB 上地任意一点(不与点A.B 重合) ,连接 CO 并延长 CO 交于 O 于点 D,连接 AD (1)弦长 AB 等于(结果保留根号) ; (2)当 D20时 ,求 BOD 地度数; (3)当 AC 地长度为多少
11、时 ,以 A.C.D 为顶点地三角形与以B.C.O 为顶点地三角形相似?请写出解答过程 3. 如图右 , 已知直线PA交 0 于 A.B 两点 ,AE 是 0 地直径点C为 0 上一点 , 且 AC平 分 PAE,过 C作 CD PA,垂足为 D. (1) 求证: CD为 0 地切线; 8 / 17 (2) 若 DC+DA=6, 0 地直径为l0, 求 AB地长度 . 1. (1)证明:连接OC, 点 C在 0 上,0A=OC, OCA= OAC, CD PA, CDA=90 , 有 CAD+ DCA=90 , AC平分 PAE, DAC= CAO. DC0= DCA+ ACO= DCA+ C
12、AO= DCA+ DAC=90 . 又点 C在 O上,OC 为 0 地半径 , CD为 0 地切线 (2) 解:过 0 作 0F AB,垂足为 F, OCA= CDA= OFD=90 , 四边形 OCDF 为矩形 , 0C=FD,OF=CD. DC+DA=6, 设 AD=x,则 OF=CD=6-x, O地直径为10, DF=OC=5, AF=5-x, 在 RtAOF中, 由勾股定理得 222 AF +OF =OA . 即 22 (5)(6)25xx, 化简得: 2 11180xx 解得2x或9x. 由 ADDF,知05x, 故2x. 从而 AD=2, AF=5-2=3. OF AB,由垂径定理
13、知,F 为 AB地中点 , AB=2AF=6. 4 (已知四边形ABCD 是边长为 4 地正方形 ,以 AB 为直径在正方形内作半圆,P 是半圆上地动点(不与点A.B 重合) ,连 接 PA.PB.PC.PD (1)如图 ,当 PA 地长度等于时,PAB60; 当 PA 地长度等于时,PAD 是等腰三角形; (2)如图 ,以 AB 边所在直线为x 轴 .AD 边所在直线为y 轴,建立如图所 示地直角坐标系(点 A 即为原点 O),把 PAD. PAB.PBC 地面积 分别记为S1.S2.S3坐标为( a,b),试求 2 S1 S3S22地最大值 ,并求出 此时 a,b 地值 5. 9 / 17
14、 6.(11 金华)如图 ,射线 PG 平分 EPF,O 为射线 PG 上一点 ,以 O 为圆心 ,10 为半径作 O,分别与 EPF 地两边相交于 10 / 17 A.B 和 C.D,连结 OA,此时有 OA/PE (1)求证: AP=AO; (2)若 tanOPB= 1 2 ,求弦 AB 地长; (3)若以图中已标明地点(即P.A.B.C.D.O)构造四边形 ,则能构成菱形地四个点为,能构成等腰梯形地四个点为 或或 . (1) PG 平分 EPF, DPO=BPO , OA/PE , DPO=POA , BPO=POA,PA=OA; 2 分 (2)过点 O 作 OHAB 于点 H,则 AH
15、=HB= 1 2 AB, 1 分 tanOPB= 1 2 OH PH ,PH=2OH, 1 分 设 OH=x,则 PH=2x, 由( 1)可知 PA=OA= 10 ,AH =PHPA=2x10, 222 AHOHOA, 222 (210)10xx, 1 分 解得 1 0x(不合题意 ,舍去) , 2 8x, AH=6, AB= 2AH= 12; 1 分 (3)P.A.O.C;A.B.D.C 或 P.A.O.D 或 P.C.O.B. 7 (芜湖市)(本小题满分12 分) 如图 ,BD 是 O 地直径 ,OAOB,M 是劣弧 AB 上一点 ,过点 M 点作 O 地切线 MP 交 OA 地延长线于P
16、 点 ,MD 与 OA 交于 N 点 (1)求证: PM PN; (2)若 BD4,P A 3 2 AO,过点 B 作 BCMP 交 O 于 C 点,求 BC 地长 8(黄冈市) (6 分) 如图 , 点 P为 ABC地内心 , 延长 AP交 ABC地外接圆于D,在 AC延长线上有一点E,满足 AD 2 AB AE, 求证: DE是 O地切线 . P A B C O D E F G 第 21 题图 H P A B C O D E F G 11 / 17 (证明:连结DO, AD 2 AB AE,BAD DAE, BAD DAE, ADB E. 又 ADB ACB, ACB E,BC DE, 又
17、 OD BC,OD DE,故 DE是 O地切线) 9 ( 义 乌 市 ) 如 图 , 以 线 段AB为 直 径 地 O交 线 段AC于 点E, 点M是 ? AE 地 中 点 ,OM交AC于 点 D,60BOE, 1 cos 2 C,2 3BC (1)求A地度数; (2)求证:BC是O地切线; (3)求 ? MD地长度 (解:(1)BOE=60A 1 2 BOE 30 (2)在ABC中 1 cos 2 CC=60 1 分又A 30 ABC=90ABBC 2 分BC是O地切线 (3) 点M是 ? AE 地中点OMAE在 RtABC中 2 3BCAB=tan602 33BCg6 OA= 3 2 AB
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