2019版高考数学大一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第7节离散型随机.docx.pdf
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1、第7节 离散型随机变量及其分布列 最新考纲1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随 机现象的重要性;2. 理解超儿何分布及其导出过程,并能进行简单应用. 基础诊断 知识梳理 1.离散型随机变量 如果随机变量才的所有对能的取值都能一一列举出来, 则称才为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列及性质 (1)离散型随机变量的分布列:若离散型随机变量/ 所有可能取的值为蔺,出,益,? ? , Xn,尤取每一个值池( /=1, 2,,/?) 的概率为 Q, p,,必,则表 X ? ? ? Xi ? ? ?Xn PPlPl. ? ? ?Pi? ? ?A 称为离散型随机
2、变量尤的概率分布或称为离散型随机变量尤的分布列. (2)离散型随机变量分布列的性质: 20(/=1, 2, 3,,/?);Q+R- 6=1; P(xWxWx) =Q+Q+I - PJ. 3.常见离散型随机变量的分布列 (1)二点分布:如果随机变量*的分布列为 X10 P PQ 其中0/Xl, o=l Q,则称离散型随机变量才服从参数为Q的二点分布 . (2)超几何分布:设有总数为艸件的两类物品,其中一类有件,从所有物品中任取刀件 SWA),这刀件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量,当X=m时的概率为P(X= 加)=违 工(0刃 W厶/ 为刀和中较小的一个 ) ,称离散型随机变量尤的这种形
3、式的概率分布为超几何 分布,也称X服从参数为M必刀的超几何分布 . 常用结论与微点提醒 1?求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定才的取值情况,然后利用排列、组 回归教材,夯实基础 合与概率知识求出 / 取各个值的概率 . 2.耍会根据分布列的两个性质來检验求得的分布列的正误. 3.超几何分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布模型,要会根据问题特征去判断随机变 量是否服从超几何分布,然后利用相关公式进行计算. 诊断自测 1 ?思考辨析( 在抄号内打“厂或“ X ” ) (1)离散型随机变量的概率分布列中,各个概率之和可以小于1.() (2)对于某个试验,离散型随机变量的取值可能有明
4、确的意义,也可能不具有实际意义.() (3)如果随机变量尤的分布列由下表给出, 2 5 P0.30.7 则它服从两点分布 .() (4)一个盒中装有4个黑球、3个白球,从中任取一球,若是白球则取出来,若是黑球则放冋 盒中,直到把白球全部取出来,设取到黑球的次数为匕则尤服从超儿何分布.() 解析 对于 仃) ,离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件,故各个概率Z和等于1, 故(1)不正确;对 于(2),因为离散型随机变量的所有结果都可用数值表示,其中每一个数值都有明确的实际的意 义,故(2)不正确;对于(3),才的取值不是0和1,故不是两点分布, (3)不正确;对于(4),因为超几何分布是不放
5、回抽样,所以试验中取到黑球的次数*不服从 超儿 何分布,(4)不正确 . 答案 X (2) X (3) X (4) X 2.袋中有3个白球、5个黑球,从中任取两个,可以作为随机变量的是() A.至少取到1个白球B.至多取到1个白球 C.取到白球的个数D.取到的球的个数 解析 选项A, B表述的都是随机事件,选项D是确定的值2,并不随机;选项C是随机变量,可 能取值为0, 1, 2. 答案C 3.( 教材练习改编 ) 设随机变量 *的分布列如卜?: X12345 P 1111 72 636 P 则“为() 1 1 1 1 A *6 B.C 盲D.- 解析 由分布列的性质,吉+ +2+右+円, 答
6、案C 4.一盒中有12个乒乓球,其中9个新的、3个旧的,从盒中任取3个球來用,用完后装回 盒中,此吋盒中旧球个数才是一个随机变量,则戶(才=4)的值为() 答案C 5.(2018 ?大连双基口测)设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X去描述1次 试验的成功次数,则PCT=0)= _ . 解析 由已知得才的所有可能取值为0, 1, 且PCr=i)=2PCr=o),由AA r=D+/? (z=o) = i, 得P(X=O) =|答案I 考点一离散型随机变量分布列的性质 【例1】设离散型随机变量尤的分布列为 X 012 34 P0.20. 10. 10.3 m 求n = I x 11的分布列
7、; (2)求戶(12*+19). 解( 1)易知0. 2 + 0. 1+0. 1+0. 3 +加=1, /.727=0. 3. 由x的分布列可知n = x-w的取值为0, 1, 2, 3, P( 4=0)=P(X=l)=0. 1, P(“ = l) =PCr=0) +“(42) =0. 2 + 0. 1 =0. 3, 户( =2)=PCr=3)=0. 3, P(“=3)=P(X=4)=0. 3, 所以= |X1|的分布列为 n0123 P0. 10. 30. 30. 3 (2)rfl K2J+K9,解得0*4, 故P(12X+19) =PX=) +P(/=2) +P(X=3) =0. 1 +
8、0. 1 + 0. 3 = 0. 5. 1 A - 220 27 B-55 27 C - 220 21 D-55 解析44表示从盒中取了2个IH球,1个新球 , 故戶(尤 =4)= C 叙 “cT 27 220 * I考点突破 商矯彩 ;PPT 2师讲解分类讲练,以例求法 规律方法分布列性质的两个作用 (1)利用分布列屮各事件概率Z和为1可求参数的值及检查分布列的正确性. (2)随机变量才所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利用这一点对以求随机变量在某个范 围内的概率 . 【训练1】随机变量尤的分布列如下: X-101 Pabc 其中b, c成等差数列,则戶 (| 尤|=1)= _ , 公差d
9、的取值范圉是 _ ? 解析 因为日,b, c成等差数列,所以2b=a+c.又卄力+c=l,所以罔,所以HI川 9 1 1 12 12 =1) =a+c=.又白 =d, c= +d,根据分布列的性质,得00W+衣亍 所以W dW*. 1 r 3T 3_ 考点二超几何分布的应用( 典例迁移 ) 【例2】(2017 ?山东卷改编) 在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对 人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理昭示, 另一 组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果來评价两种心理暗示的作 用. 现有6名男志愿者川,A2f儿,仏,人和4
10、名女志愿者,5, B、,从屮随 机抽取5人接受 甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示 . (1)求接受甲种心理暗示的志愿者小包含4但不包含E的概率; (2)用Y表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求力的分布列. 解(1)记接受甲种心理暗示的志愿考中包含M:但不包含R的事件为凰 则户(胁 = (2)由题意知尤可取的值为0, 1, 2, 3, 4,则 PCr=i) = 因此力的分布列为 X 012 34 P 1 5 10 5 1 12212121 42 【迁移探究1】用尤表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数,求尤的分布列. 解由题意可知 *的取值为1, 2, 3, 4, 5,则 因此*的分布列为 X
11、12345 P 1 5 10 5 1 12212121 42 【迁移探究2】用才表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差,求*的 分布列 . 解 由题意知 *可取的值为3, 1, 1, 3,5, C?1 _ C10 一 42, CeC 10 _ Cm 一 21, G1 C;o 42- P(X= 1) /?(/=3) 戶(才 =5) pg)=罟=春 Kx= = 罟=许 / 9(/=0)= Cl_1_ 0 =42 戶( 尤=2)= dCi io P(尤=3)= CeCi 5 蔬=丹 P(X=4)= c;c:_ 1 7T=42* , 戶( 才=1)= CiCs 5 户( 才=-1)=皆=
12、晋,A/=-3) 21 - 51 0 C q 6 C 1 4 因此才的分布列为 X31-1-35 P 1 5 10 5 1 12212121 42 规律方法超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数. 超几 何分布的 特征是: (1)考察对象分两类; (2)已知各类对象的个数; (3)从屮抽取若干个个体,考查某类个体数尤的概率分布. 超儿何分布主要用于抽检产品、摸不同 类别的小球等概率模型,其实质是古典概型. 【训练2】(2018 ?济南模拟) 某外语学校的一个社团中有7名同学,其中2人只会法语,2 人只会英语,3人既会法语又会英语,现选派3人到法国的学校交流访问. (1
13、)在选派的3人屮恰有2人会法语的概率;(2)在选派的3人屮既会法语又会英语的人数尤的分布 列. 解( 1)设事件儿选派的三人中恰有2人会法语,则 (2)依题意知才的取值为0, 1, 2, 3, / ¥ =0)= ?尤的分布列为 X0123 P 4 18121 35353535 考点三求离散型随机变量的分布列 【例3】(2018 ?长沙模拟) 私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一,因此在生 PCr=i) = cci j8 “cf =35 /KX=2) = cid 12 =35 , PCr=3) =C?=35, 活屮我们应该提侣低碳生活,少开私家车,尽量选择绿色出行方式,为预防雾霾出一份力
14、. 为此,很多城市实施了机动车尾号限行,我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度, 随机抽查了50人,将调查结果进行整理后制成下表: 年龄/ 岁15, 25)25, 35)35, 45)45, 55)55, 65)65, 75 频数510151055 赞成人数469634 (1)若从年龄在15, 25)和25, 35)这两组的被调查者屮各随机选取2人进行追踪调查,求恰有 2人不赞成的概率; (2)在(1)的条件下,令选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为爲 求随机变量的分 布列. 解( 1)由表知,年龄在15, 25)内的有5人,不赞成的有1人,年龄在25, 35)内的有10 人,不 赞成
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