《高等数学》第七章多元函数微分法及其应用(电子讲稿).docx.pdf
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1、第七章多元函数微分法及其应用 在前面的章节中,我们讨论的函数只含有一个自变量,也就是一元函数,但在很多实际 问题屮常常遇到依赖于两个或更多个自变量的函数,这种函数称为多元函数. 木章将讨论多 元函数的基本概念、 多元函数微分法及其应用. 讨论中我们将以二元函数为主,因为从一元函 数到二元函数,在内容和方法上都有一些实质性的差别,而从二元函数到三元或三元以上的 函数,基本上只是作一些推广,没有本质的差别. 学习本章时,要注意将多元函数与一元函数作对照,弄清楚它们之间的异同,特别要注 意它们 Z 间的差异,以便更好地掌握多元函数微分学的基本概念和基本方法. 第一节多元函数的基本概念 、平面点集维空
2、间 一? 元函数是定义在函数轴创的一个子集上的函数,在讨论一元函数吋,经常会使用一 维 数轴上的点集、两点I可的距离、区间和邻域等概念。因此,为了能将有关一元函数的 微分、积分等重要概念推广到多元函数的情况,我们先引入平面点集的一些基本概念,将 有关概念从创推广到 R2 中, 然后引入兀维空间 , 推广到一般的R“中. 1. 平面点集 我们知道,通过平面直角坐标系可以建立坐标平面上的点P与二元有序实数组(兀, y) 之 间的 对应关系,因此 有序实数组(兀, ),) 的全体,即集合 R2 二 RxR = (兀, 刃卜, ywR 就 表示坐标平面 . 平面点集是指坐标平面上具有某种性质P 的点的
3、集合,记作 = (匕刃 | (兀, 刃具有性质 P? 例如,平面上以点( ,b)为圆心,为半径的圆内所有点的集合为 E 二 (兀, y)| J(兀- 0)2+0 - b)2 0 为半径的圆内部的点P(x,y) 的全体,而则是圆内部去掉圆心P的点的全体 . 如果不强调 / 邻域的半径,则用5 人)表示点人的某个邻域,点人的去心邻域记作 则). 下而利用邻域来描述点和点集之间的关系. 任意一点 PeR 2 与任意一个点集EUR?之间必有以下3种关系中的一种: (1)内点:设点 P是平而点集 E 中的一点,若存在点P的某邻域 U(P),使得 U(P)uE , 则 称点 P 为点集 E 的内点 . 如
4、图 7 - 1 所示,点片为点集E 的内点; (2)外点:设对平而上的点P及平而点集 E,若存在点 P的某邻域 U(P),使得 U(P)CE = 0,则称点 P为点集 E 的外点 . 如图 7-1 所示,点巴为点集E 的外点; (3)边界点:如果点P的任一邻域内既含有属于平面点集 E 的点,又含有不属于E 的 点,则称点 P为点集 E 的边界点. 如图 71 所示,点片为点集E 的边界点 . 点集 E 的边界点的全体称为E 的边界,记作dE? E 的内点必属于E, E的外点必不属于E,而 E 的边 界点可能 属于 E,也可能不属于E. 如果对于任意给定的力0,点 P的去心邻域 ( P,5)内
5、总有 E 中的点,则称点P是 E 的聚点 . 由聚点的定义可知, 点集 E 的聚点 P,可以属于 E,也 可以不属 于 ? 例如,设 E = i 是无界开区域,集合( 兀刃卜 2 + y2$是无界闭区域 . 2.维空间 记R为实数全体, /? 为取定的一个自然数,元有序实数组(xPx2,-,x,) 的全体所组成的 集合,记作R“,即 R“ = RxRx?xR = ( 兀|, 勺, ,兀“ )| 兀w R,i = 1,2,. R“中的元素 ( 召, 尤 2, ,兀 J常用单个字母兀来表示, 即 x = (x,x2,-,xn). R“中的元素 工 =(占, 兀 2,) 也称为R“中的一个点或一个n
6、 维向量,忑称为该点的第i 个坐标 . 当所有的 x.(/ = l,2,?,/?) 都为零时,称该元素为R“中的零元0 . 特别地,R”中的零元0称为R”中的坐 标原点 或 n维零向量 . 对集合R”中的元素定义如下的线性运算: 设 x = (x) ,x2,-,xn), y =( 必,旳,儿 ) 为R”中任意两个元素,花R,规定 (1)向量的加法运算 x + j = (x, 4- yvx2 + %,? , + 儿) ; (2)向量的数乘运算 Ax = (2x) ,加 2, 加“ )? 这样定义了线性运算的集合R” 称为 n 维空间 . R“中两点 P(xl, 乞, ,兀 )和 QO1,力,儿
7、) 的距离记作 p(x, y),规定 P( 兀, y) = J3 X 尸 + ( 兀 2 2 尸 + +( 几尸- ,1维空间 中的点集是指具有某种性质P 的,1元实数组的集合,即 = (召 , 兀 2, g)T(O.I) (2) (4) (6) .?1-cos Jx“ lim - (3)T(O? O)in(;r + y +1) lim “nW) lim (x 2 + y2 ) 厂 一 (1) lim gy ) T( oe)x y (2)设/(x,y)= x 4 + y2 0, 工,“HO, lim (x,y) T( 0,0) x2 + y 2 = 0, (1) z = ln(x 2 +) ;
8、 (2) 牛占 9.用二重极限定义证明:lim g)T(O.O) =0. Oz = Hm / (勺+心,几)一 / (兀 0,几)dx E? MTO 心 Wo 上述偏导数也可以记为/:Oo,)b),z;( Xo,yo)或犬心 0,儿), zXo ,%). 类似地,函数z = /(x, y)在点(兀 , 儿)处对 y 的偏导数定义为 )TO 如果函数 z 二/(x, y)在区域 D 内每一点(兀 , 刃处对兀的偏导数都存在,那么这个偏导 数就 是兀, y 的函数,它就称为函数z = f(x, y)对自变量兀的偏导函数,记作賈 学 f? 刃,z;(x, y)或 fx(x, y) , zx(x, y
9、). OX ox 类似地,可以定义函数z = f(x,y)对自变量 y 的偏导函数,记作 詈, 鲁,z;(x,y)或人( x,y), z),Cr,y)? 由偏导函数的概念可知,Z = / (. ¥, V)在点(兀 0,儿)处对兀的偏导数(兀o,)b), 就是偏导函数 fx(兀, y)在点( X。, 儿)处的函数值,而fy (兀 0,儿)就是偏导函数f、 ?(X,刃在点(兀 0, X)处的函数 值. 在不至于引起混淆的情况下,通常也把偏导函数称为偏导数. 值得注意,一元函数的导数世可以看作函数的微分3 与自变量的微分血之商,而偏导dr 数的记号是一个整体记号,不能看作分子与分母之商. 偏导数的概
10、念还可推广到二元以上的函数. 例如三元函数W = /(x,y,Z)在点(兀 , )“) 处对 兀的偏导数定义为 / ;. (兀, y, z) = lim /(Z?)7(W), 心 TOAx 其中(x,y,z)是函数 u = f(x,y,z)的定义域的内点 . rfl 多元函数的偏导数的定义可知,在对某个自变量求偏导数时,可将其余的自变量视为 常量,按一元函数的求导方法求导即可. ?例 1 设 f(x,y) = x 2 求 (x,y), fy(x,y)f A(1,1), /v(2,2)? 解 将 y 视为常量,对兀求导,得fx(x,y) = 2xy 3. 将兀视为常量 , 对 y 求导,得 fy
11、(x9y) = 3x 2y2. 于是/r(l,l) = 2-bl 3=2, /V(2,2) = 3-22-22 =48. 求函数 z = /(兀, y)在点( x0,y0)处对 x 的偏导数时, 由偏导函数与偏导数的关系,可以 先 求出偏导函数 (兀, y),也就是将 y 看作常数而对x 求导数,然后将(如, 几)代入 .(x,y) 求出 人(兀 0,)0);也可以先将y = yQ代入函数 Z = / (%, y), 得 z = f(x,yQ), 然后对 x 求导数 (兀 , ),再以 x = x0代入. 这两种解法的结果是一样的. lim / (心) 0+3)一/ (兀 0, 0) y F
12、或 .v=yo dy * 切 y= ,彳(勺 , 旳), z;(Xo,y(),人(心旳),z),(x(),yo). ?例 2 设 f(x,y) = (x 2 -y2)ln(x + y) + arctan求 (1,0). (x 丿 解因为 /(x,0) = x 2lnx,所以 川)= 心兀貯 I“ 兀)|= 广(2 川 x +巩貯 1 . 若用人 ( 1,0)=鲁/( 尢,叽 ) , 也可求 d,o) ,但较麻烦 . ?例 3 求,= J_? + b+z2的偏导数 解把 y 和 z都看作常量,得 dr _ x _ x 旅 Jj? + y2 + z2 厂 2.偏导数的几何意义 根据定义,二元函数z
13、 = /(x,y)在点 Cq,%)处对 兀的偏导数 .( 兀0,儿) 就是一元函数z = /(x,o) 在点 兀。处的导数 , 而导数的儿何意义就是曲线 的切线斜率 . 由于一元函数z = f(x,y0)是二元函数 z = f(x,y) 中 y 取常数儿的结果,这在几何上表示空间曲面z = /(x, y)与垂直于 y 轴的平面丿 =北的交线0, x#l), 证明它满足方程 - + = 2z. y ox lnx dy 由所给函数关丁 ?口变量的对称性( 多元函数关于口变量的对称性是指当函数表达式中 任 证明 由于¥ =)*7, UX =x y In x ,所以 x dz1 dz xv_i - 1
14、 - = yx y dx Inx dy - y + - xy In x = 2x y = 2z Inx 图 7-5 , x2 + y2丰 0, 例如,函数 z = /(x,y)= + K 在点(0,0)对兀的偏导数为 0, x 2 + y2 = 0, (Ax)0 _ r /(0 + Ar,0)-/(0,0) r (A.V ) 2 + 02 r n n f( 0,0) = lim - - 八 =Iim - - - = limO = O. Ax-0 心AXTO “TO 同理,有人 (0,0) = 0.而在上节例 7的讨论中,该函数在点(0,0)处极限不存在,是不连续的. 反过来,容易找到函数在点人
15、连续,而在该点的偏导数不存在的例子. 例如,二元函数 /( 兀, y) = +長是初等函数,点 (0,0)是其定义区域内的一点,故/(x,y)在点(0,0)处是连续的. 但 在点(0,0)处的偏导数不存在 . 首先固定 y = 0,此时/(x,O) = VZ+O=|x|, 而函数 | 兀| 在“0 处是不 可导的,即 /(x,y)在点(0,0)处对兀的偏导数不存在. 同样可证 f(x,y)在点 (0,0)处对 y 的偏导数 也不存在 . 以上两例说明,多元函数在一点偏导数存在与函数在该点连续并无直接联系. 二、高阶偏导数 设函数 z = f(x, y)在区域 内具有偏导数¥ = 人 (兀, y
16、),车=人( 兀, 刃,如果 fv(X,y). dx dy /Jx,y)的偏导数也存在,贝IJ 称它们是函数z = /Cr,y)的二阶偏导数 . 按照对变量求导次序的 不同有下列四个二阶偏导数: 9 忝 dx 其中宾、冀两个偏导数称为混合偏导数 ?同样可定义三 阶、四阶、以及几阶偏导数. dxdy dydx 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. ?例 5 求 z = sin2(x + 2*) 的二阶偏导数 . 解 丰= 2sin(x + 2y)cos(x+2y) = sin(2x + 4y), dx dz 一 =2 sin(x + 2y)cos( 兀 + 2y) -2 = 2 sm(2x
17、+ 4y), dy ?=sin(2x + 4 y) = 2cos(2x + 4y), dx r 2 ) =sin(2x + 4 y)J = 4cos(2x + 4y), dxdy dy r 2 = =2sin(2 兀+ 4y) = 4cos(2x + 4y), dydx dx = 一2sin(2 兀+ 4y) = 8cos(2x + 4y). dy d2z r a =- = / “ (圮 Im dx2“dy _ J _ 九 (兀, ) , a ? a 此处的两个二阶混合偏导数是相等的. x 2 - y2 2 2 n xy, x +y 0 兀 Ob 求/o,(0,0),人(0,()? 0, x
18、2 +) ,= 0. 解当 x 2+/=0 时, =lim /( 0+?0) 7( 0,0)= lim0z2 = 0, At-o A r At-o AY 同理可得 ,X 2 4-/0, AUo? )= (F + b) 0, F + b = o (Ay) 5 () 人(0,0) = Iim mo + ggo)= lim M = _1 Ay 0 yy Ay-() 人(0,0) = lhn 腔鼻迥= ?山 TOAx 心TO Ax 这里两个二阶混合偏导数在(0,0)点的值不相等 . 从以上两个例子中看到二阶混合偏导数有可能相等,也可能不等?事实上,我们有下述 定理. 如果函数 “/( 七刃的两个二阶混
19、合偏导数冀及矣在区域D 内连续,那么dxdy uydx 在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等. 换句话说,二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关?定理的证明从略. 对于二元以上的函数,我们也可以类似地定义高阶偏导数. 而且高阶混合偏导数在连续 的条件下也与求导的次序无关. ?例 7 设函数 u=, 证明票 +興+票=0? 股 + b + z2 dx dy 2 dz 证令=* +) ,2+Z2 , 则” = _L,于是 r du _ dr _1 x _ x r 2 dx r J兀 2 + 于 + 尸 Ax 当宀宀 0时,心 , 沪昇+心丁 (?) - 卍+4 兀 2 2 4 y (x,y)
20、 = o h (3) iim/gb+2“) -/( XoJb), i h 2?求下列函数的一阶偏导数: X (1) z = xy + ; y (3) z = ej (5) z = x 2 ln(x2 + 才) ; (7) z = sec?); (9) u = arctan(x一 y)z; 3. 设 f(x, y) = In 兀+ 丄 2x 4. 设 fx. y) = x + (y -1) arcsin ( 2) iim/5“o ) /( x() ,)o-/2) ; A-O h Hm/g+儿) o) 一/(K) 一九 Vo) A-O h x (2) z = In tan ; y 2 2 / 八犷
21、+ * (4) z = - ; xy ( 6) z = Jln(xy); (8) z = (14-xy)y; / 、Z Y (10) u=-. y) 人(i,o) . 5. 设 /(x, y) = j e_/dt , 求 .(x,y), fy (x, y). _ x2 + y 2 7. (1) Z= 4 在点(2,4,5)处的切线与兀轴正向所成的倾角是多少? 32M dx 2 e 八 -U C“丿 5 r 3J 因此 ,求 (i,o) , ,求 ACM). y 6 ?设 z = x)xe x证明芒 + dx dz ydy=X ),+ Z dx 1 3x Sr 4 ? r4dx S + y2 在
22、点(1,1,73)处的切线与 y 轴正向所成的倾角是多少? x= 1 8?求下列函数的二阶偏函数: 己知 z =兀 sin y + y3 sin x , ( 1)y sin JU 满足竽=上映;(2) r = yjx 2 + y2 + z2 满足兽 + ?4 +兽=? dt dx0JT 萌 dz z r 第三节全微分 一、全微分的定义 一元函数 y = /(x) 的微分 dy是函数增量 Ay 关于自变量增量心的线性主部,且Ay-dy 是 一个比心高阶的无穷小,对于多元函数也有类似的情形,下面以二元函数为例加以阐述. 先看一个引例,设矩形的长宽分别为无,y,则此矩形的面积为5 = ,如果边长兀与
23、, 分别取增量心与那么面积S相应的有增量 S = (x + Ax)(y + Ay) -xy = yAx + x/y + AxAy , 上式右端包含两个部分,前一部分yAx + A Ay 是关于 Ax, ),的线性函数,后一部分 AvAy, 当 p = y(Ax) 2 +(Ay)2 T0时,是比 p 高阶的无穷小,当 |Ax|, lAyl 很小时,可用Ax + xAy 近 似表示 A5 . 我们称线性函数y Ax + A Ay 为面积 S =. 巧的全微分 . AS 为函数 S(x,y)在 点(x, y) 的对应于自变量增量心,的全增量. 下面给出二元函数全微分的定义. 潮 如果函数 z = /
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