(完整版)高中数学平面向量专题复习(含例题练习).pdf
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1、1 平面向量专题复习 一向量有关概念: 1向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示,注意 不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移)。如: 2零向量:长度为0 的向量叫零向量,记作:0,注意零向量的方向是任意的; 3单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量( 与AB u uu r 共线的单位向量是 | AB AB u uu r u uu r ); 4相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性; 5平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量,记作:ab,规 定零向量和任何向量平行。 提醒: 相等向
2、量一定是共线向量,但共线向量不一定相等; 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线 平行不包含两条直线重合; 平行向量无传递性! (因为有0 r ) ; 三点 ABC、 、 共线ABAC uuu ruuu r 、共线; 6相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是a。如 例 1: ( 1)若ab rr ,则ab rr 。 (2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同。( 3)若 ABDC u uu ruuur ,则ABCD是平行四边形。 (4)若ABCD是平行四边形,则ABDC uuu ruuu r 。 ( 5)若,a
3、b bc rr rr ,则 ac rr 。 (6)若/ ,/ab bc rr rr ,则/ac rr 。其中正确的是_ 二、向量的表示 1几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如AB,注意起点在前,终点在后; 2符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如a,b,c等; 3坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为基底, 则平面内的任一向量a可表示为,axiy jx y rrr ,称, x y为向量a的坐标,a, x y叫做向量a的 坐标表示。如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三 平面向量的基本定理:如果e1和e2是同一平面内的两个不
4、共线向量,那么对该平面内的任一向量a, 有且只有一对实数 1 、 2,使 a= 1e12e2。如 例 2(1)若(1,1),ab rr (1, 1),( 1,2)c r ,则c r _ (2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是 A. 12 (0,0),(1, 2)ee u ru u r B. 12 ( 1,2),(5,7)ee u ru u r C. 12 (3,5),(6,10)ee u ru u r D. 12 13 (2, 3),(,) 24 ee u ru u r (3)已知,AD BE uuu r uuu r 分别是ABC的边,BC AC上的中线 ,且,ADa BEb uuu
5、 rr uuu rr ,则BC uuu r 可用向量,a b r r 表示为 _ (4)已知ABC中,点D在BC边上,且DBCD2,ACsABrCD,则sr的值是 _ 四实数与向量的积:实数与向量a的积是一个向量,记作a,它的长度和方向规定如下: 1, 2aa rr 当0 时,a的方向与a的方向相同, 当0时,a的方向与a的方向相反, 当0 时,0a rr ,注意:a0。 2 五平面向量的数量积: 1两个向量的夹角:对于非零向量a,b,作,OAa OBb uu u rr u uu rr ,AOB 0称为向量a,b的夹角,当0 时,a,b同向,当时,a,b反向,当 2 时, a,b垂直。 2平面
6、向量的数量积:如果两个非零向量a,b,它们的夹角为,我们把数量| cosab rr 叫做a 与b的数量积(或内积或点积),记作:a ? b,即a ? bcosa b r r 。规定:零向量与任一向量的数量 积是 0,注意数量积是一个实数,不再是一个向量。 3b在a上的投影为| cosb r ,它是一个实数,但不一定大于0。 4a ? b的几何意义:数量积a ? b等于a的模|a r 与b在a上的投影的积。 5向量数量积的性质:设两个非零向量a,b,其夹角为,则: 0abab? rrrr ; 当a,b同向时,a ? ba b r r ,特别地, 222 ,aaaaaa? rrrrrr ;当a与b
7、反向时,a ? b a b r r ;当为锐角时,a ? b0,且a b rr 、不同向,0a b rr 是为锐角的必要非充分条件;当为钝 角时,a ? b0,且a b rr 、不反向,0a b r r 是为钝角的必要非充分条件; 非零向量a,b夹角的计算公式:cos a b a b ? rr r r;| | |abab? rrrr 。 例 3 如( 1) ABC 中,3| AB,4| AC,5| BC,则 BCAB_ (2)已知 11 (1, ),(0,), 22 abcakb dab rrrrr u rrr ,c r 与d u r 的夹角为 4 ,则k等于 _ (3)已知2,5,3aba
8、b rrr r g,则ab rr 等于 _ (4)已知,a b r r 是两个非零向量,且abab rrrr ,则与aab rrr 的夹角为 _ 例 4 已知3| a ,5| b,且12ba,则向量a在向量b上的投影为 _ 例 5(1)已知)2,(a,)2,3(b,如果a与b的夹角为锐角,则的取值范围是 _ (2)已知OFQ的面积为S,且1FQOF,若 2 3 2 1 S,则FQOF ,夹角的取值范围是。 六向量的运算: 1几何运算: 向量加法:利用“平行四边形法则”进行,但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量,如此之 外,向量加法还可利用“三角形法则”:设,ABa BCb uu u rr
9、uuu rr ,那么向量AC uu u r 叫做a r 与b r 的和,即 abABBCAC rru uu ru uu ruuu r ; 向量的减法:用“三角形法则”:设,ABa ACbabABACCA uuu rr uuu rrrruuu ruu u ruu u r 那么,由减向量的终 点指向被减向量的终点。注意:此处减向量与被减向量的起点相同。 2坐标运算:设 1122 (,),(,)axybxy rr ,则: 向量的加减法运算: 12 (abxx rr , 12) yy。 实数与向量的积: 1111 ,ax yxy r 。 3 若 1122 (,),(,)A x yB xy,则 2121
10、 ,ABxx yy uuu r ,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线 段的终点坐标减去起点坐标。 平面向量数量积: 1212 a bx xy y? rr 。如 已知向量a( sinx ,cosx ), b( sinx ,sinx ), c( 1,0) 。 (1)若 x 3 ,求向量a、c 的夹角;(2)若 x 4 , 8 3 ,函数baxf)(的最大值为 2 1 ,求的值 向量的模: 2 22222 |,|axyaaxy rrr 。 两点间的距离:若 1122 ,A x yB xy,则 22 2121 |ABxxyy。 例 6:ABBCCD uuu ruuu ruuu r _;ABADD
11、C uuu ruuu ruuu r _;()()ABCDACBD uuu ruuu ruuu ruuu r _ 例 7(1)已知点(2,3),(5,4)AB,(7,10)C,若()APABACR uuu ruuu ruu u r ,则当_时,点 P 在第一、 三象限的角平分线上 (2)已知 1 (2,3),(1,4),(sin,cos ) 2 ABABxy uuu r 且,,(,) 22 x y,则xy 例 8 设(2,3),( 1,5)AB,且 1 3 ACAB uuu ruuu r ,3ADAB uuu ruuu r ,则 C、D 的坐标分别是_ 例 9 已知,a b r r 均为单位向量
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