2二次曲面分类简介.ppt
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1、补充 二次曲面的一般理论, 空间直角坐标变换, 二次曲面方程的化简, 应用不变量判断二次曲面的类型, 二次曲面的仿射特征和度量特征,空间直角坐标变换,空间仿射坐标变换公式,向量的坐标变换公式:,其中 (c11, c21, c31), (c12, c22, c32), (c13, c23, c33) 分别 为新坐标向量e1, e2, e3 在原坐标系 I 中的坐标.,I 到 I 的过渡矩阵,点的坐标变换公式:,其中 (c11, c21, c31), (c12, c22, c32), (c13, c23, c33) 分别 为新坐标向量e1, e2, e3 在原坐标系 I 中的坐标, (d1, d2
2、, d3) 为新原点O在原坐标系 I 中的坐标.,空间直角坐标变换,过渡矩阵的性质,1. 过渡矩阵是可逆矩阵.,2. 设有三个仿射坐标系 I, I, I, I 到 I 的过渡 矩阵为C, I 到 I 的过渡矩阵为D, 则 I 到 I 的 过渡矩阵为CD.,3. 若 I 到 I 的过渡矩阵为 C, 则 I 到 I 的过渡 矩阵为 C 1.,4. 两个直角坐标系之间的过渡矩阵是正交矩阵.,空间直角坐标变换,空间直角坐标 (点) 变换,移轴:,或,其中(d1, d2, d3) 为新原点O在原坐标系 I 中的 坐标.,空间直角坐标变换,转轴: 设新坐标向量e1, e2, e3 与原坐标向量 e1, e
3、2, e3 的交角如下表所示:,空间直角坐标变换,则转轴公式为:,或,空间直角坐标变换,或,一般的空间直角坐标 (点) 变换公式:,空间直角坐标变换,空间一般坐标变换公式, 还可以由新坐标系的 三个坐标面来确定.,设有两两互相垂直 的三个平面:,1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0,2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0,3: A3x + B3y + C3z + D3 = 0,其中 Ai Aj + Bi Bj + Ci Cj = 0, ( i, j = 1, 2, 3, i j ).,空间直角坐标变换,若取1 为yOz面, 2 为xOz面, 3 为xOy面,则
4、原系到新系的坐标变换公式为:,其中正负号的选取要使得坐标变换为右手直角坐标变换.,空间直角坐标变换,二次曲面的类型,二次曲面的一般方程,空间中二次曲面的一般方程为,a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz,其中a11, a22, a33, a12, a13, a23不全为零.,+ 2b1x + 2b2y + 2b3z + c = 0,(),吕林根解析几何P275.,定理6. 6. 1 适当选取坐标系, 二次曲面的方程 总可化为下列五个简化方程之一:,(I) a11x2 + a22y2 + a33z2 + c = 0, a11a22a33
5、0;,(II) a11x2 + a22y2 + 2b3z = 0, a11a22b3 0;,(III) a11x2 + a22y2 + c = 0, a11a22 0;,(IV) a11x2 + 2b2y = 0, a11b2 0;,(V) a11x2 + c = 0, a11 0.,二次曲面的类型,二次曲面的类型,(一) 椭球面,1 椭球面:,2 点:,吕林根解析几何P278.,定理6. 6. 2 适当选取坐标系, 二次曲面的方程 总可化为下列十七个标准方程之一:,3 虚椭球面:,二次曲面的类型,(二) 双曲面,4 单叶双曲面:,5 双叶双曲面:,(四) 抛物面,7 椭圆抛物面:,(三) 二
6、次锥面,6 二次锥面:,二次曲面的类型,(五) 二次柱面,9 椭圆柱面:,10 虚椭圆柱面:,11 一条直线:,8 双曲抛物面:,二次曲面的类型,12 双曲柱面:,13 一对相交平面:,14 抛物柱面:,17 一张平面:,15 一对平行平面:,16 一对平行平面:,二次曲面的类型,用不变量判断二次曲面类型,二次曲面的表示,空间中二次曲面的一般方程为,a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz,其中a11, a22, a33, a12, a13, a23不全为零.,+ 2b1x + 2b2y + 2b3z + c = 0,记 F(x, y,
7、z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy,+ 2a13xz + 2a23yz + 2b1x + 2b2y + 2b3z + c,(),则,用不变量判断二次曲面类型, (x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy,+ 2a13xz + 2a23yz,则,用不变量判断二次曲面类型,记 F1(x, y, z) = a11x + a12y + a13z + b1,F2(x, y, z) = a12x + a22y + a23z + b2,F3(x, y, z) = a13x + a23y + a33z + b3,F4(x, y, z
8、) = b1x + b2y + b3z + c,则 F(x, y, z) = xF1(x, y, z) + yF2(x, y, z),+ zF3(x, y, z) + F4(x, y, z),用不变量判断二次曲面类型,记 1(x, y, z) = a11x + a12y + a13z,2(x, y, z) = a12x + a22y + a23z,3(x, y, z) = a13x + a23y + a33z,4(x, y, z) = b1x + b2y + b3z,则 (x, y, z) = x1(x, y, z) +y2(x, y, z) +z3(x, y, z),用不变量判断二次曲面类型
9、,I1 = a11 + a22 + a33,二次曲面的不变量,用不变量判断二次曲面类型,二次曲面的半不变量,用不变量判断二次曲面类型,P287. 定理6. 7. 3 给出二次曲面方程() , 则用不 变量和半不变量判别()为何种类型的充要条件是:,第(I)类曲面: I3 0;,第(II)类曲面: I3 = 0, I4 0;,第(III)类曲面: I3 = 0, I4 = 0, I2 0;,第(IV)类曲面: I3 = 0, I4 = 0, I2 = 0, K2 0;,第(V)类曲面: I3 = 0, I4 = 0, I2 = 0, K2 = 0.,用不变量和半不变量判断二次曲面的类型,用不变量
10、判断二次曲面类型,型别,识别标志,类别,椭球面,一点,虚椭球面,I4 0,I4 = 0,I4 0,椭 球 面 (I3 0 I2 0或 I1I3 0),P291. 定理6. 7. 5,用不变量判断二次曲面类型,型别,识别标志,类别,单叶双曲面,双叶双曲面,I4 0,I4 0,二次锥面,I4 = 0,双 曲 面 (I3 0 I2 0或 I1I3 0),二次锥面 (I3 0 I2 0 或 I1I3 0),用不变量判断二次曲面类型,型别,识别标志,类别,椭圆抛物面,双曲抛物面,I4 0,I4 0,抛 物 面 (I3 = 0 I4 0),用不变量判断二次曲面类型,型别,二次柱面 (I3 = 0 I4 =
11、 0 I2 0),识别标志,类别,双曲柱面,一条直线,K2 0,椭圆柱面,K2 = 0,I1K2 0,I2 0,虚椭圆柱面,I1K2 0,I2 0,I2 0,I2 0,一对相交平面,K2 = 0,I2 0,用不变量判断二次曲面类型,型别,识别标志,类别,一对平行平面,K2 = 0, K1 = 0,抛物柱面,K2 = 0, K1 0,K2 = 0, K1 0,K2 0,二次柱面 (I3 = 0 I4 = 0 I2 = 0),一对虚平行平面,一对重合平面,用不变量判断二次曲面类型,P291. 定理6. 7. 4 设1, 2, 3 是二次曲面 () 的 特征方程 |I A0| =3 I12 + I2
12、 I3 = 0 的非零 特征根, 则二次曲面 () 的简化方程如下:,第(I)类曲面: I3 0;,第(II)类曲面: I3 = 0, I4 0;,用不变量和半不变量化简二次曲面的方程,用不变量判断二次曲面类型,第(III)类曲面: I3 = 0, I4 = 0, I2 0;,第(IV)类曲面: I3 = 0, I4 = 0, I2 = 0, K2 0;,第(V)类曲面: I3 = 0, I4 = 0, I2 = 0, K2 = 0.,用不变量判断二次曲面类型,例 1 设在空间直角坐标系下二次曲面有下列方 程, 判断其类型, 并求其标准方程:,(1) x2+y2+5z26xy2xz+2yz6x
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- 二次曲面 分类 简介
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