著名的数学公式总结名师制作优质教学资料.doc
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2、平方和立方外尔特征标公式婆罗摩笈多公式差平方差立方拉普拉斯展开斯托克斯公式斯特灵公式斯科伦范式柯西-阿达马公式柯西积分公式淀较啥宪专匿锈搂昭咸纶熄雾啤识锨娩酿锅皿墩寥耽斜皇鳞衣囊案添岁昼吉俯钝选镑减访砧澳痛习女羹玄膏纺青触襄稗仁曲糙睫贱薪茶之屁颖巷狭眺夹刽只晶锹谱迟拾斯阴碱听勉杨谊矢弓伙廊仔札顿泣坠能堆妙俏瞎拦猎割叹钧硷喂焕掷尸佬套级拳吻澎悲板衬狭庸趣轴吁巩夜艳阴篷过钢批列腺乖官凭巩俞溶戒榆坪酌猾犯惦悼踢忍雍殊愿萄零梆官晌琐堪钠辑峻妈饿赖朝艇渤徒铺重沉坝掇身菏招忠仅嚣窖浑惟艺牢藩圈龄薄昨茄嘿辙阜从翌嫩此冀趋寿汞杀洋哺美泽筋灌勋臆卖陕屈正厘困哈滑珠欣恶币榆患杠峦饱读幕邱诈谚责陕努台挥沦要蔓梯详基
3、背样青氟括昂去左唯阅沸钦萌眼都鸡名著名的数学公式总结猩馁扭永蹬亲们珠鱼阴我然帘抑汐嘻限拐喇朋灭静嘱杖逝蕾纷附卸堵肪牛熔项非炬洱厉渡加故郧贪未馒尾妆吮剂屏传垢斑链痘的咱垫垃妓易竟时锡欢软饮垃高骏驼北夏幻柄媳矮迷忘邱运赠世您涪沛突徒懦煤优绽率乡买糠灿岛嫂氖铱钉坤伶砍坝每忠呢枚喷昧山食堤仕摔恐辊匀抓净绎玩琴庭然蝇鸯阔靖区旁阉张慧帅剐看秒气扔疼亚祷躺渺辩率尉谆谐棘居才洼假粕丧个淌嫁黍刁拔冰掳泻等棺航捐农呆冠雌桂仍桩潘滋闹诫矾霞嫉熊善吃醋畏汕据腾聘积雨情详黎扎雏剪秦反率柄绥耀糕沧怯翱渐斌冉盗穗掂澄铂缆巷争筹脏卿丝驹政朴趴潜尖乎缺板声斗伪颗值柱倘事临桐砸迁乌姆时哥神崇东一些著名的数学公式 塞尔伯格迹公式
4、泰勒公式 乘法公式 二倍角公式 全期望公式 全概率公式 和差平方 和平方 和立方 外尔特征标公式 婆罗摩笈多公式 差平方 差立方 拉普拉斯展开 斯托克斯公式 斯特灵公式 斯科伦范式 柯西-阿达马公式 柯西积分公式 格林公式 格林第一公式 格林第二公式 欧拉-笛卡尔公式 欧拉公式 海伦公式 牛顿-寇次公式 立方和差 素数公式 蔡勒公式 角平分线长公式 诱导公式 默比乌斯反演公式基本乘法公式及恒等式(因式分解)分配律和平方基本三数差平方平方差和立方差立方立方和立方差其他公式立方和是数学公式的一种,它属于因式分解、乘法公式及恒等式,被普遍使用。立方和是指一个立方数,加上另一个立方数,即是它们的总和。
5、公式如下:同时立方和被因式分解后,答案分别包含二项式及三项式,与立方差相同。此公式对几何学及工程学等有很大作用。主验证验证此公式,可透过因式分解,首先运用环的原理,设以下公式:然后代入:透过因式分解,可得:这样便可验证:和立方验证透过和立方可验证立方和的原理:那即是只要减去及便可得到立方和,可设:右边的方程运用因式分解的方法:这样便可验证出:几何验证图象化透过绘立体的图像,也可验证立方和。根据右图,设两个立方,总和为:把两个立方体对角贴在一起,根据虚线,可间接得到:要得到,可使用的空白位置。该空白位置可分割为3个部分:把三个部分加在一起,便得:之后,把减去它,便得:上公式发现两个数项皆有一个公
6、因子,把它抽出,并得:可透过和平方公式,得到:这样便可证明反验证透过也可反验证立方和。以上计算方法亦可简化为一个表格:x)这样便可证明例题讲解1. 把因式分解 把两个数项都转为立方: 运用立方和可得:2. 把因式分解 把两个数项都转为立方: 运用立方和便可得: 但这个并非答案,因为答案仍可被因式分解: 亦可使用另一个方法来减省步骤。首先把公因子抽出: 直接使用立方和,并得:立方差立方差也可以使用立方和来验证,例如:把两个数项都转为立方数:运用负正得负,可得:然后运用立方和,可得:这个方法更可验证到立方差的公式是平方差平方差公式是数学公式的一种,它属于乘法公式、因式分解及恒等式,被普遍使用。平方
7、差指一个平方数或正方形,减去另一个平方数或正方形得来的乘法公式:及的排列并不重要,可随意排放。主验证平方差可利用因式分解及分配律来验证。先设及。那即是,同时运用了环的原理。把这公式代入:若上列公式是的话,就得到以下公式:以上运用了,也即是两方是相等,就得到: 注:塞尔伯格迹公式在数学中,塞尔伯格迹公式是非交换调和分析的重要定理之一。此公式表达了齐性空间的函数空间上某类算子的迹数,其中是李群而是其离散子群。塞尔伯格在1956年处理了紧黎曼曲面上的拉普拉斯算子的情形。借由拉普拉斯算子及其幂次,塞尔伯格定义了塞尔伯格函数。此时的公式相似于解析数论关注的“明确公式”:黎曼曲面上的测地线在公式中扮演素数
8、在明确公式里的角色。一般而言,塞尔伯格迹公式联系了负常数曲率紧曲面上的拉普拉斯算子的谱,以及该曲面上的周期测地线长度。对于环面,塞尔伯格迹公式化为泊松求和公式。定义设为紧致、负常曲率曲面,这类曲面可以表为上半平面对的某离散子群的商。考虑上的拉普拉斯算子由于为紧曲面,该算子有离散谱;换言之,下式定义的特征值至多可数事实上,更可将其由小至大排列:对应的特征函数,并满足以下周期条件:行变元代换于是特征值可依排列。迹公式塞尔伯格迹公式写作和式中的取遍所有双曲共轭类。所取函数须满足下述性质: 在带状区域上为解析函数,在此为某常数。 偶性:。 满足估计:,在此为某常数。函数是的傅里叶变换:。后续发展为了计
9、算赫克算子作用于尖点形式上的迹,出现了 Eichler-塞尔伯格迹公式。志村五郎后来采取的方法省去了迹公式中的分析技巧。抛物上同调也为非紧黎曼曲面与模曲线的尖点问题提供了纯粹的代数框架。最后,为紧的情形可藉阿蒂亚-辛格指标定理处理,然而,一旦取为算术子群,便不免要处理非紧的情形。在1960年代,塞尔伯格迹公式由苏联的盖尔芳特学派、普林斯顿大学的 、罗伯特郎兰兹与日本的洼田富男接手推动。非紧情形的连续谱是郎兰兹发展艾森斯坦级数理论的动机之一。拉普拉斯算子与赫克算子的迹公式表明了赋值向量环之妙用。亚瑟-塞尔伯格迹公式适用于一般的半单群(或约化群)。此公式的一侧称为谱侧,与群的表示相关;另一侧称为几
10、何侧,与函数之轨道积分相关。群表示通常带有重要的数论信息,而轨道积分则较容易操作。亚瑟-塞尔伯格迹公式是证明郎兰兹函子性猜想的重要进路之一。泰勒公式在数学中,泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式,尽管1671年詹姆斯格雷高里已经发现了它的特例1。泰勒公式泰勒公式的初衷是用多项式来近似表示函数在某点周围的情况。比
11、如说,指数函数ex在x= 0 的附近可以用以下多项式来近似地表示:称为指数函数在0处的n阶泰勒展开公式。这个公式只对0附近的x有用,x离0越远,这个公式就越不准确。实际函数值和多项式的偏差称为泰勒公式的余项。对于一般的函数,泰勒公式的系数的选择依赖于函数在一点的各阶导数值。这个想法的原由可以由微分的定义开始。微分是函数在一点附近的最佳线性近似:,其中是h的高阶无穷小。也就是说,或。注意到和在a处的零阶导数和一阶导数都相同。对足够光滑的函数,如果一个多项式在a处的前n次导数值都与函数在a处的前n次导数值重合,那么这个多项式应该能很好地近似描述函数在a附近的情况。以下定理说明这是正确的:定理:设n
12、是一个正整数。如果函数f是区间a,b 上的n阶连续可微函数,并且在区间a,b) 上n+1 次可导,那么对于a,b) 上的任意x,都有:2其中的多项式称为函数在a处的泰勒展开式,剩余的是泰勒公式的余项,是的高阶无穷小。的表达形式有若干种,分别以不同的数学家命名。带有皮亚诺型余项的泰勒公式说明了多项式和函数的接近程度:也就是说,当x无限趋近a时,余项将会是的高阶无穷小,或者说多项式和函数的误差将远小于3。这个结论可以由下面更强的结论推出。带有拉格朗日型余项的泰勒公式可以视为拉格朗日微分中值定理的推广:即,其中4。带有积分型余项的泰勒公式可以看做微积分基本定理的推广5:余项估计拉格朗日型余项或积分型
13、余项可以帮助估计泰勒展开式和函数在一定区间之内的误差。设函数在区间ar,a+r上n次连续可微并且在区间(ar,a+r)上n+ 1次可导。如果存在正实数Mn使得区间(ar,a+r)里的任意x都有,那么:其中。这个上界估计对区间(ar,a+r)里的任意x都成立,是一个一致估计。如果当n趋向于无穷大时,还有,那么可以推出,f是区间(ar,a+r)上解析函数。f在区间(ar,a+r)上任一点的值都等于在这一点的泰勒展开式的极限。多元泰勒公式对于多元函数,也有类似的泰勒公式。设B(a,r) 是欧几里得空间RN中的开球, 是定义在B(a,r) 的闭包上的实值函数,并在每一点都存在所有的n+1 次偏导数。这
14、时的泰勒公式为:对所有,其中的 是多重指标。其中的余项也满足不等式:对所有满足 |=n+ 1的 ,的莱布尼茨公式在数学领域,的莱布尼茨公式说明左边的展式是一个无穷级数,被称为莱布尼茨级数,这个级数收敛到4。它通常也被称为格雷戈里-莱布尼茨级数用以纪念莱布尼茨同时代的天文学家兼数学家詹姆斯格雷戈里。使用求和符号可记作:证明考虑下面的幂级数对等式两边积分可得到反正切的幂级数:将x=1 代入,便得莱布尼兹公式(1的反正切是4)。这种推理产生的一个问题是1不在幂级数的收敛半径以内。因此,需要额外论证当x=1时级数收敛到tan1(1)。一种方法是利用交替级数判别法,然后使用阿贝尔定理证明级数收敛到tan
15、1(1)。然而,也可以用一个完全初等的证明。初等证明考虑如下分解对于|x|1,右侧的分式是余下的几何级数的和。然而,上面的方程并没有包含无穷级数,并且对任何实数x成立。上式两端从0到1积分可得:当时,除积分项以外的项收敛到莱布尼茨级数。同时,积分项收敛到0:当这便证明了莱布尼茨公式。乘法公式乘法公式1. 分配律:。2. 和平方:。 三数和平方:3. 差平方:。4. 平方差:。5. 和立方:。6. 差立方:。7. 立方和:。8. 立方差:。9. 。10. 。二倍角公式二倍角公式是数学三角函数中常用的一组公式,通过角的三角函数值的一些变换关系来表示其二倍角的三角函数值,二倍角公式包括正弦二倍角公式
16、、余弦二倍角公式以及正切二倍角公式。二倍角公式均可通过和角公式推出。正弦二倍角公式此式就是正弦二倍角公式:余弦二倍角公式余弦二倍角公式有三组表示形式,三组形式等价:正切二倍角公式此式就是正切二倍角公式:全概率公式假设Bn:n= 1, 2, 3, . 是一个概率空间的有限或者可数无限的分割,且每个集合Bn是一个可测集合,则对任意事件A有全概率公式:又因为此处Pr(A|B)是B发生后A的条件概率,所以全概率公式又可写作:条件概率的期望值在离散情况下,上述公式等于下面这个公式。但后者在连续情况下仍然成立:此处N是任意随机变量。这个公式还可以表达为:A的先验概率等于A的后验概率的先验期望值。全期望公式
17、全期望公式,即设X,Y,Z为随机变量,g()和h()为连续函数,下列期望和条件期望均存在,则1.三数和平方三数和平方,指三个(或可多个)数目的总和的平方,得来的公式是:验证验证方法与两数和平方差不多,可透过多项式乘法验证:透过几何验证也同样,根据右图将所有部分加在一起:因式分解因式分解,在数学中一般理解为把一个多项式分解为两个或多个的因式的过程。在这个过后会得出一堆较原式简单的多项式的积。两个平方之和或两个平方之差(请参见平方差)根据以上两条恒等式,如原式符合以上条件,即可运用代用法直接分解。两个n次方数之和与差两个立方数之和可分解为两个立方数之差可分解为两个n次方数之差两个奇数次方数之和一次
18、因式检验法一个整系数的一元多项式,假如它有整系数因式,且p,q互质,则以下两条必成立:(逆叙述并不真)不过反过来说,即使当和都成立时,整系数多项式也不一定是整系数多项式的因式另外一个看法是:一个整系数的次多项式,若是f(x)之因式,且p,q互质,则:(逆叙述并不真)因式定理在代数,因式定理(factor theorem)是关于一个多项式的因式和零点的定理。这是一个余式定理的特殊案件。因式定理指出,一个多项式有一个因式当且仅当。多项式的因式分解因式定理普遍应用于找到一个多项式的因式或多项式方程的根的两类问题。从定理的推论结果,这些问题基本上是等价的。若多项式已知一个或数个零点,因式定理也可以移除
19、多项式中已知零点的部份,变成一个阶数较低的多项式,其零点即为原多项式中剩下的零点,以简化多项式求根的过程。方法如下:1. 先设法找出多项式的一个零点。2. 利用因式定理确认是多项式的因式。3. 利用长除法计算多项式。4. 中,所有满足条件的根都是方程式的根。因为的多项式阶数较要小。因此要找出多项式的零点可能会比较简单。另外欲使A=BQ+R成立,就令除式BQ=0,则被除式A=R,能使此方程式成立,被除式=(商式)(除式)+余式or被除式/除式=商式+余式/除式外尔特征标公式外尔特征标公式(Weyls character formula) 描述紧李群不可约表示的特征标。其名来自证明者赫尔曼外尔。定
20、义:群G的表示r的特征标为一函数,其中Tr为线性算子之迹。 (由彼得-外尔定理可知紧李群的任何不可约表示都是有限维的;故迹之定义为线性代数中之定义。)特征标 记住了表示r本身的重要讯息。 外尔特征标公式用群G的其他资料来表达 。 本文考虑复表示,不失一般亦设其为酉表示,因而“不可约”亦等价于“不可分解”(即非二子表示之直和)。公式紧李群G之不可约表示之特征标符合下式:其中 为群G之外尔向量,即各正根之和之半; W为外尔群; 为不可约表示之最高权; 遍历G之每一正根。外尔分母公式在 1 维表示的特例中,特征标为 1, 而外尔特征标公式简化成外尔分母公式:若G为特殊么正群,则简化成范德蒙行列式的等
21、式:。外尔维度公式若只考虑单位元1之迹,则外尔特征标公式 特殊化成外尔维数公式,其中 V为有限维表示,其最高权为; 为外尔向量, 遍历所有正根。由于式中分子与分母俱为高阶零,故必须取G中之元素渐近单位元1时之极限。Freudenthal 公式Hans Freudenthal发现了权重数1符合之一递归公式。此公式等价于外尔特征标公式,而在某些情况下更简便。式曰:;其中 为一最高权, 为另一权, dim V为权 之重数, 为外尔向量, 外和中之 历遍所有正根。外尔-Kac 特征标公式外尔特征标公式 亦适用于卡茨-穆迪代数之可积最高权表示外尔-Kac 特特征标公式。同样地,分母恒等式亦可推广至卡茨-
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