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1、2018 年全国卷 1理科数学1设 z1i2i ,则 | z |( )5设函数 f (x)x3(a 1)x2ax . 若 f ( x) 为奇函1iA 0B 1C 1D2数,则曲线y f ( x) 在点 (0,0) 处的切线方程为()22已知集合 Ax x2x20 ,则 eR A( )A y2xB yxA x 1 x 2C y 2 xD y xB x1x26在 ABC 中, AD 为 BC 边上的中线, E 为 ADC x | x1x | x2的中点,则 EB( )D x | x1x | x 2A3 AB1 ACB1 AB3 AC44443某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增C3AB1
2、ACD1 AB3 AC4444加了一倍, 实现翻番 . 为更好地了解该地区农村的经济7某圆柱的高为 2,底面 周长为 16,其三视图如图 圆收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表经济收入构成比例, 得到如下饼图: 来源 : 学 . 科 . 网 面上的点 N在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从 M到 N 的路径中,最短路径的长度为()则下面结论中不正确的是()A新农村建设后,种植收入减少A2 17B2 5C 3D 2B新农村建设后,其他收入增加了一倍以上8设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过点( 2,0)且C新农村建设后,养
3、殖收入增加了一倍斜率为 2 的直线与 C 交于 M,N 两点,则 FMFN =D新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超3过了经济收入的一半( )4记 Sn 为等差数列a的前 n 项和 . 若 3S3 S2A5B6C7 D8S4 ,nx,x,9已知函数e0a12 ,则 a5( )f ( x)x,g (x) f ( x) x a,ln x0A12 B10C 10 D 12若 g(x)存在2 个零点,则a 的取值范围是()A 1,0)B0 ,+) C 1,+1)D 1 ,+)10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边 BC,
4、直角边 AB,AC ABC的三边所围成的区域记为,黑色部分记为,其余部分记为 在整个图形中随机取一点,此点取自,的概率分别记为p1, p2, p3 ,则()16已知函数 f x2sin xsin2 x ,则 fx 的最小值是 _ (一)必考题: 60 分。17( 12 分)在平面四边形 ABCD 中,ADC90 ,A 45,AB2, BD5 .( 1)求 cos ADB ;(2)若 DC 22,求 BC.A p =p2B p =p C p =p3D p =p +p113212311已知双曲线: x2y21,O为坐标原点,F为C3C 的右焦点,过F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M、N
5、. 若 OMN 为直角三角形,则|MN|=( )A 3B 3C2 3 D4212已知正 方体的棱长为 1,每条棱所在直线与平面 所成的角都相等, 则 截此正方体所得截面面积的最大值为( )A3 3B2 3 C3 2D34342x2 y2013 若 x, y 满 足 约 束 条 件 xy 1 0, 则y 0z 3 x2 y 的最大值为 _14记Sn为数列 an的前 n 项和 . 若 Sn2an1 ,则S6_ 15从 2 位女生, 4 位男生中选3 人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有_ 种(用数字填写答案)18(12 分)如图,四边形ABCD 为正方形, E, F 分别为 AD
6、 , BC 的中点,以 DF 为折痕把 DFC 折起,使点 C 到达点 P 的位置,且PFBF .( 1)证明:平面 PEF平面 ABFD ;( 2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值 .219( 12 分)设椭圆 C : x2y21 的右焦点为 F ,2过 F 的直线 l 与 C 交于 A, B 两点,点 M 的坐标为(2,0) .( 1)当 l 与 x 轴垂直时,求直线AM 的方程;( 2)设 O 为坐标原点,证明:OMAOMB .20( 12 分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品检验时,先从这箱产品中
7、任取20 件作检验, 再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为p(0p1) ,且各件产品是否为不合格品相互独立( 1)记 20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为f ( p) ,求 f ( p) 的最大值点p0 ( 2)现对一箱产品检验了 20 件,结果恰有 2 件不合格品,以( 1)中确定的 p0 作为 p 的值已知每件产品的检验费用为 2 元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用( i )若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;( ii )以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,
8、是否该对这箱余下的所有产品作检验?322 cos3 0 .121( 12 分)已知函数f ( x)a ln x x的直角坐标方程; (2)若 C与 C 有且仅有x(1)求 C212(1)讨论f ( x) 的单调性; ( 2)若 f ( x) 存在两个极C1 的方程 .三个公共点,求值点 x , x,证明: fx1f x2a 2 12x1x223( 10 分)已知 f ( x)| x 1| ax 1| .( 1)当 a1 时,求不等式f ( x)1 的解集;( 2)若x(0,1)f ( x)x成立,求a的取时不等式值范围 .(二)选考题:共10 分。22( 10 分)在直角坐标系xOy 中,曲线
9、 C1 的方程为 yk|x|2 . 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为4参考答案:1C2B3A4B5D6A7B8D9C10A11B12A13.614.6315.163316.217. ( 12 分)BDAB解:( 1)在 ABD 中,由正弦定理得A sin.sinADB由题设知,52,所以 sinADB2 .sin 45sin ADB5由题设 知,ADB90 ,所以 cosADB122325.5( 2)由题设及(1)知, cos BDCsinADB2 .5在 BCD 中,由余弦定理得BC 2BD 2DC 22 BD DC cosBDC2582522252
10、5 .所以 BC5.18. (12 分)解:( 1)由已知可得, BF PF,BF EF,所以 BF平面 PEF.又 BF平面 ABFD,所以平面PEF平面 ABFD.( 2)作 PH EF,垂足为H. 由( 1)得, PH平面 ABFD.以 H为坐标原点,HF 的方向为 y 轴正方向,| BF | 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H- xyz.由( 1)可得, DEPE. 又 DP=2, DE=1,所以 PE=3 . 又 PF=1, EF=2,故 PEPF.可得 PH3,EH 3.225则 H (0,0,0), P(0,0,3), D(1,3,0), DP(1,3,3), HP(0,0
11、,3) 为平面 ABFD的法向量 .22222HP DP33设 DP与平面 ABFD所成角为,则 sin|4|HP | DP |.34所以 DP与平面 ABFD所成角的正弦值为3 .419. ( 12 分)解:( 1)由已知得 F (1,0), l的方程为 x=1.由已知可得,点A的坐标为 (1,2)或(1,2) .22所以 AM的方程为 y2 x2 或 y2 x2 .22( 2)当 l与 x 轴重合时,OMAOMB0.当 l 与 x 轴垂直时, OM为 AB的垂直平分线,所以OMAOMB .当 l 与 x 轴不重合也不垂直时,设l的方程为 yk( x1)(k0) , A(x1, y1 ),
12、B( x2 , y2 ) ,则 x12, x22 ,直线 MA, MB的斜率之和为 kMAkMBy1y2.来源:学科网 x12x22由 y1 kx1k, y2kx2k 得kMAkMB2kx1 x23k ( x1x2 ) 4k .(x12)( x22)将 y k (x1) 代入 x2y21得2(2k 21)x24k 2 x 2k220 .所以, x1x24k 2, x1x22k 22 .2k212k 21则 2kx1 x23k( x1 x2 )4k4k 34k12k38k 34k210 .2k从而 kMAkMB0 ,故 MA, MB的倾斜角互补,所以OMAOMB .6综上,OMAOMB .20.
13、 (12 分)解:( 1)20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为f ( p)C202 p2 (1p)18 . 因此f ( p)C202 2 p(1p)18 18p2 (1p)17 2C202p(1p)17 (1 10 p) .令 f ( p)0 ,得 p0.1 . 当 p(0,0.1) 时, f( p)0 ;当 p(0.1,1) 时, f ( p) 0 .所以 f ( p) 的最大值点为p00.1.( 2)由( 1)知, p0.1 .( i )令 Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y : B(180,0.1) , X 20 225Y ,即X4025Y .所以EXE(40 2
14、5Y)40 25 EY 490 .( ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400 元.由于EX400 ,故应该对余下的产品作检验 .21. (12 分)解 : ( 1) f ( x) 的定义域为 (0,) , f( x)11ax2ax1 .x2xx2( i )若 a2 ,则 f (x)0 ,当且仅当 a2, x1 时 f( x)0 ,所以f (x) 在 (0,) 单调递减 .( ii )若 a2 ,令 f ( x)0 得, xa a24 或 xaa24 .22当 xaa24aa24) 时, f ( x) 0;(0,2) U (2,当 x( aa24 , aa24 ) 时,
15、 f ( x)0 . 所以 f ( x) 在 (0, aa24 ),( aa24 , ) 单调递减,2222在 (aa24 , aa24)单调递增 .22( 2)由( 1)知,f (x) 存在两个极值点当且仅当a2 .由于 f ( x) 的两个极值点 x , x满足 x2ax10,所以 x x21 ,不妨设 xx ,则 x21. 由于121127f (x1)f (x2 )1ln x1ln x2ln x1ln x22lnx2,x1x2x1x21 ax1x22 ax1x22 a 1x2x2所以 f (x1)f (x2 )a2等价于 1x2 2ln x20 .x1x2x2设函数 g ( x)1,由(
16、 1)知, g(x) 在 (0,) 单调递减,又 g (1)0 ,从而当 x(1,) 时,x 2ln xxg( x) 0 .所以 1x22lnx20 ,即 f (x1 )f ( x2 )a2 .x2x1x222 选修 4 4:坐标系与参数方程 (10 分)解 : ( 1)由 xcos, ysin得 C2 的直角坐标方程为( x1)2y24( )由( )知C2是圆心为A( 1,0),半径为2的圆学科网21&由题设知, C1 是 过点 B(0, 2) 且关于 y 轴对称的两条射线记 y 轴右边的射线为l1 , y 轴左边的射线为l 2 由于 B 在圆 C2 的外面,故 C1 与 C2 有且仅有三个
17、公共点等价于l1 与 C2 只有一个公共点且l2 与 C2 有两个公共点,或 l2 与 C2 只有一个公共点且l1 与 C2 有两个公共点当 l1 与 C2 只有一个公共点时,A 到 l1 所在直线的距离为|k2 |2 ,故 k4 或 k0 2 ,所以k213经检验,当k0 时, l1 与 C2 没有公共点;当k4时, l1 与 C2 只有一 个公共点, l2 与 C2 有两个公共点3当 l2 与 C2 只有一个公共点时, A 到 l2 所在直线的距离为2 ,所以| k2 |2,故 k0 或 k4 k 213经检验,当 k0 时, l1 与 C2 没有公共点;当k4时, l 2 与 C2 没有公共点4 | x |3综上,所求 C1 的方程为 y2 323 选修 4 5:不等式选讲 ( 10分)2, x1,解:( 1)当 a1 时, f (x)| x1| x 1| ,即 f (x)2x,1x1,2, x1.故不等式f ( x)1 的解集为 x | x1 28( 2)当 x (0,1)时 | x1| | ax1|x 成立等价于当x (0,1) 时 | ax1| 1 成立若 a0,则当 x(0,1) 时 | ax1|1 ;若 a0, | ax1|1的解集为 0 x221 ,故 0 a 2,所以aa综上, a 的取值范围为 (0, 2 9
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