山东省临沂市2019年中考数学复习第三章函数第七节二次函数的综合运用课件.pptx

考点一 线段、周长问题 例1(2017·东营中考)如图，直线y x 分别与x 轴、y轴交于B，C两点，点A在x轴上，ACB90°，抛物 线yax2bx 经过A，B两点,(1)求A，B两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MHBC于点 H，作MDy轴交BC于点D，求DMH周长的最大值,【分析】(1)由直线解析式可求得B，C坐标，再利用相似三角形可求得OA，从而可求出A点坐标； (2)利用待定系数法可求得抛物线解析式； (3)根据题意可推出当MD取得最大值时，DMH的周长最大，利用二次函数的性质得出最大值,【自主解答】(1)直线y x 分别与x轴、y轴交于B，C两点， 点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0， ) ACOBCO90°，ACOCAO90°， CAOBCO. AOCCOB90°，AOCCOB， 点A的坐标为(1，0),(2)抛物线yax2bx 经过A，B两点， 抛物线的解析式为y,(3)由题意知，DMH为直角三角形，且M30°， 当MD取得最大值时，DMH的周长最大,1(2014·临沂中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(1，0)和点B(1，0)，直线y2x1与y轴交于点C，与抛物线交于点C，D. (1)求抛物线的解析式； (2)求点A到直线CD的距离；,(3)平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G，P，Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标,解：(1)直线y2x1，当x0时，y1， 则点C坐标为(0，1) 设抛物线的解析式为yax2bxc. 点A(1，0)，B(1，0)，C(0，1)在抛物线上， 抛物线的解析式为yx21.,(2)直线y2x1，当y0时，x . 如图，过点A作AFCD于点F.设直线CD交x轴于点E，则E ( ，0),在RtOCE中，OC1，OE ， 由勾股定理得CE . 设OEC，则sin ，cos . 则AFAE·sin (OAOE)·sin (1 )× ， 点A到直线CD的距离为 .,(3)平移后抛物线的顶点P在直线y2x1上， 设P(t，2t1)， 则平移后抛物线的解析式为y(xt)22t1. 联立 化简得x2(2t2)xt22t0， 解得x1t，x2t2，即点P，Q的横坐标相差2， PQ,GPQ为等腰直角三角形，可能有以下情形：,若点P为直角顶点，如图1， 则PGPQ2 . CG OGCGOC1019， G(0，9),若点Q为直角顶点，如图2， 则QGPQ2 . 同理可得G(0，9) 若点G为直角顶点，如图3，分别过点P，Q作y轴的垂线，垂足分别为点M，N. 此时PQ2 ，则GPGQ . 易证RtPMGRtGNQ，,GNPM，GMQN. 在RtQNG中，由勾股定理得GN2QN2GQ2， 即PM2QN210. 点P，Q横坐标相差2，NQPM2， PM2(PM2)210，解得PM1， NQ3. 直线y2x1，当x1时，y1，,P(1，1)，即OM1， OGOMGMOMNQ134， G(0，4) 综上所述，符合条件的点G有两个，其坐标为(0，4)或 (0，9),考点二 图形面积问题 例2(2015·临沂中考)在平面直角坐标系中，O为原点，直线y2x1与y轴交于点A，与直线yx交于点B，点B关于原点的对称点为C. (1)求过A，B，C三点的抛物线的解析式； (2)P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q.,当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标； 若点P的横坐标为t(1t1)，当t为何值时，四边形PBQC面积最大，并说明理由,【分析】(1)联立两直线解析式可求得B点坐标，由关于原点 对称可求得C点坐标，由直线y2x1可求得A点坐标，再 利用待定系数法可求得抛物线解析式； (2)当四边形PBQC为菱形时，可知PQBC，则可求得直线PQ 的解析式，联立抛物线解析式可求得P点坐标； 过点P作PDy轴，交直线yx于点D，分别过点B，C作 BEPD，CFPD，垂足分别为E，F，设D(t，t)，则可用t 表示出S四边形PBQC，利用二次函数的性质求得最大值即可,【自主解答】 (1)解方程组 点B的坐标为(1，1) 点C和点B关于原点对称， 点C的坐标为(1，1) 又点A是直线y2x1与y轴的交点， 点A的坐标为(0，1),设抛物线的解析式为yax2bxc， 抛物线的解析式为yx2x1.,(2)如图，,点P在抛物线上， 可设点P的坐标为(m，m2m1) 当四边形PBQC是菱形时，O为菱形的中心， PQBC，即点P，Q在直线yx上， mm2m1， 解得m1± . 点P的坐标为(1 ，1 )或(1 ，1 ),如图，设点P的坐标为(t，t2t1) 过点P作PDy轴，交直线yx于点D， 分别过点B，C作BEPD，CFPD，垂足分别为E，F.,则D(t，t) PDt(t2t1)t21，BECF2， SPBC PD·BE PD·CF PD·(BECF) (t21)×2 t21， S四边形PBQC2t22， 当t0时，S四边形PBQC有最大值2.,2(2018·遂宁中考)如图，已知抛物线yax2 x4的 对称轴是直线x3，且与x轴相交于A，B两点(B点在A点右 侧)，与y轴交于C点 (1)求抛物线的解析式和A，B两点的坐标； (2)若点P是抛物线上B，C两点之间的一个动点(不与B，C重 合)，则是否存在一点P，使PBC的面积最大若存在，请 求出PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；,(3)若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN3时，求M点的坐标,解：(1)抛物线yax2 x4的对称轴是直线x3， 3，解得a ， 抛物线的解析式为y x2 x4. 当y0时， x2 x40， 解得x12，x28， 点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(8，0),(2)当x0时，y x2 x44， 点C的坐标为(0，4) 设直线BC的解析式为ykxb(k0) 将B(8，0)，C(0，4)代入ykxb得 直线BC的解析式为y x4.,假设存在，设点P的坐标为(x， x2 x4) 如图，过点P作PDy轴，交直线BC于点D，,则点D的坐标为(x， x4)， PD x2 x4( x4) x22x， SPBC PD·OB ×8( x22x)x28x (x4)216. 10， 当x4时，PBC的面积最大，最大面积是16. 0x8， 存在点P，使PBC的面积最大，最大面积是16.,(3)设点M的坐标为(m， m2 m4)，则点N的坐标为 (m， m4)， MN| m2 m4( m4)| | m22m|. 又MN3，| m22m|3. 当0m8时，有 m22m30， 解得m12，m26，,点M的坐标为(2，6)或(6，4) 当m0或m8时，有 m22m30， 解得m342 ，m442 ， 点M的坐标为(42 ， 1)或(42 ， 1) 综上所述，M点的坐标为(42 ， 1)，(2，6)， (6，4)或(42 ， 1),考点三 动点、存在点问题 例3(2016·临沂中考)如图，在平面直角坐标系中，直线y 2x10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是(8，4) 连接AC，BC. (1)求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断ABC的形 状；,(2)动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为t s，当t为何值时，PAQA;,(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由,【分析】 (1)先确定出点A，B坐标，再用待定系数法求出抛物 线解析式，用勾股定理的逆定理判断出ABC是直角三角形； (2)设运动时间为t s时，OP2t，CQ10t，在RtAOP和 RtACQ中，用含t的式子表示出PA2和QA2，由PAQA求得t的 值即可； (3)分三种情况，用平面坐标系内两点间的距离公式计算即可,【自主解答】(1)在直线y2x10上， 令y0得x5，令x0得y10， 即A(5，0)，B(0，10) 点A(5，0)，C(8，4)，O(0，0)在抛物线yax2bxc上，,抛物线的解析式为y x2 x. AC2(85)24225，BC282(104)2100， AB252102125， AC2BC2AB2， ABC是直角三角形,(2)设运动时间为t s时，OP2t，BQt，则CQ10t. 当点P运动到端点时，t 5， 当t5时，BQ510， t的取值范围是0t5. 在RtAOP和RtACQ中， PA2OA2OP2254t2，,QA2QC2AC225(10t)2t220t125. PAQA，PA2QA2， 即t220t125254t2， 解得t110(舍去)，t2 ， 即运动时间为 s时，PAQA.,(3)抛物线与x轴交于O(0，0)，A(5，0)两点， 对称轴为x . 设存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形， 设M( ，y)， AM2(5 )2y2 y2， BM2( )2(10y)2 y220y100.,当AMAB时，则AM2AB2，即 y2125， 解得y1 ，y2 ， 此时点M的坐标为( ， )或( ， ),当BMAB时，则BM2AB2， 即 y220y100125. 解得y110 ，y210 ， 此时点M的坐标为( ，10 )或( ，10 ),当AMBM时，则AM2BM2， 即 y2 y220y100， 解得y5， 此时点M的坐标为( ，5)，恰好是点AB的中点，不能构成三 角形，故舍去 综上所述，存在点M使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角 形，此时点M的坐标为,3(2018·临沂中考)如图，在平面直角坐标系中，ACB 90°，OC2OB，tanABC2，点B的坐标为(1，0)，抛物 线yx2bxc经过A，B两点 (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线AB上方抛物线上的一点过点P作PD垂直x轴于 点D，交线段AB于点E，使PE DE.,求点P的坐标； 在直线PD上是否存在点M，使ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在请说明理由,解：(1)在RtABC中，由点B的坐标可知OB1. OC2OB，OC2，则BC3. 又tanABC2， AC2BC6，则点A的坐标为(2，6) 把点A，B的坐标代入抛物线yx2bxc中得 该抛物线的解析式为yx23x4.,(2)由点A(2，6)和点B(1，0)的坐标易得直线AB的解析式为y2x2.,如图，设点P的坐标为(m，m23m4)，则点E的坐标为 (m，2m2)，点D的坐标为(m，0)， 则PEm2m2，DE2m2. 由PE DE得 m2m2 (2m2)， 解得m±1. 又2m1，m1，点P的坐标为(1，6),M在直线PD上，且P(1，6)， 设M(1，y)，AM2(12)2(y6)21(y6)2， BM2(11)2y24y2，AB2(12)26245. 分三种情况： ()当AMB90°时，有AM2BM2AB2， 1(y6)24y245，解得y3± ， M(1，3 )或(1，3 )；,()当ABM90°时，有AB2BM2AM2， 454y21(y6)2，解得y1， M(1，1) ()当BAM90°时，有AM2AB2BM2， 1(y6)2454y2，解得y ， M(1， ),综上所述，点M的坐标为(1，3 )或(1，3 ) 或(1，1)或(1， ),考点四 二次函数综合题 百变例题(2018·济宁中考)如图，已知抛物线yax2bx c(a0)经过点A(3，0)，B(1，0)，C(0，3) (1)求该抛物线的解析式； (2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐 标；,(3)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C， Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐 标；若不存在，请说明理由,【分析】 (1)已知A，B两点坐标，可得ya(x3)(x1)，再将点C坐标代入即可解得； (2)过点A作AMBC，利用全等三角形求出点N的坐标，再利用待定系数法求出直线AM的解析式，同理可求出直线BC的解析式，联立求出M坐标即可； (3)存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况，利用平移规律确定出P的坐标即可,【自主解答】(1)抛物线yax2bxc(a0)经过点 A(3，0)，B(1，0)， ya(x3)(x1) 又抛物线经过点C(0，3)， 3a(03)(01)， 解得a1， 抛物线的解析式为y(x3)(x1)， 即yx22x3.,(2)如图，过点A作AMBC，垂足为点M，AM交y轴于点N，,BAMABM90°. 在RtBCO中， BCOABM90°， BAMBCO. A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)， AOCO3，OB1.,又BAMBCO， BOCAON90°， AONCOB， ONOB1， N(0，1),设直线AM的函数解析式为ykxb， 把A(3，0)，N(0，1)代入得 直线AM的函数解析式为y x1. 同理可求直线BC的函数解析式为y3x3. 解方程组得 切点M的坐标为,(3)存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形 设Q(t，0)，P(m，m22m3) 分两种情况考虑： 当四边形BCQP为平行四边形时， 由B(1，0)，C(0，3)， 根据平移规律得1m0t，0(m22m3)30， 解得m1± .,当m1 时，m22m382 22 33， 即P(1 ，3)； 当m1 时，m22m382 22 33， 即P(1 ，3) 当四边形BCPQ为平行四边形时， 由B(1，0)，C(0，3)， 根据平移规律得1t0m，003(m22m3)， 解得m0或2.,当m0时，P(0，3)(舍去)；当m2时，P(2，3) 综上所述，存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边 形，点P的坐标为(1 ，3)或(1 ，3)或(2，3),变式1：若点D是抛物线的顶点，求ACD面积与ABC面积的比 解：如图，连接AC，AD，CD，作DLx轴于点L.,SACDS梯形OCDLSADLSAOC ×(34)×1 ×2×4 ×3×3 3， SABC AB·OC ×4×36， SACDSABC3612.,变式2：若E是x轴上一个动点，过E作射线EFBC交抛物线于点F，随着E点的运动，在抛物线上是否存在这样的点F，使以B，E，F，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由,解：存在理由如下：,如图，当点F在x轴下方时，作FRx轴于点R. 四边形BCFE为平行四边形， EF綊BC， ERFBOC， RFOC3， 3x22x3， 解得x2或x0(与C点重合，舍去)， F(2，3),如图，当F在x轴上方时，作FSx轴于点S.,四边形BCEF为平行四边形， EF綊BC， EFSBCO， FSOC3， 3x22x3， 解得x11 ，x21 . 综上所述，F点为(2，3)或(1 ，3)或(1 ，3),变式3：如图，若点G是线段AC上的点(不与A，C重合)，过G作GHy轴交抛物线于H，若点G的横坐标为m，请用m的代数式表示GH的长,解：设直线AC的解析式为ykx3，则有03k3， 解得k1， 故直线AC的解析式为yx3. 已知点G的横坐标为m， 则G(m，m3)，H(m，m22m3)， GHm3(m22m3)m23m(0m3),变式4：若对称轴是直线l，在对称轴l上是否存在点W，使WBC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点W的坐标；若不存在，请说明理由,解：存在点W的坐标为(1，0)或(1， )或(1， ) 或(1，1) 提示：设对称轴上的点W为(1，m)，BC ， WB WC WBC为等腰三角形： 当BCWC时，,解得m0(m6时，W，B，C三点共线，舍去)； 当WBWC时， 解得m1； 当BCWB时， 解得m± . 综上所述，点W的坐标为(1，0)或(1， )或(1， )或(1，1),