山东省临沂市2019年中考数学复习第三章函数第七节二次函数的综合运用课件.pptx
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1、考点一 线段、周长问题 例1(2017东营中考)如图,直线y x 分别与x 轴、y轴交于B,C两点,点A在x轴上,ACB90,抛物 线yax2bx 经过A,B两点,(1)求A,B两点的坐标; (2)求抛物线的解析式; (3)点M是直线BC上方抛物线上的一点,过点M作MHBC于点 H,作MDy轴交BC于点D,求DMH周长的最大值,【分析】(1)由直线解析式可求得B,C坐标,再利用相似三角形可求得OA,从而可求出A点坐标; (2)利用待定系数法可求得抛物线解析式; (3)根据题意可推出当MD取得最大值时,DMH的周长最大,利用二次函数的性质得出最大值,【自主解答】(1)直线y x 分别与x轴、y轴
2、交于B,C两点, 点B的坐标为(3,0),点C的坐标为(0, ) ACOBCO90,ACOCAO90, CAOBCO. AOCCOB90,AOCCOB, 点A的坐标为(1,0),(2)抛物线yax2bx 经过A,B两点, 抛物线的解析式为y,(3)由题意知,DMH为直角三角形,且M30, 当MD取得最大值时,DMH的周长最大,1(2014临沂中考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点A(1,0)和点B(1,0),直线y2x1与y轴交于点C,与抛物线交于点C,D. (1)求抛物线的解析式; (2)求点A到直线CD的距离;,(3)平移抛物线,使抛物线的顶点P在直线CD上,抛物线与直线CD的
3、另一个交点为Q,点G在y轴正半轴上,当以G,P,Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时,求出所有符合条件的G点的坐标,解:(1)直线y2x1,当x0时,y1, 则点C坐标为(0,1) 设抛物线的解析式为yax2bxc. 点A(1,0),B(1,0),C(0,1)在抛物线上, 抛物线的解析式为yx21.,(2)直线y2x1,当y0时,x . 如图,过点A作AFCD于点F.设直线CD交x轴于点E,则E ( ,0),在RtOCE中,OC1,OE , 由勾股定理得CE . 设OEC,则sin ,cos . 则AFAEsin (OAOE)sin (1 ) , 点A到直线CD的距离为 .,(3)平移后抛物
4、线的顶点P在直线y2x1上, 设P(t,2t1), 则平移后抛物线的解析式为y(xt)22t1. 联立 化简得x2(2t2)xt22t0, 解得x1t,x2t2,即点P,Q的横坐标相差2, PQ,GPQ为等腰直角三角形,可能有以下情形:,若点P为直角顶点,如图1, 则PGPQ2 . CG OGCGOC1019, G(0,9),若点Q为直角顶点,如图2, 则QGPQ2 . 同理可得G(0,9) 若点G为直角顶点,如图3,分别过点P,Q作y轴的垂线,垂足分别为点M,N. 此时PQ2 ,则GPGQ . 易证RtPMGRtGNQ,,GNPM,GMQN. 在RtQNG中,由勾股定理得GN2QN2GQ2,
5、 即PM2QN210. 点P,Q横坐标相差2,NQPM2, PM2(PM2)210,解得PM1, NQ3. 直线y2x1,当x1时,y1,,P(1,1),即OM1, OGOMGMOMNQ134, G(0,4) 综上所述,符合条件的点G有两个,其坐标为(0,4)或 (0,9),考点二 图形面积问题 例2(2015临沂中考)在平面直角坐标系中,O为原点,直线y2x1与y轴交于点A,与直线yx交于点B,点B关于原点的对称点为C. (1)求过A,B,C三点的抛物线的解析式; (2)P为抛物线上一点,它关于原点的对称点为Q.,当四边形PBQC为菱形时,求点P的坐标; 若点P的横坐标为t(1t1),当t为
6、何值时,四边形PBQC面积最大,并说明理由,【分析】(1)联立两直线解析式可求得B点坐标,由关于原点 对称可求得C点坐标,由直线y2x1可求得A点坐标,再 利用待定系数法可求得抛物线解析式; (2)当四边形PBQC为菱形时,可知PQBC,则可求得直线PQ 的解析式,联立抛物线解析式可求得P点坐标; 过点P作PDy轴,交直线yx于点D,分别过点B,C作 BEPD,CFPD,垂足分别为E,F,设D(t,t),则可用t 表示出S四边形PBQC,利用二次函数的性质求得最大值即可,【自主解答】 (1)解方程组 点B的坐标为(1,1) 点C和点B关于原点对称, 点C的坐标为(1,1) 又点A是直线y2x1
7、与y轴的交点, 点A的坐标为(0,1),设抛物线的解析式为yax2bxc, 抛物线的解析式为yx2x1.,(2)如图,,点P在抛物线上, 可设点P的坐标为(m,m2m1) 当四边形PBQC是菱形时,O为菱形的中心, PQBC,即点P,Q在直线yx上, mm2m1, 解得m1 . 点P的坐标为(1 ,1 )或(1 ,1 ),如图,设点P的坐标为(t,t2t1) 过点P作PDy轴,交直线yx于点D, 分别过点B,C作BEPD,CFPD,垂足分别为E,F.,则D(t,t) PDt(t2t1)t21,BECF2, SPBC PDBE PDCF PD(BECF) (t21)2 t21, S四边形PBQC
8、2t22, 当t0时,S四边形PBQC有最大值2.,2(2018遂宁中考)如图,已知抛物线yax2 x4的 对称轴是直线x3,且与x轴相交于A,B两点(B点在A点右 侧),与y轴交于C点 (1)求抛物线的解析式和A,B两点的坐标; (2)若点P是抛物线上B,C两点之间的一个动点(不与B,C重 合),则是否存在一点P,使PBC的面积最大若存在,请 求出PBC的最大面积;若不存在,试说明理由;,(3)若M是抛物线上任意一点,过点M作y轴的平行线,交直线BC于点N,当MN3时,求M点的坐标,解:(1)抛物线yax2 x4的对称轴是直线x3, 3,解得a , 抛物线的解析式为y x2 x4. 当y0时
9、, x2 x40, 解得x12,x28, 点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(8,0),(2)当x0时,y x2 x44, 点C的坐标为(0,4) 设直线BC的解析式为ykxb(k0) 将B(8,0),C(0,4)代入ykxb得 直线BC的解析式为y x4.,假设存在,设点P的坐标为(x, x2 x4) 如图,过点P作PDy轴,交直线BC于点D,,则点D的坐标为(x, x4), PD x2 x4( x4) x22x, SPBC PDOB 8( x22x)x28x (x4)216. 10, 当x4时,PBC的面积最大,最大面积是16. 0x8, 存在点P,使PBC的面积最大,最大面积是16.,
10、(3)设点M的坐标为(m, m2 m4),则点N的坐标为 (m, m4), MN| m2 m4( m4)| | m22m|. 又MN3,| m22m|3. 当0m8时,有 m22m30, 解得m12,m26,,点M的坐标为(2,6)或(6,4) 当m0或m8时,有 m22m30, 解得m342 ,m442 , 点M的坐标为(42 , 1)或(42 , 1) 综上所述,M点的坐标为(42 , 1),(2,6), (6,4)或(42 , 1),考点三 动点、存在点问题 例3(2016临沂中考)如图,在平面直角坐标系中,直线y 2x10与x轴,y轴相交于A,B两点,点C的坐标是(8,4) 连接AC,
11、BC. (1)求过O,A,C三点的抛物线的解析式,并判断ABC的形 状;,(2)动点P从点O出发,沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动;同时,动点Q从点B出发,沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动设运动时间为t s,当t为何值时,PAQA;,(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使以A,B,M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由,【分析】 (1)先确定出点A,B坐标,再用待定系数法求出抛物 线解析式,用勾股定理的逆定理判断出ABC是直角三角形; (2)设运动时间为t s时,OP2t,CQ10t,在
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