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高等数学第九章 第四节 几种常见的二次曲面 一、问题的提出 二、柱面 四、旋转曲面 八、一般的二次曲面 九、小结与思考判断题 三、锥面 五、椭球面 六、双曲面 七、抛物面 2021/10/23 高等数学第九章 一、问题的提出 (Introduction) 三元二次方程表示的曲面，称为二次曲面。 如球面 1）对称性：关于坐标面，坐标轴 2）存在范围 3）曲面与坐标轴、坐标面的关系 用平行于坐标面的平面去截曲面，由所得 截痕来勾画曲面的大体形状及如下一些特性。 二次曲面的研究方法：(不能用描点法，而用截痕法) 2021/10/23 高等数学第九章 二、柱面 1、柱面的定义： 一般地，平行于定直线并沿定曲线C移 动的直线L形成的轨迹叫做柱面。 动直线L叫做柱 面的母线，定曲线C 叫做柱面的准线。 L C 2021/10/23 高等数学第九章 1）一般地，只含 x, y 而缺 z 的方程 F(x, y)=0 在空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy 面上的曲线 例1、 表示怎样的曲面？ 也是圆柱面。 是平面， 解： 也是柱面。 母线平行于 z 轴，准线为 xoy 面上的 曲线（圆） 的圆柱面。 2021/10/23 高等数学第九章 2）一般地，只含 x, z 而缺 y 的方程 G(x, z)=0 在空间直角坐标系中表示母线平行于 y 轴的柱 面，其准线为 xoz 面上的曲线 例2、 表示怎样的曲面？ 母线平行于 y 轴，准线为 xoz 面上的曲线（抛物线 ） 的抛物柱面。 解： 2021/10/23 高等数学第九章 2、练习题: 下列方程在平面、空间直角坐标系中各表 示什么图形，并画出其草图。 3）一般地，只含 y, z 而缺 x 的方程 H(y, z)=0 在空间直角坐标系中表示母线平行于 x 轴的柱 面，其准线为 yoz 面上的曲线 2021/10/23 高等数学第九章 三、锥面 椭圆锥面： 特殊情形：当 a = b 时，此时为圆锥面。 o x y z 曲面与平面 z = t 相交，得截痕为不同高度 、不同大小的椭圆： 2021/10/23 高等数学第九章 1 、定义：以一条平面 曲线绕该平面上的一条 直线旋转一周所成的曲 面叫做旋转曲面。这条 直线叫做旋转曲面的轴 。旋转的曲线称为母线 。 四、旋转曲面 2021/10/23 高等数学第九章 2、 旋转曲面方程的求法 ： 把该曲线绕 z 轴旋 转一周，得一个以 z 轴 为轴的旋转曲面。 坐标平面上有一已知曲线C，1）设在 为曲线C上的任意一点，则有 2021/10/23 高等数学第九章 当曲线C绕 z 轴旋转时，点也绕 z 轴转动到 点M到 z 轴的距离 此即为所求旋转曲面的方程。 M 2021/10/23 高等数学第九章 注：求旋转曲面的方程的技巧： 在曲线C 的方程 的第一个方程 中，只要将 y 改成z 不变，便得曲 同理，曲线C绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的 方程为： 线C绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程。 2021/10/23 高等数学第九章 2）xoy 面上的曲线C ： 绕 x 轴 绕 y 轴 3）zox 面上的曲线C ： 绕 x 轴 绕 z 轴 2021/10/23 高等数学第九章 x y z 0 直线L 解： 旋转面为 即 2021/10/23 高等数学第九章 例4 xoy 面上的椭圆 绕 x 轴转得曲面： 绕 y 轴转得曲面： zox 面上的双曲线 绕 z 轴转得曲面： 绕 x 轴转得曲面： 旋转椭球面 旋转椭球面 旋转单叶双曲面 旋转双叶双曲面 2021/10/23 高等数学第九章 例5 思考：方程 表示怎样的曲面？ 是怎样形成的？ 或 x y z 0 解：是由 1、怎样形成？ 2、什么曲面？ z 2021/10/23 高等数学第九章 x y z 五、椭球面 特殊情形： 当 a=b=c 时，此时为球面 2021/10/23 高等数学第九章 当 a=b 时，此时为旋转曲面 当 a=c 时，此时为旋转曲面 当 c=b 时，此时为旋转曲面 2021/10/23 高等数学第九章 1、单叶双曲面 o x y z 当 a=b 时为旋转单叶双曲面。 六、双曲面 2021/10/23 高等数学第九章 2021/10/23 高等数学第九章 2、双叶双曲面 或者 x y z 0 当 a=c 时为旋转双叶双曲面。 2021/10/23 高等数学第九章 1、 椭圆抛物面 x y z (0,0,0) a=b 时，成为旋转抛物面。 七、抛物面 2021/10/23 高等数学第九章 2、 双曲抛物面（马鞍面） 也是双曲抛物面。 x z y o 2021/10/23 高等数学第九章 八、一般的二次曲面 在研究一般的二次曲面时，要利用坐标变换 将其方程变为标准方程。 1、坐标系的平移 坐标系的平移只改变原点的位置，不改变坐 标轴的方向和单位长度。 2021/10/23 高等数学第九章 设 为原始坐标系， 是空 间一点，将原坐标系原点 平移到 得新坐标 系 。 若点P在原坐标系 下的坐标为（x, y, z）， 在新坐标系下的坐标为 （X, Y, Z），则 或 坐标系平移时 坐标变换公式 2021/10/23 高等数学第九章 例6 用坐标系的平移化去方程 的一次项。 解：将方程变形为： 取平移变换：则方程变为： 为旋转椭球面 2021/10/23 高等数学第九章 2、坐标系的旋转 （略） 2021/10/23 高等数学第九章 例7、指出下列方程所表示的曲面。 (1) (2) (3) (4) 2021/10/23 高等数学第九章 (5) (6) (7) (8) 2021/10/23 高等数学第九章 (9) (12) (10) (11) 2021/10/23 高等数学第九章 九、小结 旋转曲面的概念及求法 常见的二次曲面 二次曲面的识别 2021/10/23 高等数学第九章 指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？ 思考判断题 作业： P40. 1（1）、8（2、3） 2021/10/23
