最新新课程高中数学必修五教案《等比数列的前n项和（一）》名师优秀教案.doc

新课程高中数学必修五教案等比数列的前n项和（一）第二章 数列 2.5等比数列的前n项和 (第一课时) 【创设情景 引入新知】 陛下，赏小 你想得到 人一些麦粒就可以。 什么样的 赏赐, 传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨班达依尔，舍罕王为了表彰他的功绩，准备进行奖赏( 问他想要什么.发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在第4个格子里放上8颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.”这是一个什么数学问题,国王能满足他的要求吗, 陛下国库里的 麦子不够啊 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，共有64格每格所放的麦粒数依次为:236312222,.这是一个以1为首项， 2为公比的等比数列，麦粒的总数为: 要想知道国王能否满足发明者的要求，需要计算出麦粒总数.那么如何求这个等比数列的前64项的和呢,这就是这节课要学习的内容. 【探索问题 形成概念】 aaaa,一般地，对于等比数列它的前n项和是 123nS,a，a，a，？a n123nn,1aaq,根据，可将上式写成 n1221nn,Saaqaqaqaq,，? n11111用公比乘?的两边，可得 231nn,qSaqaqaqaqaq,，? n11111?与?相减，得 n()1,qSaaq 11nna(1,q)1S,?当时， q,1n1,qaaq,n,11naaq,()1因为 ，所以上面的公式还可以写为Sq, n1n1,q当q,1等于多当q=1时，等比数列的前n项和sn少, 时，aaa,12n，则Sna,. n1naq (1) ,naq (1) ,11,n综上，等比数列的前项和公式为 nSS,或aaq,aq(1),nnn11(1) q,(1)q,1,q1,q,现在回到引言中的问题，用上述公式计算国王承诺奖赏的麦粒数 641(12),62636419S,，124822 ,，211.8410， 6412,17千粒麦子重约40g ，则这些麦子的总质量约为7.36×g，约合7360多亿吨( 10根据统计资料显示，全世界小麦的年产量约为6亿吨，就是说全世界都要1000多年才能生产这么多小麦，国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢 思考 ，已知几个量，就可以确定其它量, 对于等比数列的相关量aqnaS,1nn在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有五个量，知道其中aqnaS,1nn任意三个量，都可以求出其余两个量(“知三求二”)。 【例1】求下列等比数列前8项的和: 111，;(1) 2481aaq,270.,(2) 19243【思路】先利用通项公式求出公比，再根据前n项和求解. 【解答】 11aq,所以 (1)因为12211，81(),25522， S,;812561,21aa,27,(2)由可得 1924318=27q. 2431q,又由，可得. q,038，1,271,3,1640,，所以， S,.8181,1,3,nadaS,【反思】结合等比数列的通项公式和前n项和公式，如果已知中三个，通过1nn解方程或方程组就可以求出其余两个元素. 【例2】某商场今年销售计算机5000台.如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10,，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位), 【思路】由题意可知，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，每年的销售量组成一个等比数列，总销售量则为等比数列的前n项和. 【解答】根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同.所以，从今年起，每年的销售an量组成一个等比数列，其中 aqS,，,5000,1101.1,30000.,1n n5000111(.),30000. 于是得到111,.n整理，得 1116.,两边取对数，得 nlg.lg.1116,lg.16020用计算器算得 n,5.lg.110041答:大约5年可以使总销售量达到30000台. 【反思】先根据等比数列的前n项和公式列方程，再用对数的知识解方程. 【解疑释惑 促进理解】 难点一、如何选择等比数列的求和公式 Sna,当q,1时，利用n11.求和; naq(1),1S,naqq与(1),1,q12.已知n，时，用 求和; aaq,1nS,naaqq,(1),1,q1n3.已知时，用求和. q=1 在计算等比数列的前n项和时，总是忘记公比的情形。突破方法是明确等比数列的前n项和公式的推导过程，再就是注意经验的积累。 根据解题经验，在计算等比数列的前n项和时，首先考虑公比等于1的情形，否则易出错. 111,248【例题】(1)求等比数列的前8项和; 11aaq=1,=,=1nasnn162(2)已知等比数列中，求其前n项和; (3)设数列a是等比数列，其前n项和为Sn，且S,3a，求公比q的值( n33naq(1),1S,n1,q【思路】(1)可知首项与公比，直接利用公式进行求和; aaq,1nS,naaqq,(1),1,q1n(2)已知时，直接;利用进行求和; qq=1,1,(3)本题不知等比数列的公比是否为1，故对公比进行分类讨论:分两种情况. 【解答】 118(1-()1255822s=1-()=811a212256a=,q=,11-22a12(1)所以. (2) 111-，aaq-311621ns=.n11-16q1-2 (3)?当q,1时S,3a,3a符合题目条件, 3133a1,q12?当q?1时,3aq 11,q32因为a?0所以1,q,3q(1,q) 1因为q?1 22所以1,q?0化简得1，q，q,3q 1解得q,或q,1(舍) 21 综上q的值为1或,. 2【反思】在涉及的等比数列的求和时一定要根据题设条件合理选择所用公式，当公比无法确定是否为1时，应该进行讨论. 【指导运用 综合拓展】 【例题】 远望巍巍塔七层， , 红光点点倍加增， 其灯三百八十一， 请问尖头几盏灯, 这首古诗的答案是什么, 【思路】这首古诗前三句给大家展现了一幅美丽的夜景，最后一句把它变成了一个数学问题，考虑利用今天所学的知识求出这首古诗的答案. an 本题的数学模型为:已知等比数列，公比q=2 n=7，S=381求a 71【解答】设尖头有灯a盏，则由题意得: 177a,aqa,a,21111即,3811,q1,2 S= 7解得 a=3， 故尖头有灯3盏 1 【反思】本题巧妙的隐藏在一首古诗之中，求解的关键是准确转化为数学模型再进行求解. 【小结归纳 自主建构】 这节课我们学习了如下内容: 【反馈学习，查缺补漏】 这节课我们学习了等比数列的前n项和公式以及公式的推导方法-错位相减法. 下一节课，我们要继续学习等比数列的前n项和的一些性质以及常见的一些求和方法，请大家预习课时详解第十八课时，并思考下列问题: 等比数列的前n项和有哪些性质,数列的求和方法还有哪些, nn aqaq(1)(1),应 11S等比数列 ,nq,1用 错 11,qq数 位 等比数列 aaq,列 1n相 Sn,前n项和 求 1q减 ,和 法 Sna,n 1q,1本课后收集有关等比数列的求和公式的资料并阅读。 【阅读延伸，开阔视野】 1、等比数列前n项和公式推导方法一: 21n,Saaqaqaq,，n111122n, (),，aqaaqaqaq11111(),，,，,aqSaqSa111nnn,(1),qSaqa整理为， nn1aqa,1n.?当时，; S,q,1n1,qaaa,Sna,.?当时，则 q,112nn12、等比数列前n项和公式推导方法二: aaa3n2， 由等比数列的定义，得,qaaa,121naaa，Sa,23nn1运用分式的性质，即， ,q,qaaa，Sa,121nnnaqa,1n.?当时，S, q,1n1,qaaa,Sna,.?当时，则 q,112nn1naq (1) ,1,综上:n S,aq(1),n1(1)q,1,q,课时作业 【教材作业】 习题2.5 A组 1.【解答】【基础】【容易】【等比数列的求和】 【思路】直接利用等比数列的通项公式以及求和公式求解. 【解答】 11as=1,=4,3322解法二:因为 11asa=1,=3=4,131q=122当时，符合题意; q1,当时，由等比数列的通项公式及求和公式得， 1,2aq=1,1,2,3a(1-q)11,=4,1-2q, 31-q=3,32322222q-3+1=0,q2q-2-q+1=0,q(2q-1)(q-1)=0,qqq(1-)两式作商，得即即所以又112q=-aq=11a=6.q1,122，所以，代入得 11a=1,=1qa=6,q=-1122综上可得或. saaa=+3123【反思】第二小题的解法一直接利用了及等比数列的通项公式避免了对公比是否为1的讨论. 2.【解答】【基础】【容易】【等比数列求和的应用】 1381.1，【思路】每年的年产值构成一个以为首项，以1.1为公比的等比数列，问题是求解其前5项的和. 【解答】 【反思】本题要求的是“今后5年”的总产值不包括去年的138万元. 3.【解答】【巩固】【中档】【等比数列求和的应用】 12【思路】10个正方形的面积构成以4为首项为公比的等比数列，分别利用通项公式以及求和公式进行求解即可. 【解答】 aaq-110s=10a1-q10【反思】由于,1,中已经求出，故可以利用求和公式进行求和. 5.【解答】【巩固】【中档】【等比数列求和的应用】 12【思路】由题意球每次弹起的高度构成以50为首项为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式进行求解即可. 【解答】 【反思】在求解过程中要特别注意:最初球是从100米高处落下的故球第一次着地时经过的路程为100米,其次从球再次落地时每次所经过的路程是一个来回-弹上再落下. 6.【解答】【巩固】【中档】【等比数列求和的应用】 s,s,s396【思路】根据成等差数列，利用等差中项以及等比数列的求和公式得到公比q,a,a,a2a=+aa285825再利用等比数列的通项公式表示出，证明即可. 【解答】 633a,a,a2q=1+qq285【反思】在得到后可以解出，代入亦可得证. B组 1.【解答】【巩固】【中档】【等比数列的求和】 na【思路】观察恒等式的结构形式考虑从左端入手将恒等式的左端提取出，剩余ba各项构成以1为首项，为公比的等比数列，利用求和公式进行计算即可得到右端. 【解答】 abn()nbba【反思】本题还可以从左端提取出，剩余各项构成以为首项，为公比的等比数列，利用求和公式进行计算即可得到右端. 3.【解答】【巩固】【中档】【等比数列求和的应用】 【思路】每年的回收量构成以100为首项1.2为公比等比数列利用等比数列的通项公式以及求和公式即可求解. 【解答】 【反思】以2002年的回收量作为数列首项2010年的回收量应该是数列的第8项要注意把数列的项数计算准确. 4.【解答】【巩固】【中档】【等比数列求和的应用】 【思路】结合题目要求以及相应的数学模型进行解答. 【解答】(1)解:因为三年期整存整取存款年利率为2.52%，月利率为0.21%，故依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期一次可支取本息共 (50，50，36)，36×0.21%+1 800,1 869.93(元 2因为五年整存整取存款年利率为2.79%，月利率为0.232 5%，故依教育储蓄的方式，若每月存入每月存50元，连续存6年，到期一次可支取本息共 (50，50，72)，72×0.232 5%+3 600,3 905.50(元 2(2)每月存入每月存a元，连续存3年，到期一次可支取本息共 (a，a，36)，36×0.21%+36a(元 2若每月存入每月存a元，连续存6年，到期一次可支取本息共 (a，a，72)，72×0.232 5%+72a(元 2(3)因为三年期零存整取存款年利率为1.89%，月利率为0.157 5%，故每月存50元，连续存3年，到期一次可支取本息共 (50，50，36)，36×0.157 5%×80%+1 800=1 841.96(元 2比教育储蓄的方式少收益27.97(元 (4)设每月应存入x元，由教育储蓄的计算公式得 (x，x，36)，36×0.21%+36x,10 000 2解得x?267.39(元)，即每月应存入267.39(元 (5)设每月应存入x元，由教育储蓄的计算公式得 (x，x，36)，36×0.21%+36x,10 000a 210000a解得x= =267.39a，即每月应存入267.39a(元 37.3986(6)根据银行出台的教育储蓄管理办法，需要提前支取的，在提供证明的情况下，按实际存期和开户日同期同档次整存整取定期储蓄存款利率计付利息，并免征储蓄存款利息所得税.故该学生支取时，应按照三年期整存整取存款年利率为2.52%，月利率为0.21%进行计算.由计算公式得 (100，100，48)，48×0.21%+4 800,5 046.96(元 2(7)与第6小题类似，应根据实际存期进行同档次计算 一到两年的按一年期整存整取计息.一年期整存整取存款年利率为1.98%，月利率为，故当b=1或2时，由计算公式得 (a，a，12b)，12b×0.165%+12ab(元 2当b=3或4或5时，应按照三年期整存整取存款年利率为2.52%，月利率为0.21%进行计算.根据计算公式得 (a，a，12b)，12b×0.21%+12ab(元 2(8)此题可以选择多种储蓄方式，学生可能提供多个结果，只要他们计算方式符合规定的储蓄方式即可.教师可以组织学生讨论，然后选择一个最佳答案 【反思】 【补充作业】 1.在等比数列a中a,2，前n项和为S，若数列a，1也是等比数列，则S等于( ) n1nnn，n1nA(2,2 B(3n C(2n D(3,1 【思路】利用等差、等比数列的特点考虑只能为a为常数列从而容易得解. n【解答】要a是等比数列a，1也是等比数列则只有a为常数列故S,nannnn1,2n. 答案:C 【反思】抓住只有常数列有此性质是本题的关键也是技巧,否则逐一验证问题运算量就较大( 2.某人为了观看2012年奥运会，从2005年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2012年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为( ) 7A(a(1，p) 8B(a(1，p) a7C.(1，p),(1，p) pa8D.(1，p),(1，p) p7 【思路】从2005年起每年存入的a元到2012年所得的本息和构成以a(1，p)为首项，11+p以为公比的等比数列.所求取回的钱的总数即为该数列前7项的和. 7 【解答】选D.2005年存入的a元到2012年所得的本息和为a(1，p)，2006年存入的a6元到2012年所得的本息和为a(1，p)，依此类推，则2011年存入的a元到2012年的本息和为a(1，p)，每年所得的本息和构成一个以a(1，p)为首项，1，p为公比的等比数列，则7ap(1+)1-(1+p)a2781-(1+p)到2012年取回的总额为a(1，p)，a(1，p)，a(1，p),=(1，p)p,(1，)( p11+p【反思】本题中每年存入的a元到2012年所得的本息和构成的数列公比为，考虑1+p到在计算过程中比较麻烦，故求和时可以看成是以a(1，p)为首项，为公比的思路求和. 3.一个正整数数表如下(表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍): 第1行 1 第2行 2 3 第3行 4 5 6 7 则第9行中的第4个数是( ) A(132 B(255 C(259 D(260 【思路】观察表格中的数据特点可知每行中的第一个数构成以1为首项公比为2的等比数列从而问题就容易解决了. 【解答】由数表知表中各行数的个数构成一个以1为首项公比为2的等比数列(前88,21行数的个数共有,255(个)故第9行中的第4个数是259. 答案:C. 1,2【反思】有关表格类的数字信息问题关键是根据数据信息寻找数字特征发现一定规律性进而进行求解. 4.设等比数列a的前n项和为S，若a,1，S,4S，则a,_. nn1634【思路】直接利用等比数列的求和公式进行求解. 【解答】由题意知a的公比q不为1， n63aa(1-q)(1-q)11=4，31-q1-q又由S,4S得，解得q,3， 633?a,aq,1?3,3. 41答案:3 【反思】注意首项判断等比数列的公比是否为1，然后再选择合理的公式进行求解. 5.a是等比数列，前n项和为S，S,7，S,91，则S,_. nn264aq1【思路】由S,7，S,91利用求和公式列出关于首项和公比的方程组，解得和，26再由求和公式得到S的值. 4【解答】由题意知，公比不等于1，设数列a的公比为q n?S,7S,91. 26,a，a,712,? a，a，a，a，a，a,91,123456,a，a,712,? 24 7，7q，7q,91,422?q，q,12,0?q,3. 4(1,q)a122,a?S,(1，q)(1，q),(a，aq)(1，q),28. 41111,q答案:28 【反思】应用求和公式时要准确的表示公式中的每个量;当公比为参变量时需要对其进行讨论. 6.求等比数列1，2，4，从第5项到第10项的和. 【思路】第5项到第10项的和即前10项的和减去前4项的和. 【解答】由 a,1,a,2 得q,2121041，(1,2)1，(1,2)， S,1023？S,151041,21,2从第5项到第10项的和为S-=1008 S104【反思】本题还可以根据等比数列的性质:等比数列1，2，4，从第5项到第10项仍然a=165构成等比数列，该数列以为首项，2为公比，直接利用求和公式求解. 7.画一个边长为2cm的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形， 依次类推. ?若一共画了7个正方形，求第7个正方形的面积; 31?若已知所画正方形的面积和为，求一共画了几个正方形，及所画的最后一个正方形的4面积。 12 【思路】每个正方形的面积构成以4 为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式以及通项公式求解即可. 1aq,4 【解答】由题意得:每个正方形的面积构成等比数列，且 1216n,7？,aaq(1) 7116n,1,1,4a,n,2n-1,aaq,n1n,5,n,，n1, (2) ,aq1,1，,411,a,S,n,2,n,31,，,41,q,14,1,212cm答:(1)第七个正方形的面积是。 1612cm (2)一共测了5个正方形，所画的最后一个正方形的面积是。 4【反思】注意正确利用求和公式和通项公式，求和公式中公比的幂指数为n，通项公式中公比的幂指数为n-1. 8. 一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人,最快几小时全球(67.6亿)人都知道这个消息, 【思路】由题意知每个小时新得知该信息的人数构成以1为首项，2为公比的等比数列，n个小时后知道该信息的人数即为该数列前n项的和. 【解答】根据题意可知，获知此信息的人数成首项的等比数列 a,1,q,21241,224则:一天内获知此信息的人数为: S,2,1,16777215(人)241,25.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45°、135°、225°。321,232? S,2,1,4294967295(人)321,2弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.331,233 S,2,1,8589934591(人)331,2?最快33个小时全球人都知道这个消息。 【反思】本题要注意n个小时后知道该信息的人数即为该数列前n项的和，而不是该数列的第n项. (5)直角三角形的内切圆半径【预习作业】 下一节课，我们要继续学习等比数列的前n项和的一些性质以及常见的一些求和方法，请大家预习课时详解第十八课时，并思考下列问题: tanA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，tanA的值越大。等比数列的前n项和有哪些性质,数列的求和方法还有哪些, 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.【答案】1、等比数列前n项和性质: (5）切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.na,S,Aq，B(1)是等比数列其中. A,0,q,1,A，B,0nn，SS,0SSSSSkN,(),(2)为等比数列的前n项和, ，则是等比nnkkkkk232数列( 一年级数学下册教材共六个单元和一个总复习，分别从数与代数、空间图形、实践活动等方面对学生进行教育。，SS(3)在等比数列中,若项数为2nnN(),与分别为偶数项和与奇数项和,则偶奇二次方程的两个实数根S偶,q. S奇10、做好培优扶差工作，提高数学及格率，力争使及格率达95%。2.数列求和的常用方法:公式法，错位相减法，分组求和法，裂项法，倒序相加法. 7、课堂上多设计一些力所能及的问题，让他们回答，并逐步提高要求。