最新新课程高中数学必修五教案《等比数列的前n项和(一)》名师优秀教案.doc
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1、新课程高中数学必修五教案等比数列的前n项和(一)第二章 数列 2.5等比数列的前n项和 (第一课时) 【创设情景 引入新知】 陛下,赏小 你想得到 人一些麦粒就可以。 什么样的 赏赐, 传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨班达依尔,舍罕王为了表彰他的功绩,准备进行奖赏( 问他想要什么.发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,在第2个格子里放上2颗麦粒,在第3个格子里放上4颗麦粒,在第4个格子里放上8颗麦粒,依次类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子.”这是一个什么数学问题,国王能满足他的要求吗, 陛下国库里的 麦子不够啊 由于每格的麦粒数都是前一格
2、的2倍,共有64格每格所放的麦粒数依次为:236312222,.这是一个以1为首项, 2为公比的等比数列,麦粒的总数为: 要想知道国王能否满足发明者的要求,需要计算出麦粒总数.那么如何求这个等比数列的前64项的和呢,这就是这节课要学习的内容. 【探索问题 形成概念】 aaaa,一般地,对于等比数列它的前n项和是 123nS,a,a,a,?a n123nn,1aaq,根据,可将上式写成 n1221nn,Saaqaqaqaq,,? n11111用公比乘?的两边,可得 231nn,qSaqaqaqaqaq,,? n11111?与?相减,得 n()1,qSaaq 11nna(1,q)1S,?当时, q
3、,1n1,qaaq,n,11naaq,()1因为 ,所以上面的公式还可以写为Sq, n1n1,q当q,1等于多当q=1时,等比数列的前n项和sn少, 时,aaa,12n,则Sna,. n1naq (1) ,naq (1) ,11,n综上,等比数列的前项和公式为 nSS,或aaq,aq(1),nnn11(1) q,(1)q,1,q1,q,现在回到引言中的问题,用上述公式计算国王承诺奖赏的麦粒数 641(12),62636419S,,124822 ,,211.8410, 6412,17千粒麦子重约40g ,则这些麦子的总质量约为7.36g,约合7360多亿吨( 10根据统计资料显示,全世界小麦的年
4、产量约为6亿吨,就是说全世界都要1000多年才能生产这么多小麦,国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢 思考 ,已知几个量,就可以确定其它量, 对于等比数列的相关量aqnaS,1nn在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有五个量,知道其中aqnaS,1nn任意三个量,都可以求出其余两个量(“知三求二”)。 【例1】求下列等比数列前8项的和: 111,;(1) 2481aaq,270.,(2) 19243【思路】先利用通项公式求出公比,再根据前n项和求解. 【解答】 11aq,所以 (1)因为12211,81(),25522, S,;812561,21aa,27,(2)由可得 1924318=27q
5、. 2431q,又由,可得. q,038,1,271,3,1640,,所以, S,.8181,1,3,nadaS,【反思】结合等比数列的通项公式和前n项和公式,如果已知中三个,通过1nn解方程或方程组就可以求出其余两个元素. 【例2】某商场今年销售计算机5000台.如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10,,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位), 【思路】由题意可知,每年销售量比上一年增加的百分率相同,所以从第1年起,每年的销售量组成一个等比数列,总销售量则为等比数列的前n项和. 【解答】根据题意,每年销售量比上一年增加的百分率相同.所以,从今年起,每年的销
6、售an量组成一个等比数列,其中 aqS,,,5000,1101.1,30000.,1n n5000111(.),30000. 于是得到111,.n整理,得 1116.,两边取对数,得 nlg.lg.1116,lg.16020用计算器算得 n,5.lg.110041答:大约5年可以使总销售量达到30000台. 【反思】先根据等比数列的前n项和公式列方程,再用对数的知识解方程. 【解疑释惑 促进理解】 难点一、如何选择等比数列的求和公式 Sna,当q,1时,利用n11.求和; naq(1),1S,naqq与(1),1,q12.已知n,时,用 求和; aaq,1nS,naaqq,(1),1,q1n3
7、.已知时,用求和. q=1 在计算等比数列的前n项和时,总是忘记公比的情形。突破方法是明确等比数列的前n项和公式的推导过程,再就是注意经验的积累。 根据解题经验,在计算等比数列的前n项和时,首先考虑公比等于1的情形,否则易出错. 111,248【例题】(1)求等比数列的前8项和; 11aaq=1,=,=1nasnn162(2)已知等比数列中,求其前n项和; (3)设数列a是等比数列,其前n项和为Sn,且S,3a,求公比q的值( n33naq(1),1S,n1,q【思路】(1)可知首项与公比,直接利用公式进行求和; aaq,1nS,naaqq,(1),1,q1n(2)已知时,直接;利用进行求和;
8、 qq=1,1,(3)本题不知等比数列的公比是否为1,故对公比进行分类讨论:分两种情况. 【解答】 118(1-()1255822s=1-()=811a212256a=,q=,11-22a12(1)所以. (2) 111-,aaq-311621ns=.n11-16q1-2 (3)?当q,1时S,3a,3a符合题目条件, 3133a1,q12?当q?1时,3aq 11,q32因为a?0所以1,q,3q(1,q) 1因为q?1 22所以1,q?0化简得1,q,q,3q 1解得q,或q,1(舍) 21 综上q的值为1或,. 2【反思】在涉及的等比数列的求和时一定要根据题设条件合理选择所用公式,当公比
9、无法确定是否为1时,应该进行讨论. 【指导运用 综合拓展】 【例题】 远望巍巍塔七层, , 红光点点倍加增, 其灯三百八十一, 请问尖头几盏灯, 这首古诗的答案是什么, 【思路】这首古诗前三句给大家展现了一幅美丽的夜景,最后一句把它变成了一个数学问题,考虑利用今天所学的知识求出这首古诗的答案. an 本题的数学模型为:已知等比数列,公比q=2 n=7,S=381求a 71【解答】设尖头有灯a盏,则由题意得: 177a,aqa,a,21111即,3811,q1,2 S= 7解得 a=3, 故尖头有灯3盏 1 【反思】本题巧妙的隐藏在一首古诗之中,求解的关键是准确转化为数学模型再进行求解. 【小结
10、归纳 自主建构】 这节课我们学习了如下内容: 【反馈学习,查缺补漏】 这节课我们学习了等比数列的前n项和公式以及公式的推导方法-错位相减法. 下一节课,我们要继续学习等比数列的前n项和的一些性质以及常见的一些求和方法,请大家预习课时详解第十八课时,并思考下列问题: 等比数列的前n项和有哪些性质,数列的求和方法还有哪些, nn aqaq(1)(1),应 11S等比数列 ,nq,1用 错 11,qq数 位 等比数列 aaq,列 1n相 Sn,前n项和 求 1q减 ,和 法 Sna,n 1q,1本课后收集有关等比数列的求和公式的资料并阅读。 【阅读延伸,开阔视野】 1、等比数列前n项和公式推导方法一
11、: 21n,Saaqaqaq,,n111122n, (),,aqaaqaqaq11111(),,,,,aqSaqSa111nnn,(1),qSaqa整理为, nn1aqa,1n.?当时,; S,q,1n1,qaaa,Sna,.?当时,则 q,112nn12、等比数列前n项和公式推导方法二: aaa3n2, 由等比数列的定义,得,qaaa,121naaa,Sa,23nn1运用分式的性质,即, ,q,qaaa,Sa,121nnnaqa,1n.?当时,S, q,1n1,qaaa,Sna,.?当时,则 q,112nn1naq (1) ,1,综上:n S,aq(1),n1(1)q,1,q,课时作业 【教
12、材作业】 习题2.5 A组 1.【解答】【基础】【容易】【等比数列的求和】 【思路】直接利用等比数列的通项公式以及求和公式求解. 【解答】 11as=1,=4,3322解法二:因为 11asa=1,=3=4,131q=122当时,符合题意; q1,当时,由等比数列的通项公式及求和公式得, 1,2aq=1,1,2,3a(1-q)11,=4,1-2q, 31-q=3,32322222q-3+1=0,q2q-2-q+1=0,q(2q-1)(q-1)=0,qqq(1-)两式作商,得即即所以又112q=-aq=11a=6.q1,122,所以,代入得 11a=1,=1qa=6,q=-1122综上可得或.
13、saaa=+3123【反思】第二小题的解法一直接利用了及等比数列的通项公式避免了对公比是否为1的讨论. 2.【解答】【基础】【容易】【等比数列求和的应用】 1381.1,【思路】每年的年产值构成一个以为首项,以1.1为公比的等比数列,问题是求解其前5项的和. 【解答】 【反思】本题要求的是“今后5年”的总产值不包括去年的138万元. 3.【解答】【巩固】【中档】【等比数列求和的应用】 12【思路】10个正方形的面积构成以4为首项为公比的等比数列,分别利用通项公式以及求和公式进行求解即可. 【解答】 aaq-110s=10a1-q10【反思】由于,1,中已经求出,故可以利用求和公式进行求和. 5
14、.【解答】【巩固】【中档】【等比数列求和的应用】 12【思路】由题意球每次弹起的高度构成以50为首项为公比的等比数列,利用等比数列的求和公式进行求解即可. 【解答】 【反思】在求解过程中要特别注意:最初球是从100米高处落下的故球第一次着地时经过的路程为100米,其次从球再次落地时每次所经过的路程是一个来回-弹上再落下. 6.【解答】【巩固】【中档】【等比数列求和的应用】 s,s,s396【思路】根据成等差数列,利用等差中项以及等比数列的求和公式得到公比q,a,a,a2a=+aa285825再利用等比数列的通项公式表示出,证明即可. 【解答】 633a,a,a2q=1+qq285【反思】在得到
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