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初中数学复习提纲初中数学复习提纲 2(非负数:正实数与零的统称。(表为:x?0) 第一章 实数 常见的非负数有: 2?重点? 实数的有关概念及性质，实数的运算 a(a为一切实数) ?内容提要? ?a? 一、重要概念 a(a?0) 1(数的分类及概念 性质:若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。 数系表: 3(倒数: ?定义及表示法 正整数 ?性质:A.a?1/a(a?1);B.1/a中，a?0;C.00 整数 (有限或无限循环性数) 有理数 负整数 ,a,1时1/a,1;a,1时，1/a,1;D.积为1。 正分数 分数 4(相反数: ?定义及表示法 负分数 实数 ?性质:A.a?0时，a?-a;B.a与-a在数轴上的正无理数 位置;C.和为0,商为-1。 无理数(无限不循环小数) 负无理数 5(数轴:?定义(“三要素”) ?作用:A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意说明:“分类”的原则:1)相称(不重、不漏) 义;C.建立点与实数的一一对应关系。 2)有标准 6(奇数、偶数、质数、合数(正整数自然数) 定义及表示: 整数 奇数:2n-1 有理数 分数 偶数:2n(n为自然数) 正数 7(绝对值:?定义(两种): 无理数 代数定义: 实数 0 a(a?0) 整数 ?a?= 有理数 -a(a<0) 分数 负数 几何定义:数a的绝对值顶的几何意义是实数a无理数 在数轴上所对应的点到原点的距离。 ?重点?代数式的有关概念及性质，代数式的运算 ?a?0,符号“?”是“非负数”的标志;?内容提要? ?数a的绝对值只有一个;?处理任何类型的题目，只一、重要概念 要其中有“?”出现，其关键一步是去掉“?” 分类: 单项式 整式 符号。 多项式 有理式 分式代数式 二、实数的运算 无理式 样 1( 运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方) 2( 运算定律(五个加法乘法交换律、结合1.代数式与有理式 律;乘法对加法的 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代分配律) 数式。单独 3( 运算顺序:A.高级运算到低级运算;B.(同级的一个数或字母也是代数式。 运算)从“左” 整式和分式统称为有理式。 12.整式和分式 到“右”(如5?5);C.(有括号时)由“小”到“中”含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。 5到“大”。 没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理三、应用举例(略) 式叫做整式。 附:典型例题 有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。 1( 已知:a、b、x在数轴上的位置如下图，求证:?3.单项式与多项式 x-a?+?x-b? 没有加减运算的整式叫做单项式。(数字与字母的积包a x b =b-a. 括单独的一个数或字母) 几个单项式的和，叫做多项式。 说明:?根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据2.已知:a-b=-2且ab<0，(a?0，b?0)，判断a、b整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。?进行代数的符号。 式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如， 第二章 代数式 2 方数中不含有开得尽方的因数或因式。 2x2把分母中的根号划去叫做分母有理化。 =x,=?x?等。 xx9.指数 4.系数与指数 nn? 幂，乘方运算) (a a?aa=a区别与联系:?从位置上看;?从表示的意义上看 n个 5.同类项及其合并 条件:?字母相同;?相同字母的指数相同 合并依据:乘法分配律 nnn? a,0时，,0;?a,0时，,0(n是偶数)，aaa6.根式 表示方根的代数式叫做根式。 ,0(n是奇数) 含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。 0?零指数:a=1(a?0) 37、是根式，但不注意:?从外形上判断;?区别:,ppaa 负整指数:=1/(a?0,p是正整数) 是无理式(是无理数)。 7.算术平方根 二、运算定律、性质、法则 1(分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则 a?正数a的正的平方根(a?0与“平方根”的区别); 2(分式的性质 bmb?算术平方根与绝对值 ?基本性质:=(m?0) aam2a? 联系:都是非负数，=?a? b,bb,?符号法则: aa,aa中，a为非负数。 ?区别:?a?中，a为一切实数;?繁分式:?定义;?化简方法(两种) 8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化 3(整式运算法则(去括号、添括号法则) 化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同mnm，nmnm,naaaaaa4(幂的运算性质:?=;?=;类二次根式。 满足条件:?被开方数的因数是整数，因式是整式;?被开3 nbabaa11nmnnnmnn,?=;?=;? ;B.;C. A.aab(),(a)(ab)naabbama,nbba,ppn技巧: (),()11(科学记数法:(1?a,10,n是整数, a，10ab应用举例(略) 5(乘法法则:?单?单;?单?多;?多?多。 三、四、数式综合运算(略) 2226(乘法公式:(正、逆用) (a,b),a,2ab，b 第三章 统计初步 22 (a+b)(a-b)=a,b ?重点? ? 内容提要? 3322 (a?b)=a,b (a,ab，b)一、重要概念 7(除法法则:?单?单;?多?单。 1.总体:考察对象的全体。 8(因式分解:?定义;?方法:A.提公因式法;B.公式法;C.2.个体:总体中每一个考察对象。 十字相乘法;D.分组分解法;E.求根公式法。 3.样本:从总体中抽出的一部分个体。 4.样本容量:样本中个体的数目。 2a9(算术根的性质:,次数最多的数据。 5.众数:一组数据中，出现6.中位数:将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置2ab,a,ba;(a?0,b?(a),a(a,0)的一个数(或最中间位置的两个数据的平均数) 二、计算方法 aa10);(a?0,b,0)(正用、逆用) ,x,(x，x，？，x)1.样本平均数:?;?若b12nbn10(根式运算法则:?加法法则(合并同类二次根式);''''x,x，a，x,x,a,则(ax,x,ax,x,ann1122?乘、除法法则;?分母有理化:xxx常数，接近较整的常数a);?加权平均数:n124 ? 内容提要? xf，xf，？，xf1122kk一、直线、相交线、平行线 x,(f，f，？，f,n);?平均12kn 1(线段、射线、直线三者的区别与联系 数是刻划数据的集中趋势(集中位置)的特征数。通常用样本 从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估计越准确。 等方面加以分析。 2(样本方差:? 2(线段的中点及表示 13(直线、线段的基本性质(用“线段的基本性质”论证“三2222s,(x,x)，(x,x)，？，(x,x);?若n12角形两边之和大于第三边”) n4(两点间的距离(三个距离:点-点;点-线;线-线) ''',则x,x,ax,x,ax,x,ann11225(角(平角、周角、直角、锐角、钝角) 222216(互为余角、互为补角及表示方法 '''2's,(x，x，？，x),nx(a接近、xxn12127(角的平分线及其表示 n8(垂线及基本性质(利用它证明“直角三角形中斜边大于的平均数的较“整”的常数);若、较“小”xxxxnn12直角边”) 219(对顶角及性质 2222s,(x，x，？，x),nx较“整”，则;?样本方差n1210(平行线及判定与性质(互逆)(二者的区别与联系) n是刻划数据的离散程度(波动大小)的特征数，当样本容量较11(常用定理:?同平行于一条直线的两条直线平行(传大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差去估计总递性);?同垂直于一条直线的两条直线平行。 体方差。 12(定义、命题、命题的组成 13(公理、定理 2s,s 3(样本标准差:14(逆命题 三、应用举例(略) 二、三角形 分类:?按边分; 第四章 直线形 ?按角分 ?重点?相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、1(定义(包括内、外角) 判定、性质。 2(三角形的边角关系:?角与角:?内角和及推论;?外5 等边 等角 角和;?n边形内角和;?n边形外角和。?边与边:三角形两边?证线段倍分关系:加倍法、折半法 之和大于第三边，两边之差小于第三边。?角与边:在同一三?证线段和差关系:延结法、截余法 角形中， ?证面积关系:将面积表示出来 三、四边形 分类表: 大边 大角 1(一般性质(角) 小边 小角 ?内角和:360? ?顺次连结各边中点得平行四边形。 3(三角形的主要线段 推论1:顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。 讨论:?定义?线的交点三角形的?心?性质 推论2:顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩? 高线?中线?角平分线?中垂线?中位线 形。 ?一般三角形?特殊三角形:直角三角形、等腰三角形、?外角和:360? 等边三角形 2(特殊四边形 4(特殊三角形(直角三角形、等腰三角形、等边三角形、?研究它们的一般方法: 等腰直角三角形)的判定与性质 5(全等三角形 ?一般三角形全等的判定(SAS、ASA、AAS、SSS) 定义?性质?判定 ?特殊三角形全等的判定:?一般方法?专用方法 6(三角形的面积 ?一般计算公式?性质:等底等高的三角形面积相等。 对对边 面角 称积7(重要辅助线 角性 ?中点配中点构成中位线;?加倍中线;?添加辅助平行线 线 8(证明方法 轴中对心?直接证法:综合法、分析法 称对 ?间接证法反证法:?反设?归谬?结论 称 ?证线段相等、角相等常通过证三角形全等 6 3(对称图形 ?轴对称(定义及性质);?中心对称(定义及性质) ?平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定4(有关定理:?平行线等分线段定理及其推论1、2 义、性质和判定 ?三角形、梯形的中位线定理 ?判定步骤:四边形?平行四边形?矩形?正方形 ?平行线间的距离处处相等。(如，找下图中面积相等?菱形? 的三角形) ?对角线的纽带作用: 5(重要辅助线:?常连结四边形的对角线;?梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结相等且互相平分 矩形 顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。 垂直 相等 6(作图:任意等分线段。 四、应用举例(略) 互相平分 相等且互相垂直 四边形 平行四边形 正方形 第五章 方程(组) ?重点?一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法;相等 垂直 菱形 方程的有关应用题(特别是行程、工程问题) 互相垂直平分 ? 内容提要? 互相垂直平分且相等 一、基本概念 1(方程、方程的解(根)、方程组的解、解方程(组) 2( 分类: 一次方程 二次方程 整式方程 高次方程 有理方程 方程 分式方程 无理方程 二、解方程的依据等式性质 7 1(a=b?a+c=b+c 2。 一元二次方程是:x,mx，n,02(a=b?ac=bc (c?0) 三、解法 2225(常用等式: x，x,(x，x),2xx1212121(一元一次方程的解法:去分母?去括号?移项?合并同类项? 22 (x,x),(x，x),4xx121212系数化成1?解。 2( 元一次方程组的解法:?基本思想:“消元”?方法:五、可化为一元二次方程的方程 ?代入法 1(分式方程 ?加减法 ?定义 去分母 四、一元二次方程 ?基本思想: 分式方程 整式方程 21(定义及一般形式: ax，bx，c,0(a,0)?基本解法:?去分母法?换元法(如，3x,62x，22(解法:?直接开平方法(注意特征) ，,7) ?配方法(注意步骤推倒求根公式) x，1x,2?公式法:?验根及方法 2(无理方程 2,b,b,4ac2?定义 x,(b,4ac,0) 1,2乘方 2a?基本思想: 无理方程 有理方程 ?因式分解法(特征:左边=0) ?基本解法:?乘方法(注意技巧)?换元法(例，2,b,4ac3(根的判别式: 222x,9，17,x)?验根及方法 bcx，x,x,x,4(根与系数顶的关系: 12123(简单的二元二次方程组 aa由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次x，x,m,x,x,nx,x逆定理:若，则以为根的121212方程组都可用代入法解。 六、列方程(组)解应用题 8 ?概述 s,s，s;t,tAC乙乙(CB)甲甲(AB)列方程(组)解应用题是中学数学联系实际的一个重要方(甲)? 面。其具体步骤是: 若甲出发t小时后，乙才出发，A B 乙? (相遇处) ?审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是而后在B处追上甲，则 什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。 s,s;t,t，t乙乙甲甲?设元(未知数)。?直接未知数?间接未知数(往往二者兼用)。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。 ?水中航行:; v,船速，水速v,船速,水速顺逆?用含未知数的代数式表示相关的量。 ?寻找相等关系(有的由题目给出，有的由该问题所涉及2( 配料问题:溶质=溶液?浓度 的等量关系给出)，列方程。一般地，未知数个数与方程个数是 溶液=溶质+溶剂 相同的。 n,13(增长率问题: a,a(1,r)n1?解方程及检验。 ?答案。 4(工程问题:基本关系:工作量=工作效率?工作时间(常综上所述，列方程(组)解应用题实质是先把实际问题转把工作量看着单位“1”)。 化为数学问题(设元、列方程)，在由数学问题的解决而导致实5(几何问题:常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，际问题的解决(列方程、写出答案)。在这个过程中，列方程起相似形及有关比例性质等。 着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。 ?注意语言与解析式的互化 ?常用的相等关系 如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为(到)”、“同时”、“扩1( 行程问题(匀速运动) 大为(到)”、“扩大了”、 基本关系:s=vt 又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数C A B ?相遇问题(同时出字为c，则这个三位数为:100a+10b+c，而不是abc。 相遇处 ?乙 甲? 发): ?注意从语言叙述中写出相等关系。 如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x与y的差为3，则x-y=3。?注意单位换算 sst,ts+=; 乙乙甲AB甲如，“小时”“分钟”的换算;s、v、t单位的一致等。 ?追及问题(同时出发): 七、应用举例(略) C A B 乙? 甲? (相遇处) 9 第六章 一元一次不等式(组) ?重点?一元一次不等式的性质、解法 ? 内容提要? acma，c，？，ma,？,(b，d，？，n,0),等比性质:, 1( 定义:a,b、a,b、a?b、a?b、a?b。 bdnb，d，？，nb2( 一元一次不等式:ax,b、ax,b、ax?b、ax?b、ax ?b(a?0)。 3( 一元一次不等式组: 4( 不等式的性质:?a>b?a+c>b+c 涉及概念:?第四比例项?比例中项?比的前项、后?a>b?ac>bc(c>0) 项，比的内项、外项?黄金分割等。 ?a>b?ac<bc(c<0) 第二套: ?(传递性)a>b,b>c?a>c ?a>b,c>d?a+c>b+d. 平行线分线段应用于?中 推论 相似基本5(一元一次不等式的解、解一元一次不等式 成比例定理 (骨干定理) 定理 6(一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组(在数轴(基本定理) 判相上表示解集) ( 定似Rt? 7(应用举例(略) 定三第七章 相似形 推论的推论 理角定理3 ?重点?相似三角形的判定和性质 逆定理 形 ?内容提要? 定理2 一、本章的两套定理 定理1 第一套(比例的有关性质): 推论 bd,反比性质: acdcabac,或,更比性质: ,ad,bc, bacdbda,bc,d(比例基本定理) ,合比性质: 10 bd''amcmmm'' ,m,mn,n或, ?,(,)''bndnnn 3(添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。 4(对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。 5(对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形(或基本图形)“抽”出来的办法处理。 五、应用举例(略) 第八章 函数及其图象 注意:?定理中“对应”二字的含义; ?重点?正、反比例函数，一次、二次函数的图象和性质。 ?平行?相似(比例线段)?平行。 ? 内容提要? 二、相似三角形性质 一、平面直角坐标系 1(对应线段;2(对应周长;3(对应面积。 1(各象限内点的坐标的特点 三、相关作图 2(坐标轴上点的坐标的特点 ?作第四比例项;?作比例中项。 3(关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点 四、证(解)题规律、辅助线 4(坐标平面内点与有序实数对的对应关系 1(“等积”变“比例”，“比例”找“相似”。 二、函数 2(找相似找不到，找中间比。方法:将等式左右两边1(表示方法:?解析法;?列表法;?图象法。 amcmm2(确定自变量取值范围的原则:?使代数式有意义;?使,(为中间比)的比表示出来。? 实际问题有 bndnnamcm意义。 ',n,n? '3(画函数图象:?列表;?描点;?连线。 bndn三、几种特殊函数 (定义?图象?性质) 11 1( 正比例函数 2开口方向，再对称地描点)。用配y,ax，bx，c(a,0)?定义:y=kx(k?0) 或y/x=k。 ?图象:直线(过原点) 2，则顶点为(h,k);对方法变为y,a(x,h)，k(a,0)?性质:?k>0，?k<0， 2( 一次函数 称轴为直线x=h;a>0时，开口向上;a<0时，开口向下。 ?定义:y=kx+b(k?0) ?性质:a>0时，在对称轴左侧，右侧;a<0时，在对?图象:直线过点(0,b)与y轴的交点和(-b/k,0)称轴左侧，右侧。 4.反比例函数 与x轴的交点。 k,1y,kx?定义:或xy=k(k?0)。 y y y y x?图象:双曲线(两支)用描点法画出。 ?性质:?k>0时，图象位于，y随x;?k<0时，图象o o o o x x x x 位于，y随x;?两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。 (k>0,b>0) (k<0,b>0) (k>0,b<0) (k<0,b<0) 四、重要解题方法 ?性质:?k>0,?k<0, 1( 用待定系数法求解析式(列方程组求解)。对求二次?图象的四种情况: 函数的解析式，要合理选用一般式或顶y 3( 二次函数 点式，并应充分运用抛物线关于对称轴X=2 对称的特点，寻找新的点的坐标。如下2(-1,5) ?定义: y,ax，bx，c(a,0)(一般式)图: 2(利用图象一次(正比例)函数、反比例2 y,a(x,h)，k(a,0)(顶点式)o x 函数、二次函数中的k、b;a、b、c的符号。 六、应用举例(略) 22求解析式? 特殊地，都是二次函y,ax(a,0),y,ax，k(a,0) 数。 ?图象:抛物线(用描点法画出:先确定顶点、对称轴、第九章 解直角三角形 12 ?重点?解直角三角形 1( 俯、仰角: 2(方位角、象限角: 3(坡度: ? 内容提要? 北 i 一、三角函数 h 仰角 西 东 1(定义:在Rt?ABC中，?C=Rt?，则 俯角 l sinA= ;cosA= ;tgA= ;ctgA= . i=h/l=tg 南 2( 特殊角的三角函数值: 4(在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可 0? 30? 45? 60? 90? 用列方程的办法解决。 sin 四、应用举例(略) 第十章 圆 cos ?重点?圆的重要性质;?直线与圆、圆与圆的位置关系; ?与圆有关的角的定理;?与圆有关的比例线段tg / 定理。 ctg / ? 内容提要? 一、圆的基本性质 3( 互余两角的三角函数关系:sin(90?-)=cos; 1(圆的定义(两种) 4( 三角函数值随角度变化的关系 2(有关概念:弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;5(查三角函数表 弦心距;等圆、同圆、同心圆。 二、解直角三角形 点在圆内 <=> d<r;3(“三点定圆”定理 1( 定义:已知边和角(两个，其中必有一边)?所有未知4(垂径定理及其推论 的边和角。 4.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。5(“等对等”定理及其推论 222a，b,c2( 依据:?边的关系: 5( 与圆有关的角:?圆心角定义(等对等定理) ?圆周角定义(圆周角定理，与圆心?角的关系:A+B=90? 角的关系) ?边角关系:三角函数的定义。 ?弦切角定义(弦切角定理) 注意:尽量避免使用中间数据和除法。 设O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；d<r <=> 直线L和O相交.二、直线和圆的位置关系 三、对实际问题的处理 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作O，读作“圆O”13 1.三种位置及判定与性质: 4.正多边形及计算 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.360:d>R 直线与圆相离 中心角: ,2,(右图)n nd=R 直线与圆相切 (n,2)180:1 d<R 直线与圆相交 ,，内角的一半:(右图) , n22.切线的性质(重点) (解Rt?OAM可求出相关元素,、等) SPnn3.切线的判定定理(重点)。圆的切线的判定有? 4(切线长定理 六、一组计算公式 弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.三、圆换圆的位置关系 1.圆周长公式 1.五种位置关系及判定与性质:(重点:相切) 2.圆面积公式 3.扇形面积公式 d>R+r 外离 4.弧长公式 d=R+r 外切 1、认真研读教材，搞好课堂教学研究工作，向课堂要质量。充分利用学生熟悉、感兴趣的和富有现实意义的素材吸引学生，让学生主动参与到各种数学活动中来，提高学习效率，激发学习兴趣，增强学习信心。提倡学法的多样性，关注学生的个人体验。5.弓形面积的计算方法 A R-r<d<R+r 相交 6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关d=R-r 内切 计算 d<R-r C D 内含 P O 七、点的轨迹 2.相切(交)两圆连心线的性质定理 六条基本轨迹 3.两圆的公切线:?定义?性质 八、有关作图 B tanA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，tanA的值越大。四、与圆有关的比例线段 1.作三角形的外接圆、内切圆 1.相交弦定理 2.平分已知弧 2.切割线定理 3.作已知两线段的比例中项 五、与和正多边形 4.等分圆周:4、8;6、3等分 O 1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形) 九、基本图形 2.三角形的外接圆、内切圆及性质 3.圆的外切四边形、内接四边形的性质 A B M 推论2:直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；14 十、重要辅助线 8.解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形（须知一条边）。1.作半径 2.见弦往往作弦心距 3.见直径往往作直径上的圆周角 4.切点圆心莫忘连 5.两圆相切公切线(连心线) 6.两圆相交公共弦 十一、应用举例(略) 15