2019版高考数学一轮总复习第九章解析几何题组训练66双曲线二理20180515467.wps

题组训练 6666 双曲线（二） x2 y2 x y 1已知集合 A(x，y)| 1，x，yR R，B(x，y)| 1，x，yR R，则 AB 中 9 4 3 2 元素的个数为( ) A0 B1 C2 D3 答案 B x y 解析 集合 A 表示双曲线，顶点为(±3，0)，其渐近线方程为 ± 0，集合 B 表示直线，与 3 2 x 轴的交点为(3，0)，且与其中一条渐近线平行，与双曲线有且只有一个交点，所以 AB 中 元素的个数为 1.故选 B. 2直线 l 过点( 2，0)且与双曲线 x2y22 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 答案 C 解析 该点为双曲线的顶点，与双曲线相切的直线有一条，与渐近线平行的直线有两条，共 3 条 x2 3已知 F1，F2是双曲线 y21 的左、右焦点，P，Q 为右支上的两点，直线 PQ 过 F2且倾斜 2 角为 ，则|PF1|QF1|PQ|的值为( ) A8 B2 2 C4 2 D随 的大小而变化 答案 C 解析 由双曲线定义知： |PF1|QF1|PQ|PF1|QF1|(|PF2|QF2|)(|PF1|PF2|)(|QF1|QF2|)4a 4 2. 4已知双曲线 E 的中心为原点，F(3，0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点， 且 AB 的中点为 M(12，15)，则 E 的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. 1 B. 1 3 6 4 5 x2 y2 x2 y2 C. 1 D. 1 6 3 5 4 答案 B x2 y2 解析 由已知易得 l 的斜率为 kkFM1.设双曲线方程为 1(a0，b0)，A(x1，y1)， a2 b2 1 x12 y12 1， a2 b2 y1y2 4b2 B(x2，y2)，则有1，)两式相减并结合 x1x224，y1y230，得 ， x22 y22 x1x2 5a2 a2 b2 4b2 从而 1，即 4b25a2.又 a2b29，解得 a24，b25，故选 B. 5a2 y2 5(2017·山东师大附中模拟)过双曲线 x2 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A，B 两点， 3 则满足|AB|6 的直线 l 有( ) A4 条 B3 条 C2 条 D1 条 答案 B 解析 当直线 l 的倾斜角为 90°时，|AB|6；当直线 l 的倾斜角为 0°时，|AB|20)上，将点 A 的坐标代入得 a2，所以 C 的实轴长为 4. x2 y2 7(2018·河北石家庄摸底)已知 F1，F2分别为双曲线 C： 1(a0，b0)的左、右焦点， a2 b2 过 F1的直线 l 与双曲线 C 的左、右两支分别交于 A，B 两点，若|AB|BF2|AF2| 51213，则双曲线的离心率为( ) A. 13 B. 41 C. 15 D. 3 答案 B 解析 设|AF1|t，|AB|5x，则|BF2|12x，|AF2|13x，根据双曲线的定义，得|AF2|AF1| 2 20 |BF1|BF2|2a，即 13xt(5xt)12x2a，解得 t10x，x a，即|AF1| a，|AF2| 3 3 26 a.|AB|BF2|AF2|51213，ABF2是以 B 为直角的三角形|BF1|t5x 3 2 2 10x5x15x15× a10a，|BF2|12x12× a8a，则|BF1|2|BF2|2|F1F2|2，即 100a2 3 3 c 64a24c2，即 164a24c2，则 41a2c2，即 c 41a，因此，该双曲线的离心率 e 41. a 故选 B. 2 y2 8已知直线 ykx1 与双曲线 x2 1 交于 A，B 两点，且|AB|8 2，则实数 k 的值为( ) 4 A± 7 B± 3 或± 41 3 C± 3 D± 41 3 答案 B y2 解析 由直线与双曲线交于 A，B 两点，得 k±2.将 ykx1 代入 x2 1 得(4k2)x22kx 4 2k 50，则 4k24(4k2)×50，k20，解得 b . 2 2 y2 x2 14(2018·重庆第八中学一调)已知曲线 1(a·b0 且 ab)与直线 xy20 相交 b a 1 1 于 P，Q 两点，且OP·OQ0(O 为坐标原点)，则 的值为_ b a 1 答案 2 4 y2 x2 1， yx2，) 解析 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，OP·OQ0，OPOQ，x1x2y1y20.由 b a 消 去 y，得(ab)x24ax4aab0，当 (4a)24(ab)(4aab)4ab(a4b)0时， 4a 4aab 4aab x1x2 ，x1x2 ，则 y1y2(x12)(x22)x1x22(x1x2)4 ab ab ab 8a 4aab 4aab 8a 1 1 1 4.由 x1x2y1y20，得 40，化简得 . ab ab ab ab b a 2 y2 15(2018·山东寿光一中月考)设 F1，F2是双曲线 x2 1 的两个焦点，P 是双曲线上一点， 3 若 3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积是_ 答案 3 15 4 解析 设|PF1|m，|PF2|n，因为 3|PF1|4|PF2|，所以 3m4n，即 m n.根据双曲线的定 3 m2n2（2c）2 义可知 mn2，解得 n6，m8.在PF1F2中，由余弦定理，得 cosF1PF2 2mn 7 15 1 1 15 ，所以 sinF1PF2 ，所以PF1F2的面积为 S mnsinF1PF2 ×6×8× 3 . 15 8 8 2 2 8 8 3 16求两条渐近线为 x2y0 和 x2y0 且截直线 xy30 所得的弦长为 的双曲线的 3 方程 x2 答案 y21 4 1 解 析 渐近线方程为 y± x， 2 x2 y2 x2 y2 1， 4m mxy30.) 可设双 曲线方程为 1，则 4m m 可得 3x224x364m0， 364m x1x28，x1x2 . 3 由弦长公式|AB| 1k2· （x1x2）24x1x2，得 4816m |AB| 2· . 3 8 3 又|AB| ，m1. 3 x2 双曲 线方程为 y21. 4 17已知点 M(2，0)，N(2，0)，动点 P 满足条件|PM|PN|2 2，记动点 P 的轨迹为 W. (1)求 W 的方程； 5 (2)若 A 和 B 是 W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA·OB 的最小值 x2 y2 答案 (1) 1(x 2) (2)2 2 2 解析 (1)由|PM|PN|2 2知动点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长 a 2. 又焦距 2c4，所以虚半轴长 b c2a2 2. x2 y2 所以 W 的方程为 1(x 2) 2 2 (2)设 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2) 当 ABx 轴时，x1x2，y1y2， 从而OA· x1x2y1y2x12y122. OB 当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 ykxm(k±1)，与 W 的方程联立，消去 y 得(1 k2)x22kmxm220， 2km m22 则 x1x2 ，x1x2 ， 1k2 k21 所以OA·OBx1x2y1y2 x1x2(kx1m)(kx2m) (1k2)x1x2km(x1x2)m2 （1k2）（m22） 2k2m2 m2 k21 1k2 2k22 4 2 . k21 k21 又因为 x1x20，所以 k210. 所以OA·OB2. 综上所述，当 ABx 轴时，OA·OB 取得最小值 2. 6 25 6 1 18(2017·河南安阳调研)已知圆 C1：(x )2y2 ，圆 C2：(x )2y2 ，动圆 P 与 2 8 2 8 已知两圆都外切 (1)求动圆的圆心 P 的轨迹 E 的方程； (2)直线 l：ykx1 与点 P 的轨迹 E 交于不同的两点 A，B，AB的中垂线与 y 轴交于点 N，求 点 N 的纵坐标的取值范围 3 答案 (1)2x2y21(x0) (2)( ， ) 2 6 5 2 6 2 解析 (1)已知两圆的圆心、半径分别为 C1( ，0)，r1 ；C2( ，0)，r2 . 2 4 2 4 6 5 2 2 设动圆 P 的半径为 r，由题意知|PC1|r ，|PC2|r ， 4 4 则|PC1|PC2| 20) (2)将直线 ykx1 代入双曲线方程，并整理，得(k22)x22kx20. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点为 M(x0，y0)， 依题意，直线 l 与双曲线的右支交于不同两点，故 k22 0， （2k）28（k22） 0， 2k 0. ) x1x2 x1x2 0， 所以20)，x0 m，y0x0m2m，点 M(x0，y0) 2 在圆 x2y25 上，m2(2m)25，m±1. x2 y2 2已知双曲线 1 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2的直线与该双曲线的右支交于 A， 16 9 B 两点，若|AB|5，则ABF1的周长为( ) A16 B20 C21 D26 答案 D 7 x2 y2 解析 由双曲线 1，知 a4.由双曲线定义|AF1|AF2|BF1|BF2|2a8， 16 9 |AF1|BF1|AF2|BF2|1621，所以ABF1的周长为|AF1|BF1|AB|21526. x2 y2 1 3(2017·南昌第一次模拟)双曲线 1(b0，a0)与抛物线 y x2有一个公共焦点 b2 a2 8 2 3 F，双曲线上过点 F 且垂直于 y 轴的弦长为 ，则双曲线的离心率等于( ) 3 2 3 A2 B. 3 3 2 C. D. 2 3 答案 B 3 解析 双曲线与抛物线 x28y 的公共焦点 F 的坐标为(0，2)，由题意知点( ，2)在双曲线上， 3 a2b24， c 2 3 于是 1 1，)得 a 23，故 e ，故选 B. 4 a 3 3b2 a2 y2 4(2015·四川，理)过双曲线 x2 1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条 3 渐近线于 A，B 两点，则|AB|( ) 4 3 A. B2 3 3 C6 D4 3 答案 D y2 解析 双曲线 x2 1 的右焦点坐标为(2，0)，渐近线方程为 y± 3x，由题意知 A(2， 3 2 3)，B(2，2 3)或 A(2，2 3)，B(2，2 3)，所以|AB|4 3，故选 D. x2 y2 5(2018·陕西质检)双曲线 1 的两条渐近线与直线 x1 围成的三角形的面积为 4 12 _ 答案 3 2 6(2017·山东潍坊质检)设双曲线 x2y21 的两条渐近线与直线 x 围成的三角形区域(包 2 含边界)为 D，点 P(x，y)为 D 内的一个动点，则目标函数 zx2y的最小值为_ 答案 2 2 yx， yx， yx， 解析 双曲线 x2y21 的两条渐近线是 y±x，解方程组2 2 得 ，) ，)yx，) x x 2 2 8 2 2 2 2 2 2 2 到三角形区域的顶点坐标是 A( ， )，B( ， )，C(0，0)所以 zA 2× ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 zB 2×( ) ，zC0.所以目标函数 zx2y的最小值为 . 2 2 2 2 7双曲线 C：x2y21 的渐近线方程为_；若双曲线 C 的右顶点为 A，过 A 的直线 l 与双曲线 C 的两条渐近线交于 P，Q 两点，且PA2AQ，则直线 l 的斜率为_ 答案 x±y0，±3 解析 双曲线 C：x2y21 的渐近线方程为 x2y20，即 y±x；双曲线 C 的右顶点 A(1， xmy1， 0)，设 l：xmy1，联立方程，得x 2y20，)消去 x，得(m21)y22my10(*)，方程(*) 的根为 P，Q 两点的纵坐标，设 P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)PA2AQ，yP2yQ. 2m yPyQ ， 1m2 1 1 又，)解得 m± ，直线 l 的斜率为 ，即为 3 或3. 1 3 m yPyQ m21 x2 y2 8直线 l：y 3(x2)和双曲线 C： 1(a0，b0)交于 A，B 两点，且|AB| 3，又 l a2 b2 b 关于直线 l1：y x 对称的直线 l2与 x 轴平行 a (1)求双曲线 C 的离心率 e； (2)求双曲线 C 的方程 2 3 x2 答案 (1) (2) y21 3 3 x2 y2 x y 解析 (1)设双曲线 C： 1 过第一、三象限的渐近线 l1： 0 的倾斜角为 . a2 b2 a b 因为 l 和 l2关于 l1对称，记它们的交点为 P，l 与 x 轴的交点为 M. 而 l2与 x 轴平行，记 l2与 y 轴的交点为 Q. 依题意有QPOPOMOPM. 又 l：y 3(x2)的倾斜角为 60°，则 260°， b 3 所以 tan30° . a 3 c2 b2 1 4 于是 e2 1 1 ， a2 a2 3 3 2 3 所以 e . 3 b 3 x2 y2 (2)由于 ，于是设双曲线方程为 1(k0)， a 3 3k2 k2 即 x23y23k2. 9 将 y 3(x2)代入 x23y23k2中， 得 x23×3(x2)23k2. 化简得到 8x236x363k20. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB| 13|x1x2| 2 （x1x2）24x1x2 2× 3624 × 8 × （363k2） 8 96k2 3. 解得 k21. x2 故所求 双曲线 C 的方程为 y21. 3 10