“已实现”波动率理论研究与评价.doc

“已实现”波动率理论研究与评价一 引 言 金融市场的波动率对于资产及其衍生产品的定价，资产的分配和风险管理是至关重要的，因此波动率研究一直是金融研究领域的热门课题。学者们通过对波动率领域的大量研究，得出了求解波动率的三种主要方法：一是从经典的金融分析模型中求解，如反解Black-scholes方程得到隐含波动率(Im-plied Volatility)；二是通过求解ARCH和SV模型得到波动率；三是近十年来，随着使用高频数据研究成为可能，学者们专门针对高频数据提出了一种称为“已实现”波动率(Realized Volatility，国内也有人翻译为实际波动率)的测量方法，把一段时间内收益率的平方和作为波动率的估计。由于第一、第二种方法求出的波动率仅仅只在这些模型的特有假设下才有效，并且在多维情况下参数估计困难，因此存在一定的局限性。但是利用高频数据的第三种方法不同于ARCH类模型和Sv类模型，它是无模型(model free)的，也不需要复杂的参数估计方法。在一定条件下，“已实现”波动率是没有测量误差的无偏估计量。同时，“已实现”波动率在多变量情况下可以扩展为“已实现”协方差矩阵，解决了ARCH模型和SV模型的“维数灾难”，因此这是一种全新的金融波动率测量方法。 二“已实现”波动率的研究现状 早在1980年，Merton发现在样本频率充分大的条件下，通过加总高频平方变量的值，一个独立同分布随机变量的方差(在一个固定期限内)，可以被估计得充分精确，他用日收益数据估计了股票的月波动率。但是由于当时高频数据的获取比较困难，关于这方面的研究有所停滞。直到最近十多年，随着计算机的广泛使用，数据库的建立，导致高频数据获取容易，学者们针对高频数据再次对此进行了深入详细研究。 1“已实现”波动率的理论基础及算法 Taylor，XU3和Andersen，Bollerslev等在Merton的基础上给出了“已实现”波动率和“已实现”协方差的理论基础主要是收益分解和二次变动理论。即假设价格向量的对数是一个特殊半鞅(special martingale)，那么它可以分解成一个均值过程(mean process)和一个新息过程(innovationprocess)，假如均值过程与新息过程是独立的，且均值过程是一个事先确定的函数(predeterminedfunction)，那么收益向量的条件协方差矩阵等于二次协变差过程(quadratic covariation process)的条件期望，二次协变差过程又可以用收益平方和收益乘积和来近似。同时从理论上证明了“已实现”波动率是没有测量误差的无偏估计量。徐正国、张世英在“已实现”波动率的基础上提出更有效的调整“已实现”波动，降低了“已实现”波动率的测量误差。 2“已实现”波动率的实证研究 Taylor，Xu和Andersen et.al采用5分钟收益的平方和来度量日汇率波动率。Andersen et.al利用DJIA30指数股票的10年期的5分钟分时数据，对“已实现”波动率的特性与预测进行了深入的研究。Engle，Ng等许多经济学家通过实证研究发现负收益相对正收益而言对未来波动率的影响更大些，并对这种现象做出了解释。Areal与Tay-lor研究了FTSE-100指数期货价格的“已实现”波动率。Blair和Poon等研究了“已实现”波动率的预测问题。Barndorff-Nielsen和Shep-hard研究了“已实现”波动率的渐近分布特性。 Oomen考虑在高频数据收益率序列相关的情形下“已实现”波动率的特性和建模问题。黄后川、陈浪南研究了中国股市的“已实现”波动率的不对称性和长期记忆特性。徐正国、张世英在“已实现”波动率的基础上提出更有效的调整“已实现”波动，针对调整“已实现”波动的长记忆性和“杠杠”效应建立ARFIMAX模型，并与GARCH模型以及SV模型比较了预测能力。施红俊、陈伟忠用深沪股市随机抽取的30支股票数据进行实证研究。 通过实证研究，学者们发现“已实现”波动率取对数值后接近于正态分布，具有显著的长期记忆性，且可以把其看作是可观测变量，因此可以用分整自回归移动平均模型(Autoregressive Fractionally In-tegrated Moving Average Model，简称ARFIMA模型)来刻画。Andersen，Bollerslev等构建了ARFIMA(p,d,q)模型： 同时学者们在“已实现”波动率的框架内，也研究了波动率的不对称性，即“杠杆”效应，也就是说研究了负的收益率是否比正的收益率引起更大的波动。在具体操作中，他们在ARFIMA模型中引入与收益率有关的虚拟变量，来体现负的收益率对波动率的影响。这种模型通过分数综合和外部解释捕捉了长期记忆和不对称两种波动率特性，称为ARFIMAX模型。 Ebens首先提出了他的ARFIMAX模型，并用该模型模拟了道琼斯工业指数的波动率(“已实现”方差的对数)，其模型具体如下： 黄后川，陈浪南在研究上证A，B股指数的过程中，对Ebens的模型进行了改进，具体形式如下： 该模型把“已实现”波动率的对数作为待研究的波动率序列，同时对波动率进行分数阶差分(1-L)d，捕捉波动率序列的长期记忆特性。在等式左边，使用上期收益率对本期波动率进行折线模拟，反映了波动率的不对称性(杠杆效应)。 比较两种模型，可以发现Ebens模型是分数综合回归后，再进行折线回归和移动平均。而黄后川的模型是先对时间序列进行折线回归后，再进行分数综合移动平均自回归模拟。 同时“已实现”波动率方法由于其计算简便、预测准确且是无模型的，同时在多维领域有广泛的发展空间，学者们争先把其引入到金融计量学的各个分支领域。Hull-White在研究随机波动率期权定价时，直接应用于积分波动(Integrated Volatili-ty)。Andersen和Bollerslev等研究了GARCH 模型对积分波动率的预测能力，比较了各种模型的不同，并在特征函数SV模型(Eigenfunction SV)框架下，推导了用“已实现”波动率对积分波动预测的解析式，并进行了实证分析。Andersen和Boiler-slev等对“已实现”波动率进行了预测研究，并将其应用于在险价值(VaR)的计算。Liuqianqiu运用“已实现”波动进行资产定价研究。Andersen和Bollerslev等对“已实现”Beta的持续性和预测进行研究。Pierre Giot，Sebastien Laurent研究了“已实现”波动率在VaR上的应用，并将其与基于ARCH模型的VaR进行了比较研究。 三 “已实现”波动率的优势及存在问题 与ARCH模型和SV模型相比较，“已实现”波动率不管在理论上，还是实际的模拟预测都更有优势。原因如下：一是“已实现”波动率用的是高频金融数据。在金融市场中，信息是连续地影响证券市场价格的运动过程的。数据的离散采集必然会造成信息不同程度的缺失。无疑，采集频率越高，信息丢失越少；反之，信息丢失越多。所以，高频数据比低频数据包含更多的信息，更能真实反映市场的真实情况。二是“已实现”波动率在一定的条件下，当时间间隔充分小时，测量误差也趋于，可以把“已实现”波动率看作没有测量误差的无偏估计量，可以把其看作直接观测到的时间序列。因此可以把“已实现”波动率当作一个基准，对以前的模型进行评价。同时在多维情况下，“已实现”协方差阵不象多元的GARCH模型，把波动率和相关系数看作是隐性变量，不能直接观测，而是直接把波动率和相关系数看作是显性变量，不需要进行复杂的参数估计就可以直接计算得出。 然而学者们在研究过程中发现“已实现”波动受到测量误差和微观结构误差等两种误差的干扰。要准确估计“已实现”波动率存在一个最优的样本频率(用f表示)。Andersen，et.al指出假定收益过程是一个半秧，只要选取频率足够大的日内样本数据，则“已实现”波动率可以任意接近潜在的积分波动率。但是，由于日内数据受到市场微观结构的影响，若频率太大，会导致日内收益数据序列存在较大的序列相关，产生测量误差，因此存在一个最优频率。 Oomen发现低频波动率估计值=高频波动率估计值2×高频收益率在低频期间内的自协方差之和，“已实现”波动率的估计误差随着数据频率的增高而降低，数据采样频率越高、时间间隔越小，将可以得到越为精确的波动率估计值。然而，由于市场微观结构的摩擦(包括流动性的限制、买卖价差造成的价格非连续性等)使得基于高频数据的RV对真实波动率的表达上存在误差。例如连续时间的资产定价模型下，无套利性质意味着回报序列应该服从半鞅过程(Semi-martingale Process)，但是现实市场中由每笔成交(tick-by-tick)计算的回报过程显然违背了这个假设。所以在计算RV时就需要在理论精度和数据噪声之间作出一个权衡，即需要科学地确定最优采样频率。Fleming & Ost-diek与黄后川和陈浪南首先对高频数据计算出的1-30分钟RV求两次移动平均，经过移动平均处理后的估计值上下波动明显减小，表明数据所含的噪声显著减小。由于高频估计的波动率趋向于低估实际波动率，从1分钟频率开始的波动率估计图形在开始阶段是单调上升的，故而可选取波动率第一次极大值对应的采样频率为最优采样频率。 四 小 结 金融波动的研究是整个金融市场的核心问题。特别是随着高频数据的出现，对之前占主导地位的ARCH，SV模型提出了严峻的考验。“已实现”波动率的出现进一步丰富了关于金融波动的研究，解决了“维数灾难”，对于多维领域有了突破性进展。尽管“已实现”波动率在近十多年得到了迅猛发展，但仍然存在以下诸多问题和研究空间，需要学者们进一步地探索： 1)“已实现”波动率在高频领域取得比ARCH，SV模型更好的效果，但是关于在高频领域的实证研究及其应用还是相对较少。 2)“已实现”波动率在中国的应用需要进一步扩展其研究对象。“已实现”波动率的应用主要来自对股票、汇率和期权的分析，但在中国仅限于股票，如此以来，其所建立的模型和分析得出的结论无疑存在着很大的局限性。 3)“已实现”波动率的实际应用的有效性有待进一步研究。由于采用高频数据进行计算过于繁琐，因而一些学者认为没有必要用高频数据来进行计算和预测。