[信息与通信]导数及其应用基础典型题归类与解析及测试.doc

基础典型题归类与解析 及测试-选修22 导数及其应用（全章）对基础典型题进行归类解析，并辅之以同类变式题目进行巩固练习，是老师教学笔记的核心内容与教学精华所在，也是提高学生好题本含金量的试题秘集。当学生会总结数学题，会对所做的题目分类，知道自己能够解决哪些题型，掌握了哪些常见的解题方法，还有哪些类型题不会做时，他才真正掌握了学数学的窍门，才能真正做到"任它千变万化，我自岿然不动"。 一、题型一：利用导数概念求导数例1已知s=，求t=3秒时的瞬时速度。解析：由题意可知某段时间内的平均速度随变化而变化，越小，越接近于一个定值，由极限定义可知，这个值就是时，的极限。V=（6+=3g=29.4(米/秒)。变式练习：求函数y=的导数。解析：=-2、例2已知函数yf(x)在xx0处的导数为11，则li _解析：li 2li 2f(x0)2×1122.变式练习：若f(x0)2，求 的值解：令kx，k0，x0.则原式可变形为 f(x0)×21.二、题型二：深入领会导数的几何意义导数的几何意义: 导数值对应函数在该点处的切线斜率。1、已知曲线上的点求此点切线斜率例3已知曲线y2x2上一点A(2,8)，则A处的切线斜率为()A4 B16 C8 D2解析：选C. 曲线在点A处的切线的斜率就是函数y2x2在x2处的导数f(x)li li li 4x.则f(2)8.变式训练（1）：已知曲线yx22上一点P(1，)，则过点P的切线的倾斜角为_解析：yx22，yli li li (xx)x.y|x11.点P(1，)处的切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.变式训练（2）：求过点P(1,2)且与曲线y3x24x2在点M(1,1)处的切线平行的直线解：曲线y3x24x2在M(1,1)的斜率ky|x1li li (3x2)2.过点P(1,2)直线的斜率为2，由点斜式得y22(x1)，即2xy40.所以所求直线方程为2xy40.2、 已知切线斜率求相关点坐标例4 函数yx24x在xx0处的切线斜率为2，则x0_.解析：2li 2x04，x01.变式训练：下列点中，在曲线yx2上，且在该点处的切线倾斜角为的是()A(0,0) B(2,4) C(，) D(，)解析：选D .kli li li (2xx)2x.倾斜角为，斜率为1.2x1，得x，故选D.三、题型三：利用求导公式及法则求导及其应用1、对数函数求导及应用 例5f(x)logx；解： f(x)(logx) .变式练习：（1）、设函数f(x)logax，f(1)1，则a_解析：f(x)，f(1)1.lna1，a.（2）、已知直线ykx是曲线ylnx的切线，则k的值等于_解析：因为y(lnx)，设切点为(x0，y0)， 则切线方程为yy0(xx0)，即yxlnx01.由lnx010，得x0e.k.2、指数函数求导 例6 f(x)2x.解2x()x，f(x)()x()xln()xln2.3、幂函数求导及应用 例7 已知f(x)xa，则f(1)4，则a的值等于()A4 B4 C5 D5解析：选A.f(x)axa1，f(1)a(1)a14，a4.故选A.变式练习求与曲线y在点P(8,4)处的切线垂直于点P的直线方程解：y，y()(x)x，y|x8×8.即在点P(8,4)的切线的斜率为.适合题意的切线的斜率为3.从而适合题意的直线方程为y43(x8)，即3xy280.四、 题型四： 复合函数求导及应用1、用和、差、积、商求导法则求复合函数导数例8 求下列复合函数的导数：(1)y3x2xcosx； (2)y； (3)ylgxex；解：(1)y6xcosxxsinx.(2)y.(3)y(lgx)(ex)ex.2、例9求下列复合函数的导数：(1)f(x)ln(8x)； (2)f(x)(1)(1)；(3)y5log2(2x1) (4)ysin2xcos2x.解：(1)因为f(x)ln(8x)ln8lnx，所以f(x)(ln8)(lnx).(2)因为f(x)(1)(1)11，所以f(x)(1)(3)设y5log2u，u2x1，则y5(log2u)(2x1).(4)法一：y(sin2xcos2x)(sin2x)(cos2x)2cos2x2sin2x2sin(2x)法二：ysin(2x)，ycos(2x) ·22sin(2x)3、复合函数求导的应用例10、已知f(x)ax33x22，若f(1)4，则a的值是()A. B. C. D.解析：选D. f(x)3ax26x，f(1)3a64.a.变式练习（1）若函数f(x)在xc处的导数值与函数值互为相反数，则c的值为_解析：f(x)，f(c)，又f(x)，f(c).依题意知f(c)f(c)0，0，2c10得c.变式练习（2） 若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)()A1 B2 C2 D0解析：选B. 由题意知f(x)4ax32bx，若f(1)2，即f(1)4a2b2，从题中可知f(x)为奇函数，故f(1)f(1)4a2b24、导数中利用待定系数法求解析式例11、已知f(x)是一次函数，x2f(x)(2x1)f(x)1.求f(x)的解析式解：由f(x)为一次函数可知f(x)为二次函数设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb.把f(x)，f(x)代入方程x2f(x)(2x1)f(x)1得：x2(2axb)(2x1)(ax2bxc)1，即(ab)x2(b2c)xc10.要使方程对任意x恒成立，则需有ab，b2c，c10，解得a2，b2，c1，所以f(x)2x22x1.小结：（1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；如：例8中1、2（2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量。五、题型五：借助导数处理单调区间、极值和最值问题1、已知函数解析式求其单调区间例12求下列函数的单调区间(1)yxlnx； (2)y.解：(1)函数的定义域为(0，)其导数为y1.令1>0，解得x>1；再令1<0，解得0<x<1.因此，函数的单调增区间为(1，)，函数的单调减区间为(0,1)(2)函数的定义域为(，0)(0，)y，所以当x0时，y<0，而当x0时，函数无意义，所以y在(，0)，(0，)内都是减函数，即y的单调减区间是(，0)，(0，)变式练习 ：函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2) B(0,3) C(1,4) D(2，)解析：选D.f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令f(x)>0，解得x>2，故选D.2、已知函数单调区间求解析式中的参数值例13、若函数f(x)x3bx2cxd的单调减区间为1,2，则b_，c_解析：y3x22bxc，由题意知1,2是不等式3x22bxc<0的解集，1,2是方程3x22bxc0的根，由根与系数的关系得b，c6.变式练习：若函数yx3ax有三个单调区间，则a的取值范围是_解析：y4x2a，且y有三个单调区间，方程y4x2a0有两个不等的实根，024×(4)×a>0，a>0.3、用导数解复杂函数中的恒成立问题例14函数yax3x在R上是减函数，则()Aa Ba1 Ca2 Da0解析：选D. 因为y3ax21，函数yax3x在(，)上是减函数，所以y3ax210恒成立，即3ax21恒成立当x0时，3ax21恒成立，此时aR；变式练习已知函数f(x)ax2lnx(a0)，若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围解：f(x)a，要使函数f(x)在定义域(0，)内为单调函数，只需f(x)在(0，)内恒大于0或恒小于0.当a0时，f(x)<0在(0，)内恒成立；当a>0时，要使f(x)a()2a0恒成立，a0，解得a1.综上，a的取值范围为a1或a0.4、通过导数解决函数极值问题例15、函数f(x)x36x215x2的极大值是_，极小值是_解析：f(x)3x212x153(x5)(x1)，在(，1)，(5，)上f(x)>0，在(1,5)上f(x)<0，f(x)极大值f(1)10， f(x)极小值f(5)98.变式练习：函数f(x)x3x22x取极小值时，x的值是()A2 B2，1 C1 D3解析： 选C .f(x)x2x2(x2)·(x1)，在x1的附近左侧f(x)<0，右侧f(x)>0，x1时取极小值例16、函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3时取得极值，则a()A2B3 C4 D5解析：选D.f(x)3x22ax3，f(x)在x3处取得极值，f(3)0，即276a30a5.变式练习（1）： 已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则a、b的值为()Aa4，b11 Ba4，b1或a4，b11Ca1，b5 D以上都不正确解析：选A. f(x)3x22axb，在x1处f(x)有极值，f(1)0，即32ab0.又f(1)1aba210，即a2ab90.由得a2a120，a3或a4.或当时，f(x)3x26x33(x1)20，故f(x)在R上单调递增，不可能在x1处取得极值，所以舍去变式练习（2）：若函数yx36x2m的极大值等于13，则实数m等于_解析：y3x212x，由y0，得x0或x4，容易得出当x4时函数取得极大值，所以436×42m13，解得m19.例17、设aR，若函数yexax，xR，有大于零的极值点，则a的取值范围为_解析：yexa，由y0得xln(a)由题意知ln(a)>0，a<1.(，1)变式练习：已知函数yxln(1x2)，则y的极值情况是()A有极小值 B有极大值C既有极大值又有极小值 D无极值解析：选D .f(x)10，函数f(x)在定义域R上为增函数。综合练习：(2010年高考安徽卷)设函数f(x)sinxcosxx1（0<x<2）， 求函数f(x)的单调区间与极值解：由f(x)sin xcosxx1,0<x<2，知f(x)cos xsin x1，于是f(x)1sin(x)令f(x)0，从而sin(x)， 得x，或x.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(0，)(，)(，2)f(x)00f(x)2因此，由上表知f(x)的单调递增区间是(0，)与(，2)，单调递减区间是(，)，极小值为f()，极大值为f()2.5、通过导数解决函数最值问题例18、（06浙江卷）在区间上的最大值是（ ）(A)2 (B)0 (C)2 (D)4解析： ，令可得x0或2（2舍去），当1£x<0时，>0，当0<x£1时，<0，所以当x0时，f（x）取得最大值为2。选C；变式练习（1）：函数y4x2(x2)在x2,2上的最小值为_，最大值为_解析：由y12x216x0，得x0或x.当x0时，y0；当x时，y；当x2时，y64；当x2时，y0.比较可知ymax0，ymin64.变式练习（2）：函数yxex的最小值为_解析：令y(x1)ex0，得x1.当x<1时，y<0；当x>1时，y>0.yminf(1).例19函数f(x)x33x29xk在区间4,4上的最大值为10，则其最小值为()A10 B71C15 D22解析：选B .f(x)3x26x93(x3)(x1)由f(x)0得x3，1.又f(4)k76，f(3)k27，f(1)k5，f(4)k20.由f(x)maxk510，得k5，f(x)mink7671.变式练习(1):已知f(x)x2mx1在区间2，1上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是_解析：f(x)m2x，令f(x)0，得x.由题设得2，1，故m4，2变式练习(2)函数f(x)ax44ax2b(a>0,1x2)的最大值为3，最小值为5，则a_，b_.解析：y4ax38ax4ax(x22)0，x10，x2，x3，又f(1)a4abb3a，f(2)16a16abb，f()b4a，f(0)b，f()b4a.a2. b=3例20已知函数f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在x1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x3是f(x)的极值点，求f(x)在x1，a上的最大值和最小值解：(1)令f(x)3x22ax30，amin3(当x1时取最小值)x1，a3，a3时亦符合题意，a3.(2)f(3)0，即276a30，a5，f(x)x35x23x，f(x)3x210x3.令f(x)0，得x13，x2(舍去)当1x3时，f(x)0，当3x5时，f(x)0，即当x3时，f(x)的极小值f(3)9.又f(1)1，f(5)15，f(x)在1,5上的最小值是f(3)9，最大值是f(5)15.变式练习（06山东卷）：设函数f(x)= （）求f(x)的单调区间；（）讨论f(x)的极值。解：由已知得，令，解得 。（）当时，在上单调递增； 当时，随的变化情况如下表：0+00极大值极小值从上表可知，函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增。（）由（）知，当时，函数没有极值；当时，函数在处取得极大值，在处取得极小值。六、题型六：定积分问题1、计算定积分的值例21（1）； （2）；解析：（1）因为，所以； （2）2、求定积分中的参数值例22 ，若使最小，则需为何值？解：当时，。 变式练习： 已知，试求的取值范围。解：令，则，故为方程的两根故或3、应用定积分处理平面区域内的面积例23. 求抛物线与直线所围成的图形的面积。 解：由或 变式练习（1）. 求由抛物线，所围成图形的面积。解：由或 变式练习（2）.：由抛物线及其在点处两切线所围成的图形的面积。解; ， 7、 类型七：综合运用1.【北京北师特学校2013届高三第二次月考 理】（本小题满分14分）已知函数，其中.（）求函数的单调区间；（）若直线是曲线的切线，求实数的值；（）设，求在区间上的最大值.（其中为自然对数的底数）【答案】解：（）令，则，又的定义域是（0,2）2（2，）0设切点为则 解得 令，则，（）当时，在单调增加 （）当时，在单调减少，在单调增加； 若时，； 若时，；（）当时，在上单调递减，；综上所述，时，；时，。来源:Z_xx_k.Com.2.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】（本小题满分13分）已知函数（）若，求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）设函数若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围【答案】解：函数的定义域为， 1分（）当时，函数，所以曲线在点处的切线方程为，即3分（）函数的定义域为 （1）当时，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递减 4分（2）当时，（）若，由，即，得或； 5分由，即，得6分所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为 7分（）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上单调递增 8分（）因为存在一个使得，则，等价于.9分令，等价于“当 时，”. 对求导，得. 10分因为当时，所以在上单调递增. 12分所以，因此. 13分另解：设，定义域为，.依题意，至少存在一个，使得成立，等价于当 时，. 9分（1）当时，在恒成立，所以在单调递减，只要，则不满足题意. 10分（2）当时，令得.（）当，即时，在上，所以在上单调递增，所以，由得，所以. 11分（）当，即时，在上，所以在单调递减，所以，由得.12分（）当，即时， 在上，在上，所以在单调递减，在单调递增，等价于或，解得，所以，.综上所述，实数的取值范围为. 13分3.【北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习（一）理】（本小题满分13分）已知函数（）.（1）求函数的单调区间；（2）对,不等式恒成立，求的取值范围【答案】解：（1）2分当时，0-0+递增极大递减极小递增所以，在和上单调递增；在上单调递减。当时，在上单调递增。当时，+0-0+递增极大递减极小递增所以，在和上单调递增；在上单调递减。8分（2）法一、因为，所以由得，即函数对恒成立由（）可知，当时，在单调递增，则，成立，故<。当，则在上单调递增，恒成立，符合要求。当，在上单调递减，上单调递增，则，即，。综上所述，。 13分法二、当时，；当时，由得，对恒成立。设，则由，得或-0+递减极小递增，所以，。 13分4.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】（本题共14分）已知函数的导函数的两个零点为-3和0. （）求的单调区间；（）若f(x)的极小值为，求f(x)在区间上的最大值.【答案】解：（） .2分 令，因为，所以的零点就是的零点，且与符号相同.又因为，所以时，g(x)>0,即， 4分当时,g(x)<0 ,即， 6分所以的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-，-3），（0，+）7分（）由（）知，=-3是的极小值点，所以有 解得， 11分 所以.的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-，-3）,（0，+），为函数的极大值, 12分在区间上的最大值取和中的最大者. .13分而>5，所以函数f(x)在区间上的最大值第一章 导数及其应用基础训练A组一、选择题1若函数在区间内可导，且则 来源:学.科.网Z.X.X.K的值为（ ）A B C D2一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（ ）A米/秒 B米/秒 C米/秒 D米/秒3函数的递增区间是（ ）A B C D4,若,则的值等于（ ）A B C D来源:学#科#网5函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的（ ）A充分条件 B必要条件 C充要条件 D必要非充分条件6函数在区间上的最小值为（ ）A B C D二、填空题1若，则的值为_；2曲线在点 处的切线倾斜角为_；3函数的导数为_；4曲线在点处的切线的斜率是_，切线的方程为_；5函数的单调递增区间是_。三、解答题1求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程。2求函数的导数。3求函数在区间上的最大值与最小值。子曰：学而不思则罔，思而不学则殆。4已知函数，当时，有极大值；（1）求的值；（2）求函数的极小值。（数学选修2-2）第一章 导数及其应用综合训练B组一、选择题1函数有（ ）A极大值，极小值 B极大值，极小值C极大值，无极小值 D极小值，无极大值2若，则（ ）A B C D3曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ）A B C和 D和4与是定义在R上的两个可导函数，若,满足,则与满足（ ）A B为常数函数 C D为常数函数5函数单调递增区间是（ ）A B C D6函数的最大值为（ ）A B C D来源:Zxxk.Com二、填空题1函数在区间上的最大值是 。2函数的图像在处的切线在x轴上的截距为_。3函数的单调增区间为 ，单调减区间为_。4若在增函数，则的关系式为是 。5函数在时有极值，那么的值分别为_。三、解答题1 已知曲线与在处的切线互相垂直，求的值。2如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？3 已知的图象经过点，且在处的切线方程是（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间。4平面向量，若存在不同时为的实数和，使且，试确定函数的单调区间。（数学选修2-2） 第一章 导数及其应用 提高训练C组一、选择题1若,则等于（ ）A B CD2若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（ ）3已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围是（ ）A B C D4对于上可导的任意函数，若满足，则必有（ ）A B. C. D. 5若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）A B C D6函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）A个 B个 C个D个二、填空题1若函数在处有极大值，则常数的值为_；2函数的单调增区间为 。3设函数，若为奇函数，则=_4设，当时，恒成立，则实数的取值范围为 。5对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是三、解答题1求函数的导数。2求函数的值域。3已知函数在与时都取得极值(1)求的值与函数的单调区间(2)若对，不等式恒成立，求的取值范围。4已知,，是否存在实数,使同时满足下列两个条件：（1）在上是减函数，在上是增函数；（2）的最小值是，若存在，求出，若不存在，说明理由.（数学选修2-2）第一章 导数及其应用 基础训练A组一、选择题1B 2C 3C 对于任何实数都恒成立4D 5D 对于不能推出在取极值，反之成立6D 得而端点的函数值，得二、填空题1 2 3 4 5 三、解答题1解：设切点为，函数的导数为切线的斜率，得，代入到得，即，。2解： 3解：, 当得，或，或， ，列表: +又；右端点处；函数在区间上的最大值为，最小值为。 4解：（1）当时，即（2），令，得（数学选修2-2）第一章 导数及其应用 综合训练B组一、选择题1C ，当时，；当时， 当时，；取不到，无极小值2D 3C 设切点为，把，代入到得；把，代入到得，所以和4B ,的常数项可以任意5C 令6A 令，当时，；当时，在定义域内只有一个极值，所以二、填空题1 ，比较处的函数值，得2 3 4 恒成立，则5 ，当时，不是极值点来源:Z|xx|k.Com三、解答题1解： 。2解：设小正方形的边长为厘米，则盒子底面长为，宽为 ，（舍去） ，在定义域内仅有一个极大值， 3解：（1）的图象经过点，则，切点为，则的图象经过点得（2）单调递增区间为4解：由得所以增区间为；减区间为。（数学选修2-2）第一章 导数及其应用 提高训练C组一、选择题1A 2A 对称轴，直线过第一、三、四象限3B 在恒成立，4C 当时，函数在上是增函数；当时，在上是减函数，故当时取得最小值，即有得5A 与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为，而，所以在处导数为，此点的切线为6A 极小值点应有先减后增的特点，即二、填空题1 ，时取极小值2 对于任何实数都成立3 要使为奇函数，需且仅需，即：。又，所以只能取，从而。4 时，5 ，令，求出切线与轴交点的纵坐标为，所以，则数列的前项和三、解答题1解：。2解：函数的定义域为，当时，即是函数的递增区间，当时，所以值域为。3解：（1）由，得，函数的单调区间如下表： ­极大值¯极小值­所以函数的递增区间是与,递减区间是；（2），当时，为极大值，而，则为最大值，要使恒成立，则只需要，得。4解：设来源:学#科#网在上是减函数，在上是增函数在上是减函数，在上是增函数. 解得经检验，时，满足题设的两个条件.