[信息与通信]导数及其应用基础典型题归类与解析及测试.doc
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1、基础典型题归类与解析 及测试-选修22 导数及其应用(全章)对基础典型题进行归类解析,并辅之以同类变式题目进行巩固练习,是老师教学笔记的核心内容与教学精华所在,也是提高学生好题本含金量的试题秘集。当学生会总结数学题,会对所做的题目分类,知道自己能够解决哪些题型,掌握了哪些常见的解题方法,还有哪些类型题不会做时,他才真正掌握了学数学的窍门,才能真正做到任它千变万化,我自岿然不动。 一、题型一:利用导数概念求导数例1已知s=,求t=3秒时的瞬时速度。解析:由题意可知某段时间内的平均速度随变化而变化,越小,越接近于一个定值,由极限定义可知,这个值就是时,的极限。V=(6+=3g=29.4(米/秒)。
2、变式练习:求函数y=的导数。解析:=-2、例2已知函数yf(x)在xx0处的导数为11,则li _解析:li 2li 2f(x0)21122.变式练习:若f(x0)2,求 的值解:令kx,k0,x0.则原式可变形为 f(x0)21.二、题型二:深入领会导数的几何意义导数的几何意义: 导数值对应函数在该点处的切线斜率。1、已知曲线上的点求此点切线斜率例3已知曲线y2x2上一点A(2,8),则A处的切线斜率为()A4 B16 C8 D2解析:选C. 曲线在点A处的切线的斜率就是函数y2x2在x2处的导数f(x)li li li 4x.则f(2)8.变式训练(1):已知曲线yx22上一点P(1,),
3、则过点P的切线的倾斜角为_解析:yx22,yli li li (xx)x.y|x11.点P(1,)处的切线的斜率为1,则切线的倾斜角为45.变式训练(2):求过点P(1,2)且与曲线y3x24x2在点M(1,1)处的切线平行的直线解:曲线y3x24x2在M(1,1)的斜率ky|x1li li (3x2)2.过点P(1,2)直线的斜率为2,由点斜式得y22(x1),即2xy40.所以所求直线方程为2xy40.2、 已知切线斜率求相关点坐标例4 函数yx24x在xx0处的切线斜率为2,则x0_.解析:2li 2x04,x01.变式训练:下列点中,在曲线yx2上,且在该点处的切线倾斜角为的是()A(
4、0,0) B(2,4) C(,) D(,)解析:选D .kli li li (2xx)2x.倾斜角为,斜率为1.2x1,得x,故选D.三、题型三:利用求导公式及法则求导及其应用1、对数函数求导及应用 例5f(x)logx;解: f(x)(logx) .变式练习:(1)、设函数f(x)logax,f(1)1,则a_解析:f(x),f(1)1.lna1,a.(2)、已知直线ykx是曲线ylnx的切线,则k的值等于_解析:因为y(lnx),设切点为(x0,y0), 则切线方程为yy0(xx0),即yxlnx01.由lnx010,得x0e.k.2、指数函数求导 例6 f(x)2x.解2x()x,f(x
5、)()x()xln()xln2.3、幂函数求导及应用 例7 已知f(x)xa,则f(1)4,则a的值等于()A4 B4 C5 D5解析:选A.f(x)axa1,f(1)a(1)a14,a4.故选A.变式练习求与曲线y在点P(8,4)处的切线垂直于点P的直线方程解:y,y()(x)x,y|x88.即在点P(8,4)的切线的斜率为.适合题意的切线的斜率为3.从而适合题意的直线方程为y43(x8),即3xy280.四、 题型四: 复合函数求导及应用1、用和、差、积、商求导法则求复合函数导数例8 求下列复合函数的导数:(1)y3x2xcosx; (2)y; (3)ylgxex;解:(1)y6xcosx
6、xsinx.(2)y.(3)y(lgx)(ex)ex.2、例9求下列复合函数的导数:(1)f(x)ln(8x); (2)f(x)(1)(1);(3)y5log2(2x1) (4)ysin2xcos2x.解:(1)因为f(x)ln(8x)ln8lnx,所以f(x)(ln8)(lnx).(2)因为f(x)(1)(1)11,所以f(x)(1)(3)设y5log2u,u2x1,则y5(log2u)(2x1).(4)法一:y(sin2xcos2x)(sin2x)(cos2x)2cos2x2sin2x2sin(2x)法二:ysin(2x),ycos(2x) 22sin(2x)3、复合函数求导的应用例10、
7、已知f(x)ax33x22,若f(1)4,则a的值是()A. B. C. D.解析:选D. f(x)3ax26x,f(1)3a64.a.变式练习(1)若函数f(x)在xc处的导数值与函数值互为相反数,则c的值为_解析:f(x),f(c),又f(x),f(c).依题意知f(c)f(c)0,0,2c10得c.变式练习(2) 若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2,则f(1)()A1 B2 C2 D0解析:选B. 由题意知f(x)4ax32bx,若f(1)2,即f(1)4a2b2,从题中可知f(x)为奇函数,故f(1)f(1)4a2b24、导数中利用待定系数法求解析式例11、已知f(x)是一次函
8、数,x2f(x)(2x1)f(x)1.求f(x)的解析式解:由f(x)为一次函数可知f(x)为二次函数设f(x)ax2bxc(a0),则f(x)2axb.把f(x),f(x)代入方程x2f(x)(2x1)f(x)1得:x2(2axb)(2x1)(ax2bxc)1,即(ab)x2(b2c)xc10.要使方程对任意x恒成立,则需有ab,b2c,c10,解得a2,b2,c1,所以f(x)2x22x1.小结:(1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;如:例8中1、2(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三
9、角恒等变形将函数先化简,然后进行求导有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量。五、题型五:借助导数处理单调区间、极值和最值问题1、已知函数解析式求其单调区间例12求下列函数的单调区间(1)yxlnx; (2)y.解:(1)函数的定义域为(0,)其导数为y1.令10,解得x1;再令10,解得0x1.因此,函数的单调增区间为(1,),函数的单调减区间为(0,1)(2)函数的定义域为(,0)(0,)y,所以当x0时,y0,解得x2,故选D.2、已知函数单调区间求解析式中的参数值例13、若函数f(x)x3bx2cxd的单调减区间为1,2,则b_,c_解析:y3x22bxc,由题意知1,2是不等式3x2
10、2bxc0,a0.3、用导数解复杂函数中的恒成立问题例14函数yax3x在R上是减函数,则()Aa Ba1 Ca2 Da0解析:选D. 因为y3ax21,函数yax3x在(,)上是减函数,所以y3ax210恒成立,即3ax21恒成立当x0时,3ax21恒成立,此时aR;变式练习已知函数f(x)ax2lnx(a0),若函数f(x)在其定义域内为单调函数,求a的取值范围解:f(x)a,要使函数f(x)在定义域(0,)内为单调函数,只需f(x)在(0,)内恒大于0或恒小于0.当a0时,f(x)0时,要使f(x)a()2a0恒成立,a0,解得a1.综上,a的取值范围为a1或a0.4、通过导数解决函数极
11、值问题例15、函数f(x)x36x215x2的极大值是_,极小值是_解析:f(x)3x212x153(x5)(x1),在(,1),(5,)上f(x)0,在(1,5)上f(x)0,f(x)极大值f(1)10, f(x)极小值f(5)98.变式练习:函数f(x)x3x22x取极小值时,x的值是()A2 B2,1 C1 D3解析: 选C .f(x)x2x2(x2)(x1),在x1的附近左侧f(x)0,x1时取极小值例16、函数f(x)x3ax23x9,已知f(x)在x3时取得极值,则a()A2B3 C4 D5解析:选D.f(x)3x22ax3,f(x)在x3处取得极值,f(3)0,即276a30a5
12、.变式练习(1): 已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10,则a、b的值为()Aa4,b11 Ba4,b1或a4,b11Ca1,b5 D以上都不正确解析:选A. f(x)3x22axb,在x1处f(x)有极值,f(1)0,即32ab0.又f(1)1aba210,即a2ab90.由得a2a120,a3或a4.或当时,f(x)3x26x33(x1)20,故f(x)在R上单调递增,不可能在x1处取得极值,所以舍去变式练习(2):若函数yx36x2m的极大值等于13,则实数m等于_解析:y3x212x,由y0,得x0或x4,容易得出当x4时函数取得极大值,所以43642m13,解得m19
13、.例17、设aR,若函数yexax,xR,有大于零的极值点,则a的取值范围为_解析:yexa,由y0得xln(a)由题意知ln(a)0,a1.(,1)变式练习:已知函数yxln(1x2),则y的极值情况是()A有极小值 B有极大值C既有极大值又有极小值 D无极值解析:选D .f(x)10,函数f(x)在定义域R上为增函数。综合练习:(2010年高考安徽卷)设函数f(x)sinxcosxx1(0x2), 求函数f(x)的单调区间与极值解:由f(x)sin xcosxx1,0x2,知f(x)cos xsin x1,于是f(x)1sin(x)令f(x)0,从而sin(x), 得x,或x.当x变化时,
14、f(x)、f(x)的变化情况如下表:x(0,)(,)(,2)f(x)00f(x)2因此,由上表知f(x)的单调递增区间是(0,)与(,2),单调递减区间是(,),极小值为f(),极大值为f()2.5、通过导数解决函数最值问题例18、(06浙江卷)在区间上的最大值是( )(A)2 (B)0 (C)2 (D)4解析: ,令可得x0或2(2舍去),当1x0,当0x1时,0,所以当x0时,f(x)取得最大值为2。选C;变式练习(1):函数y4x2(x2)在x2,2上的最小值为_,最大值为_解析:由y12x216x0,得x0或x.当x0时,y0;当x时,y;当x2时,y64;当x2时,y0.比较可知ym
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