[工学]北理工06-08年历年真题讲解_自动化.doc

北京理工大学自动化学院自动化专业2006年真题及解析科目一： 代码810科目名称 自动控制理论一、真题北京理工大学2006年自动控制理论考试试题一、根轨迹方法 （25分）单位反馈系统如图1，其中。为简便起见，图中用R表示r(t)的Laplace变换R(s)。其余的符号和以后的图均采用这种简便记法。（1）设,画出根轨迹图；（2）确定K的值，使闭环系统单位阶跃响应的最大超调量为。计算相应的上升时间；（3）设计控制器使最大超调量保持不变，上升时间为，并使闭环系统尽可能地简单。图1：单位反馈系统二、状态空间方法 （30分）考虑系统 （1）先设 （）证明：若，则可通过状态空间中的线性变换，将状态空间表达式（1）变为 （2）其中 T可取为 （）设 求。（）A同（）， 判断系统的可控性和可观测性。若系统不可控或不可观测，确定不可控或不可观测的模态；（）A,B,C同（），D=0，是状态方程在初态下的解，证明，并解释这个结果。（）又设 B,C,D待定。若要通过状态反馈配置系统的极点，至少需要几个独立的控制变量（即B至少要有几个线性无关的列向量）？请说明理由。若要通过状态反馈使闭环系统渐近稳定，至少需要几个独立的控制变量？请说明理由。三、频率响应分析 （25分）考虑图2所示的控制系统，其中均为最小相位系统，其渐近对数幅频特性曲线如图3，H(s)=1。图2：由三个最小相位环节构成的反馈控制系统图3：渐近对数幅频特性曲线（1）确定开环传递函数并画出其渐近对数幅频和相频特性曲线（要求按图3中的尺寸自制两张对数坐标纸）；（2）画出Nyquist曲线；（3）由Nyquist曲线确定使闭环系统稳定的K值，并用根轨迹方法验证；（4）求K=1和K=2时的稳态误差和加速度误差。四、非线性控制系统 （25分）系统的方框图如图4所示，其中，所有的非线性特性均关于原点中心对称，。画出负倒特性曲线和线性部分的Nyquist图，以此分析系统是否存在自激振荡及其稳定性；如果存在自激振荡，请计算输出的振幅和频率。图中死区、饱和特性和继电特性等非线性环节的描述函数分别为：， ，图4：具有非线性特性的反馈控制系统五、离散控制系统 （25分）考虑如图5所示的直流电机速度控制系统，ZOH表示零阶保持器。设模拟被控对象的传递函数如下：数字控制器由微处理器实现，其脉冲传递函数为式中，图5：直流电机速度控制系统的框图（1）求数字控制系统的开环和闭环脉冲传递函数；（2）判断整个控制系统的稳定性；（3）当为单位阶跃函数时，求数字系统在采样时刻的输出响应；（4）重新设计数字控制器，使数字系统对单位阶跃输入具有最小拍输出响应。常用函数的z-变换表：； ； 六、Lyapunov稳定性 （20分）设非线性系统的数学描述如下：（）写出系统的状态方程；（）求系统的所有平衡点；（）判断每一个平衡点在Lyapunov意义下的稳定性，并阐明理由。2007年自动控制理论考试试题一、选择填空 （每小题10分，共60分1 采样系统的特征方程为，使系统稳定的K值是（ ）（a）（b）（c）所有（d）不存在这样的值。2 采样系统的输出，则前四个采样时刻的输出为（ ）（a）（b）（c）（d）3 s-域的传递函数为，T为采样周期。经采样后z-域的脉冲传递函数是（ ）（a）（b）（c）（d）4 线性系统的单位斜坡响应为，则该系统的单位阶跃响应为_，该系统的传递函数为_。5 最小相位系统的开环对数幅频特性如图1，则该系统的速度误差系数=_，加速度误差系数=_。图1：折线对数幅频特性6 非线性系统的一个平衡态位于不稳定的极限环内，该极限环内没有其它极限环。下述说法正确的是（ ）。（a）是不稳定平衡态。（b）是稳定平衡态，以极限环内的点为初始状态的运动轨迹都趋于。（c）是稳定平衡态，以极限环外的点为初始状态的运动轨迹都趋于。（d）上述说法都不对，根本无法判定是否稳定。二、根轨迹方法 （20分）单位反馈系统如图2，其中为待定参数。为简便起见，图中用R表示r(t)的Laplace变换R(s)。其余的符号和均采用这种简便记法。（1）设,已知根轨迹的分离点和汇合点分别是1和-3。确定参数a和b并画出根轨迹图；（2）确定根轨迹和虚轴的交点并由此确定使闭环系统稳定的K值。（3）说明在稳定的前提下该反馈系统和标准二阶系统的阶跃响应在快速性和超调量两方面有何不同。图2：单位反馈系统三、状态空间方法 （20分）考虑系统 其中（）设，已知：；，且确定状态转移矩阵和系统矩阵A。（）设 ，确定的关系，以及的可观测性和的关系。四、频率法 （20分）考虑图2所示的控制系统，其中。（1）用Nyquist稳定性判据证明闭环系统对任何比例控制器都不稳定。（2）设为PD控制器。用Nyquist判据确定使闭环系统稳定的的值。五、离散控制系统 （20分）离散系统的状态空间表达式为 其中（）判断系统的稳定性。（）令，求状态反馈阵使闭环系统的极点为-0.5，0.5，0。六、Lyapunov稳定性 （10分）设非线性系统的数学描述如下：（）写出系统的状态方程；（）求系统的所有平衡点；（）判断每一个平衡点在Lyapunov意义下的稳定性，并阐明理由。2008年自动控制理论考试试题一：选择填空 （每小题10分，共50分）1. 离散时间系统的闭环传递函数为，以下结论正确的是（）:(a) 对任意有限的K 值系统都是稳定的。(b) 当且仅当-0.5<K< 时系统是稳定的。(c) 对所有K 值系统都是不稳定的。(d) 当 -0.5<K< 时系统是不稳定的。2. 单位反馈系统如图 1，其中,为零阶保持器，采样周期 T=0.4 秒。部分常用函数的Z-变换见第五题。以下结论正确的是（ ）:图1 采样控制系统(a) 对任意的K 值闭环系统都稳定。(b) 对任意的K 值闭环系统都不稳定。(c) 存在,当时闭环系统稳定。(d) 对任意的K>0闭环系统都稳定。3. 具有非线性特性的单位负反馈系统，其前向通道中线性部分的频率特性曲线和非线性负倒特性如图2。图中箭头指向分别为 X 和增加的方向。下述结论中正确的是( ):(a) 和两点都是系统稳定的自激振荡状态。(b) BC 段是系统稳定的状态。(c) 和是系统稳定的状态。(d) 上述说法都不对。4. 若两个系统具有完全相同的根轨迹图，则两系统具有相同的开环传递函数(对，错)和相同的闭环传递函数(对，错)。5. 开环最小相位系统的对数幅频特性向右移4 倍频程，则闭环系统的调节时间将（增加，不变，减小） ，超调量将（增加，不变，减小） ，稳态误差（增加，不变，减小） ，抗高频噪声干扰的能力将（增强，不变，减弱） 。二、根轨迹方法 （20分）单位反馈系统如图3，其中，为待定参数。为简便起见，图中用R 表示r(t)的Laplace 变换R(s)。其余的符号亦采用这种简便记法。已知K 为某一正数时，闭环系统的极点为-1，-1，-1。（i） 确定参数a 和b 并由此确定G(s)的另外两个极点。（ii） 确定根轨迹的分离点和汇合点、根轨迹的渐近线以及根轨迹与虚轴的交点并画出根轨迹图。（iii） 确定使闭环系统稳定的K 值。图3 单位负反馈三、状态空间法考虑系统 （1）其中，,(i) 求系统的传递函数，判断系统的稳定性。(ii) 判断系统的状态可控性和可观测性。(iii) 能否通过状态反馈将闭环极点配置在-2，-3 和-4？ 若能，求出；若不能，请说明理由。四、频率法考虑图 3 所示的控制系统，其中，为待定参数。已知。(i) 确定参数和并做出的Nyquist 曲线。 (ii) 用Nyquist 判据确定时闭环系统稳定的K 值范围。五、采样控制系统 （15分）考虑图1 所示的采样控制系统，其中为零阶保持器，输入信号为单位阶跃函数，正的常数。 （i）写出上述系统的闭环脉冲传递函数。 （ii）设，计算采样输出。已知：六、Lyapunov稳定性设非线性系统的数学描述如下：其中为常数。（i）写出系统的状态方程，证明系统有唯一的平衡状态（ii）取候选Lyapunov 函数，研究系统平衡态的稳定性及其与的关系，其中Q可选为正定对角矩阵。七、描述函数分析方法单位负反馈系统的前向通道为如图 4 所示的 Hammerstein 模型，其中线性环节的传递函数为 ，非线性环节为有滞环的继电非线性。已知滞环继电非线性环节的描述函数为其中。确定继电器参数h，使得自激振荡频率 ，自激振荡幅值。图四Hammerstein 模型二、解析2006年真题解析一、解：（1）系统的开环传函绘制根轨迹的步骤如下:开环极点， 数目 n=2；无零点系统有两条根轨迹，分别起始于，终止于无穷远处。实轴上根轨迹段为；渐近线与实轴夹角为；渐近线与实轴交点为；由由以上计算得到的参数，得根轨迹如图所示： （2）由 闭环传递函数为 由 上升时间 （3）要保持不变，即，结合，得到 由题意得， 开环传递函数为使闭环系统尽可能简单，取,此时由，所以注：要熟记二阶系统的时域响应指标，等。二、解：（），则代人（1）可得 令,即可得到 由，计算得（） 相当于（）中的 有 则，此时 A可通过非奇异阵T化为约当阵，即。 所以（） ，所以系统不完全可控；所以系统完全可观测；确定不可控模态是在A为J的情况下，看B中的某一行是否为零。此题中A化为时，可见，所对应的模态为不可控模态，即。（）。（）将A化为约当阵为，B至少要有2个线性无关的列向量。原因：若要通过状态反馈配置系统的极点，即保证系统完全可控。A对应的约当阵中出现了两个约当块对应同一特征值-1，若要保证状态完全可控，中对应中相等特征值的全部约当块末行的那些行之间是线性无关的，即的第一行、第二行必须是线性无关的。中至少要有2个线性无关的列向量。由于非奇异线性变换不改变系统的可控性，中至少要有2个线性无关的列向量，即至少需要2个独立的控制变量。至少需要1个独立的控制变量。原因：由于特征值-1具有负实部，可以使系统渐近稳定。所以配置极点时只需配置特征值0对应的约当块。特征值-1对应的约当块即使不可控，也不影响系统的渐近稳定性。只配置可控部分即可，至少需要1个独立的控制变量。注：个人觉得这个题出的有点难，但是知识点都是大纲要求的，但综合性太强了，可以看一下这些知识点。三、解：（1）由图可知， 又 所以开环传递函数 （2）首先求出得1） 与负实轴的交点：由，此时 即与负实轴的交点是（-0.83，0）；2） ；3） ；Nyquist曲线如下：（3） 1）由Nyquist曲线确定使闭环系统稳定的K值；如图所示：当-0.83K>-1时，即K<1.2时，Nyquist曲线不包围（-1，j0）点，即N=0， 由于P=0，Z=0， 所以闭环系统稳定。 使系统稳定的K值范围是：2）用根轨迹方法验证： 绘制根轨迹步骤如下：开环极点， 数目 n=4;开环零点，数目m=1。系统有4条根轨迹。实轴上根轨迹段为，；渐近线与实轴夹角为；渐近线与实轴交点为；与虚轴的交点： 时， 得对应的与虚轴的交点是 根据以上参数地根轨迹图如下： 由根轨迹图可知，当，时，闭环系统稳定。 可见，与由Nyquist曲线得到的结论是一致的。（4）K=1时，闭环系统是稳定的，讨论稳态误差是有意义的。 所以稳态速度误差 稳态加速度误差 K=2时，闭环系统不稳定，此时讨论稳态误差是无意义的。四、解：（1）将原结构图化简可得到图a图a 等效结构图 频率特性 负倒特性曲线和曲线如图b所示： 由图可知，负倒特性曲线与曲线有交点。所以存在自激振荡，并且是稳定的自激振荡。（由不稳定区稳定区）图b系统曲线和曲线（2）由，得 自激振荡的频率 自振振幅 将振幅X折算到输出端，考虑到，所以输出振幅为 输出频率为 五、解：（1）开环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数（2）由 可见，闭环特征方程的根都在单位圆内部，所以整个控制系统稳定。（3）当为单位阶跃函数时，输入 （4）由于，除有一个极点在单位圆上外，所以零极点都在单位圆内部，故可取， 则 则 可见输出在1拍以后就完全跟踪输入。六、解：（） 令，则状态方程为： （）由，得 所以系统所有的平衡点为、。（）在平衡态处： 做偏差置换，令 将其线性化，得 两个特征值均具有负的实部，平衡点处是渐近稳定的。在平衡态处： 做偏差置换，令将其线性化，得 有一个特征值具有正的实部，平衡点处是不稳定的。2007年真题解析一、1d 2. b 3. c4 解：单位阶跃输入r(t)=1是单位斜坡输入r(t)=t的导数，则单位阶跃响应是单位斜坡响应的导数，即单位阶跃响应为对其做拉氏变换得，传递函数为5 解：由图可得，开环传递函数 则 速度误差系数 加速度误差系数 二、解：（1）系统的开环传递函数 根据分离点、汇合点的计算公式 依题意，得分离点，汇合点，代入上式 得 a=3，b=1 则开环传递函数 绘制根轨迹的步骤如下:开环极点， 数目 n=2；开环零点，数目m=1系统有两条根轨迹。实轴上根轨迹段为；渐近线与实轴夹角为；分离点，汇合点由以上计算得到的参数，得根轨迹如图所示： （2）根轨迹与虚轴的交点由，得特征方程为劳斯阵：要与虚轴有交点，则有一行全零，即辅助方程：综上，与虚轴的交点是，使闭环系统稳定的K值范围应是K>3。（3）在稳定的前提下，该反馈系统和标准二阶系统相比，系统的阶跃响应更快，而超调量增加。三、解：（）由题意，得 系统矩阵（）由于A为约当阵，且不同特征值对应不同的约当块。所以要使可控，需满足；要使可观测，需满足；四、解：（1）当时，开环传递函数 ，为非最小相位系统（不能按原来的规则画Nyquist曲线）。首先求出得1）可看出与负实轴无交点；2）；3）；Nyquist曲线如下： 从图中可看出，N=0，又已知P=1，所以Z=1，即系统有右半平面的根， 所以闭环系统对任何比例控制器都不稳定。（2）当时，开环传递函数 首先求出得1）与负实轴的交点：令，得 相应地 2）；3）；Nyquist曲线如下： 从图中可看出，当时，N=1，又已知P=1，所以Z=0，即系统无右半平面的根，闭环系统稳定。即的值应满足五、解：（）由题意知，系统为可控标准型。特征多项式为 可以求得，特征值幅值均小于1，所以系统稳定。（）由于系统可控，所以可通过状态反馈任意配置系统的极点。设状态反馈矩阵 希望的特征多项式为令= ，可得即将极点配置在-0.5，0.5，0的状态反馈矩阵为。六、解：（） 令，则状态方程为： （）由，得 所以系统所有的平衡点为。其中（）在平衡点，处： 做偏差置换，令 将其线性化，得 两个特征值均具有负的实部，平衡点，处是渐近稳定的。在平衡态，处： 做偏差置换，令将其线性化，得 有一个特征值具有正的实部，平衡点，处是不稳定的。2008年真题解析一：1：a 2: c 3:c 4:对 错 5:减小 不变 减小 减弱解析：1 ：系统闭环特征方程为：二阶离散系统可以有两种方法判断稳定性：直接求特征根，看是否在单位圆内；利用双线性变换，再利用劳斯判据。 解得，可见其根位于单位圆内部，所以系统稳定。 注：本题给出的是闭环传递函数，系统的稳定性只跟特征方程有关系，与闭环放大倍数无关，就可以直接作出判断了。2：当T=0.4时，系统开环传递函数特征方程为对上式进行双线性变换在进行劳斯判据。令，可得w域的特征方程要使系统稳定，则解得 0<K<7.269即 存在>0，使得当时，系统稳定。3 本题考查描述函数法稳定性的判定，及自激振荡点的判断。判据：曲线没有被所包围，则闭环系统是稳定的； 曲线被所包围，则闭环系统是不稳定的； 曲线与曲线相交，系统可能产生自激振荡。自激振荡点的判据：1）稳定区不稳定区：系统稳定； 2）不稳定区稳定区：系统不稳定。4 根轨迹是描述特征根的轨迹，根轨迹相同只能说明特征方程相同，即系统的闭环传递函数的极点相同。零点不同则会对应不同的传递函数。5 考查开环对数频率特性的“三频段理论” 低频段：决定系统的稳态误差，低频段越高越陡则稳态误差越小； 中频段：决定系统的动态性能，中频段越宽，快速性越好； 高频段：统抗高频干扰的能力，高频段越低、越陡，抗高频干扰能力越强。二：解：（i）由题意得，系统的闭环特征方程为整理得由已知，系统的闭环极点为-1，-1，-1，得特征方程为即 根据对应项系数相等得 a=4，b=7所以 ，另外两个极点为 。（ii）根轨迹绘制步骤：1） 开环极点，n=3，m=0，则系统有三条根轨迹；2） 实轴上根轨迹；3） 渐近线：有n-m=3条渐近线，与实轴夹角，于实轴交点；4） 分离点汇合点：由可得，分离点d=-1；5） 与虚轴焦点：可有两种方法判定：（一）劳斯判据 （二）将带入到特征方程中，根据对应项系数相等。解得即 当K+16时，根轨迹与虚轴相交，交点为。根轨迹如下图所示：（iii）由根轨迹图可知，使闭环系统稳定的K值范围为： 0<K<16.三：解：（i）由题意闭环传递函数所以由传递函数可以看出。系统的闭环特征根有负实部，所以系统是稳定的。（ii），所以系统不完全可控；所以系统不完全可观测。（iii）由可得，系统的闭环特征根 可根据的秩来判断各个特征值的可控性，也可以跟据可控标准型来判断。最后求的是不可控的，而要求配置的极点中恰好包含不可控极点-2，所以尽管系统不完全可控，仍可以通过状态反馈进行极点配置在-2，-3，-4。设反馈矩阵，则期望得到的特征多项式为令，根据对应项系数相等可得即 当，k取任意值时，通过状态反馈可将极点配置在-2，-3，-4。四：解：（i）由题意得，将代入上式整理得，根据对应项系数相等，得解得则当时，当时，令得，与实轴交点时或，交点坐标。奈氏图如下：（ii）开环传递函数由（i）可知，的奈氏曲线与负实轴的交点为，如下图所示由奈氏判据可知，系统有1个右半平面的开环极点，要使系统稳定，则曲线应逆时针包围(1， j0)一圈。此时应满足 ，即K的取值范围是：。注：本题需要注意的是，非最小相位系统奈氏曲线的画法及奈氏判据的应用，尤其是非最小相位环节的角度变化。五：解：（i）系统的开环脉冲传递函数为所以闭环脉冲传递函数为。（ii）当T=1，K=1，a=1时，系统输出所以，采样时刻的输出为：六：解：（i）系统的状态方程为令，得，即 系统有唯一的平衡点（0，0）。（ii）取，得则所以，当时，系统的平衡态不稳定； 当时，系统的平衡态稳定。七：解：由已知得，绘制非线性部分的辅导特性曲线和线性部分的奈氏曲线，如下图所示：由图可知，负倒特性曲线与G(j)曲线有交点。所以存在自持振荡，并且是稳定的自持振荡。（由不稳定区 稳定区）。令根据对应项系数相等得，当，时，由（1）得所以X的范围为：0<h<0.225注：熟悉掌握几种常用非线性部分辅导特性曲线的画法，以及自激振荡点的判定及求取。第 50 页 共 51 页