5.1一阶电路时域分析.ppt

第五章 电路的时域分析,电路时域分析的基本概念：零输入响应与零状态响应；自由响应和强迫响应；冲击响应和阶跃响应；固有频率和时间常数。,一阶电路的三要素分析法。,LTI电路的基本性质。,求解任意激励信号产生的零状态响应的普遍方法卷积积分。,(1) 零输入响应的定义 定义：LTI (Linear Time Invariant) 电路在外加激励信号为零时，仅仅由电路的初始储能所产生的响应，叫电路的零输入响应。,§5.1一阶电路时域分析,5.1.1 一阶电路的零输入响应,对于一阶有损动态电路：,的齐次方程的非零解，即为零输入响应yzp(t) ,同理，可推广至高阶电路。,(2) 一阶RC电路的零输入响应,列出电路结构规律方程KCL或KVL 列出电路元件规律VCR方程 将(2)代入(1)，即得到电路微分方程,建立电路微分方程的方法步骤：,如图示RC电路，开关闭合前，电容已经达到充分充电，电容电压uc(0)U0，当t =0时开关闭合，求RC电路接通后，电容电压uc(t)和电流的变化规律。,解： 在(t0)后，选 uc(t)为变量，建立微分方程（因为 uc(t)表征了电路中的储能状态，有承上启下的作用）。, 列KVL和KCL方程,(t0),KCL,KVL, 列元件VCR:, 化简得：,电路微分方程的求解,方法步骤： (1) 确定初始条件：由,(2) 求解微分方程,对于数学问题,解： 求初始条件，依据换路定理：, 求解： . 求特征方程： 设通解：,代入微分方程得：,. 设通解：,. 定常数k：,则,（只决定电路本身的结构，反应电路本身固有的性质，称为电路的固有频率，单位用/秒表示。 ）,所以RC电路的零输入响应：,（=RC 称为电路的时间常数，反应了电路本身的固有性质，决定电路的响应衰减的快慢，单位是秒。）,RC电路电容电压的变化规律 RC电路电容电流的变化规律,(3) 物理解释：,可见当t4时，电压uc(t)已下降到初始电压值U0的1.84%以下，一般已可近似认为衰减到零（理论上，仅当t时， uc(t) ）。因而愈小，与衰减愈快；愈大，与衰减愈慢。,当电路开关未闭合时:,当开关闭合(换路),因为储能有限，所以由换路定理得：,当t0后，电路闭合形成通路，所以通过RC电路放电，放电是按指数规律进行的，放电速度的快慢由e的指数决定。当t，uC=0，放电结束。,例：已知电路如下图所示，t0时电路处于稳态，t0时K1打开，K2闭合，试求t0时的i(t)。,解 因为t0时,所以只要求出uc(t) ，即可求得i(t)。, 建立电路微分方程,对节点A列KCL方程,对回路l列KVL方程,将(a)式代入(b)式得,列VCR方程, 确定初始条件 因为t0电路处于稳态，所以根据换路定律得, 求解微分方程,因为(c)式的特征方程为,所以,又因为,所以, 求i(t),例：已知电路如图，t0时开关k闭合，K闭合前电路处于稳态，试求t0时的i1(t)、 i2(t)和 iC(t)。,解：对于t0的电路建模得,于是得：,且,初始条件,解得,所以,4. 零输入响应与初始状态的关系,小结：一阶RC、RL电路，可用一阶微分方程来描述它的零输入响应,对于一阶RC电路：,对于一阶RL电路：,（1）从物理意义上说，零输入响应是在零输入时非零初始状态下产生的，它取决于电路的初始状态，也取决于电路的特性。对一阶电路来说，它是通过时间常数或电路固有频率来体现的。 （2）从数学意义上说，零输入响应就是线性齐次常微分方程，在非零初始条件下的解。 （3）在激励为零时，线性电路的零输入响应与电路的初始状态呈线性关系，初始状态可看做是电路的“激励”或“输入信号”。若初始状态增大A倍，则零输入响应也增大A倍，这种关系我们称为“零输入线性”。,零输入响应的特性如下:,对于例，我们也可以如下方法加以解决。,一阶电路的零输入响应为,所以,对电路断开C，令内部独立源为零，并外加电压源us，可求得代文宁电阻,初始条件,所以,则,5.1.2 一阶电路的零状态响应,(1) 零状态响应的定义 定义：线性时不变 电路在初始状态为零时，仅仅由外加激励f(t) 所产生的响应，叫电路的零状态响应。,对一阶电路：,的解yzs(t)叫电路的零状态响应。 上面的定义也适用于高阶电路。,对于高阶电路,的解yzs(t)叫该电路的零状态响应。,(2) 一阶RC电路的零状态响应： RC电路，开关闭合前（t0），电容初储能为0，t0后，K闭合，求uC(t)和 iC(t)。,建模,列KCL, KVL:,列VCR：,联解得：,求解,求初始条件,设解为,首先由齐次方程求通解uCh(t)，因为,求得通解得,设特解为,则,由全解表达式和零初始条件定系数k,所以,因为当t时，电路进入温态，C开路，uC()=Us，所以,(3) 物理意义：,可以证明在t期间,即：,供能 耗能,充电效率为50%,零状态响应：,(2) 一阶RL电路的零状态响应：,由对偶电路原理可得RL电路,小结：在恒定电压的激励下，一阶电路的零状态响应为：,的解,零状态响应的特性如下:,从物理意义上说，电路的零状态响应是由外加激励和电路特性决定的。一阶电路零状态响应反映的物理过程，实质上是动态元件的储能从无到有逐渐增加的过程，电容电压或电感电流都是从零值开始按指数规律上升到稳态值。上升的快慢由时间常数决定。 (2) 从数学意义上说，零状态响应就是线性非齐次常微分方程在零初始条件下的解。 (3) 当系统的起始状态为零时，线性电路的零状态响应与外施激励成线性关系，即激励增大到A倍，响应也增大到A倍。多个独立源作用时，总的零状态响应为各独立源分别作用的响应的总和，这就是所谓“零状态线性”。,例：图示电路，在t0时开关闭合，求t0。,解： 对电路ab左边代文宁等效：,所以,例 已知电路如图所示，且电感无初储能，当t=0时，开关K闭合，试求t0时的零状态响应uL(t),解（1）建立电路微分方程 选iL(t)为变量，在t0时，有 KVL方程：,KCL方程：,VCR方程：,三式联解得电路微分方程：,（2）求解 由换路定律可得：,微分方程的解应为,由初始条件式即可定出式中待定系数k=-1，所以,5.1.3 一阶电路的完全响应,一阶电路的完全响应,定义：LTI电路在初始储能（初始条件）和外加激励信号共同作用下，电路产生的响应叫完全响应。,对一阶电路：,的完全解y(t)叫电路的完全响应。 上面的定义也适用于高阶电路。,对于高阶电路,的解y (t)叫该电路的完全响应。,(2)电路完全响应的求解方法,解法1：叠加法 电路完全响应零输入响应零状态响应 即,方法步骤：RC电路为例 ()求零输入响应：,前已求出：,() 求零状态响应：,前已求出：,（）叠加：,解法2：经典法 电路完全响应自由响应强迫响应 即,方法步骤：,() 求齐次方程的通解： 如一阶RC电路,由前已知通解：,（）求特解：,设特解为：,代入上式得：,（）得全解表达式：,（）由初条定出全解表达式中系数k：,全响应,推广到一般：,(3) 几个基本概念： .自由响应：动态电路的完全响应中，已由初条确定待定系数k的微分方程通解部分，称为电路系统的自由响应，它的函数形式是由电路系统本身结构决定的，与外加激励无关。 .强迫响应：动态电路微分方程的特解形式，仅仅由激励决定，称为强迫响应； .暂态响应：动态电路全响应中，当t时，趋于0的部分，称为暂态响应； .稳态响应：动态电路全响应中，除去暂态响应，剩下的部分称为稳态响应。,(4) 两种解法的区别,相同点 () 零输入响应与自由响应都具有相同的函数形式，即按同一指数规律衰减，都满足齐次微分方程。,稳态响应,暂态响应,（）零状态响应与强迫响应都仅仅与输入激励有关，而与电路初态无关。,不同点（确定k的次序不一致） （）零输入响应中待定系数k仅由初条决定。自由响应中待定系数k由初条和激励共同决定。 （）零状态响应是由非齐次方程和0初条共同决定。强迫响应仅仅由非齐次方程决定。 （）本质区别：零输入响应，零状态响应满足叠加定理。 自由响应，强迫响应不满足叠加定理。,5.1.2 一阶电路的三要素分析法,设一阶有损电路，在电路中动态元件的初始贮能和恒定输入激励信号共同作用下的完全响应为y(t)，而y(t)可以是uC(t)、iL(t)，也可以是uR(t)、iR(t)、iC(t)、uL(t)，则电路的完全响应为：,从这个响应的公式可知：一阶电路的响应完全由y(0+)、 y() 和所决定。即是说，完全由电路初值，稳态值和时间常数三个要素所决定。,三要素法使用条件 (1) 一阶有损电路（RC,RL） (2) 恒定输入信号,对于一阶RC电路：,对于一阶RL电路：,计算方法和步骤 (1) 由t0电路，求出电路的初始值y(0+)； (2) 由t0时电路，求出电路的稳态值(终值) y() ： 作t时电路，（电容开路，电感短路），求此时的直流电阻电路得y() 。 (3) 求出时间常数,R是指动态元件两端的等效代文宁电阻，对于不同电路结构，R是不同的。,例1：已知电路如图，开关K在t0时，由a打向b，开关闭合前电路处于稳态，求uC(t) ，并指出零输入响应，零状态响应，自由响应，强迫响应。,解：(1) 求uC(0+) 因为 换路前电路处于稳态， uC(0-)40V,所以 uC(0+)uC(0-)40V,（2）求uC() 因为t，电路又处于稳态，即C开路，则电路有,(3) 求 将输出端短路，求Isc 由KVL得：,而由KCL得：,所以：,例2：如图所示电路，t0时，开关K1打开，经过0.01s，K2闭合，开关K1动作前，电路处于稳态。求t0时的iL(t),解：电路工作状态可以分为两个阶段：0t0.01s和t0.01s (1) 求0t0.01s 时 iL(t): . 求iL(0+) 因为t0时，K1闭合，10mA流过K1 ，所以iL(0-)=0 由此得：iL(0+)iL(0-)0,.求iL() 电路如下图, 求 对t0电路，令内部独立源为0，求L两端代文宁电阻,(2) 求t0.01s .求iL(0.01+)，此时电路如图,.求iL()，电路如图,因为cd两点短路，所以 iL(), 求 电路如图，,因为t0.01s，所以R=200，则 1=1/200(s), 代入公式,