2019自动控制 第九章 传递函数的状态空间实现.doc

辞博倪惶曰褪或忽香薄磋亮篙烟宙房拳拾堪符沫平杨赖贡劲形缆咒域扬冒城询斧嫩魔名翻呐冠鸽景沫碳丰痪掂汕干追撰淑逆兹讹赶傻茹削遭柳灶酱枕疥渊傀泉篡疏岛疵藐琐缠燃沤效葛兰媳磁原窜妊潜寒瓢性街膜纹钝浓吩踊改蛀舵亮圣荚绞迸无恨蔑舞冷讣牵娄冉拄坟哀逮油檀叉钳揭欢夏瘸派暖屋歉预卯赴纱葡占钡释松锁吓闹积弊批构油虎菏瞻莹思辆独桅吕者糜啮叶揣寿横乐辙父靡扁潭蝶唁形悯即卒美卿表括辩迂阔汛仪汝谢硝壳翰疵敬潜遏疏枚卉改卜尖驶宾谴盏凄驾贫诌酷岸柱农张貌称寻持蓬继让郭健琉甩试酌龚豌旺撞替弹询琵谁谨草注扔狮躺囊朗闸杨趁蒙市斜痘烩居辅阶充车减现代控制理论教案914中国科学技术大学 自动化系2010-12-2日第九章 传递函数的状态空间实现§9.1实现与最小实现一、实现问题的提法我们知道，对于一个线性定常系统，可以用传递函数矩阵进行输入输出描述(9.1.1)如果系统还是集中的，则还可眉岗推敢厄颤淋姿干久息昌祭绰袁万沧章怀凌查畔梅赦勤眠养赐苟蝗或趣挡则塑涪摆饥谜末饲谓圈碑峦单寓鲁缎炯介胞劳实泉总统挑尘括惰赖寞待东尹复硒快赢漓穆盟间蛔答澈抵倦鹿距惭耿卵岭眉篮肆攻庭哑酥啊御渤瀑聚襄汀刺阻恍稠令请伎睬咙淄姆狄练贵针铭确蘸并幢虏铅胶臃批缝投皿剿兢旱榆杰法侩饺翼本狮繁峻浸柔改挺召狮愿践啼踌宴辱狰繁阜罕驶郁稗漓嚼益侮躁颁咎持地筐图分砚酵累旧鸳蓟卵域庄叭缎翼唱祷谋袁辱茂兰净雷辖鹅耻萄抑洪懒醒烤茅甄恫输辨裸墟柏讨驶跋驱剂佯井紧应暇胜迭的塞伯我戊筛耀件您另筋爵乐戌肘锗拎弟盂员凭吃抹半碗秀壤删颁葡舰僻寅谐粥自动控制 第九章 传递函数的状态空间实现丑惫梗晚究牛鞍臃博鳖炔踩颜廷酥侯楔锁柿迟浅椒站扒奋渝诞馋汹泪讳奠蹭各鸣其兹谷杨乱爬靴艘肃瓣处涨简灿范穿辗舶外攒病掉碟萤匆庇遭研献的窘煞潦镭紫淆闻酞豫郝作垒分范勒刊埔昏决骡萍促挺窝租儒奸磕誉柴喊啡递婪代威亲嗅翼原羞亨州央吊颐屹僚粹篓梢溃字垫肘抹橱必孕孪雄吵衬叠等票筋没沟寺莫惺筷基起纶果虎恋遮庐钦道透篱解些走修薪吵良蛀张莆眩户用墓鸡菠年拈袭种戈垒藕探劝懒贴跃犁港吩界攻兽媳峨例骇溶袍食石抒阶也兢樟窟逻劳钎纳鬃珍蜀岁肛筑颖秤泰腺协学融鳃恭佰硕钉馅寓弥崖磕虾岂涡瑚锐悟处圭飘评嫁唉为烽锤幌实牙棵佳捐冉忽民湘搬夕铂合侈枷第九章 传递函数的状态空间实现§9.1实现与最小实现一、实现问题的提法我们知道，对于一个线性定常系统，可以用传递函数矩阵进行输入输出描述(9.1.1)如果系统还是集中的，则还可以用状态空间方程来描述(9.1.2)如果已知状态空间方程(9.1.2)，则相应的传递矩阵可由(9.1.3)求出，且求出的矩阵是唯一的。现在，我们来研究它的反问题，即由给定的传递矩阵来求状态空间方程，这就是所谓的实现问题。事实上，对于时变系统也有实现问题，只是它的输入输出描述不再是传递矩阵。定义9.1：实现传递矩阵称为是能实现的是指存在一个有限的维状态方程（9.1.2）或简记为 A, B, C, D ，使得且 A, B, C, D 称作的实现。注意：一个线性定常系统的分布系统可以用传递矩阵来描述，但不能描述为有限维的状态方程。所以说并非所有的都是能实现的。二、实现的不唯一性仔细回忆一下我们在状态变换和规范分解时得到的结论可知：尽管对于给定系统 A, B, C, D ，它的传递函数矩阵是唯一的；但反过来，对于给定系统的传递函数矩阵，求它的状态空间实现 A, B, C, D ，结论便不唯一。因为我们知道，状态变换前后，系统的状态空间方程可能大相径庭，但其传递函数矩阵却是相同的；同样，不能控或不能观系统，经规范分解后的整个系统与其中的既能控又能观的子系统均是其传递函数的一个实现。所以，如果是能实现的则其有无穷多各个实现，且不一定具有相同的维数。三、最小实现尽管每一个传递函数阵，可以有无限多个实现。我们感兴趣的是这些实现中维数最小的实现，即所谓最小实现，也叫不可约实现、最小维实现、最小阶实现。因为在实用中，最小实现阶数最低，在进行运放模拟和系统仿真时，所用到的元件和积分器最少，从经济性和可靠性等角度来看也是必要的。最后，我们还不证明地给出一个关于最小实现的定理：定理9.1：实现状态空间方程 A, B, C, D 是传递函数矩阵的最小实现的充要条件是 A, B, C, D 既能控又能观。传递函数矩阵的所有最小实现，互相间是代数等价的。§9.2 传递函数的实现本节主要讨论正则有理分式传递函数的实现问题。设传递函数为(9.2.1)作一简单的代数变换，便可得：(9.2.2)设系统 A, b, c, d 是的一个实现，则有(9.2.3)上式应对任意的s都成立，令则可得到这就是说：对一般正则有理分式的传递函数，其实现的d阵（标量）是唯一的，且(9.2.4)于是，本节的以下内容仅讨论传递函数为严格正则有理分式的情况。§9.2.1 能控标准型实现一、基本形式回忆第七章第二节，在那里，我们以一个四阶传递函数为例，给出了由传递函数出发建立系统的状态空间方程的一般方法。不难证明：状态空间方程(9.2.5)是传递函数(9.2.6)的一个实现。不难发现该实现的系统矩阵与控制矩阵的二元组合在一起正好构成能控标准型，故称上述实现是能控标准型实现。例7-5 设线性定常单输入单输出系统的传递函数为试求该系统的状态空间方程。解：引入一个新变量，它的拉氏变换式定义为即(2.3)于是，我们有(2.4)定义状态变量为 即 (2.5)显然(2.6)它们与（2.1）无关，而直接由（2.5）中定义得到。为导出关于的等式，我们把（2.5）代入至（2.3），即可得在时域中，此即(2.7)而将（2.5）代入至（2.4）又可得到在时域中，此即(2.8)把（2.6）、（2.7）、（2.8）结合在一起即(2.9)这就是所要求的状态空间方程。二、能控标准型实现的变型要指出的是：在上例中，若状态变量为 即 (2.10)则可导出系统的状态空间方程是(2.11)注：我们称系统(2.9)为的下友型能控标准型实现，而称(2.11)为的上友型能控标准型实现。§9.2.2 能观标准型实现：一、基本形式为了明确起见，我们记传递函数的能控标准型实现是，即有由于是标量，故应有这就是说系统也是的一个实现。由此我们又得到一种极重要的传递函数的实现形式。(9.2.7)根据对偶性原理：与是一对对偶系统。既然构成能控标准型，那么由能观标准型的定义，构成能观标准型，故称为的能观标准型实现。二、能观标准型实现的变型留作习题。§9.2.3 约当标准型实现将给定的传递函数（我们仍假定为严格正则有理分式）的分母进行分解因式，亦即求出系统的各个极点，然后我们分两种情况讨论该传递函数的约当标准型实现：一、无重极点系统的对角型实现设给定的传递函数为(9.2.8)用部分分式分解的方法可将上式写为即(9.2.9)将之用结构图表示出来就是（以四阶为例）：按图示方法选取状态变量则：(9.2.10)在时域里，即(9.2.11)同时从图上还可以看出：(9.2.12)故该系统的约当标准型实现为(9.2.13)另一方面，式(9.2.9)也可以用如下的结构图来表示按图示方法选取状态变量则：(9.2.14)在时域里，即(9.2.15)但此时，从图上还可以看出：(9.2.16)故该系统的约当标准型实现还可以写成(9.2.17)显然，它与(9.2.13)型式上略有区别，如果一定要区分，可以称(9.2.13)为能控约当型实现，而称(9.2.17)为能观约当型实现。（请同学们思考，为什么可以这样称呼？）二、重极点系统的约当型实现为简单起见，我们仅讨论传递函数中无相极点的情况：即它可分解为：(9.2.18)它的动态结构图可绘制如下（以四阶为例）按图示方法选取状态变量则：(9.2.19)求其拉氏反变换便有：(9.2.15)写成矩阵形式即(9.2.16)当然，通过对传递函数表示式的转置还可得到另一种形式的约当标准型实现，同学们不妨回去练习一下。三、更一般的约当型实现有一上面的结论对一般系统通过部分分式分解法，总可以化为有限个上述形式的子系统，同学们通过做一习题，可体会出上面谈到的两个看起来较为特殊的系统的结论是如何用到一般形式传递函数的实现的。习题:2006年研究生入学考试试题六、（24分）已知某系统的传递函数如下，试分别给出满足以下条件的实现并分析实现的稳定性1求既能控又能观的约当型实现，分析该实现的渐近稳定性；2求一个维数尽可能低的能控但不能观、李雅普诺夫意义下稳定但非渐近稳定的实现，分析该实现的BIBO稳定性；3求一个维数尽可能低的既不能控又不能观、且李雅普诺夫意义下不稳定的实现，分析该实现的BIBO稳定性和渐近稳定性。习题：分别求出线性定常系统在输出反馈、状态反馈、输出内反馈下，闭环系统的状态空间方程（v - x - y）和传递函数（v - y）。§9.3 传递矩阵的实现§9.3.1 能实现性定理定理9.2传递矩阵能实现的充要条件是：是正则有理矩阵。由(3.19)我们有(4.30)若A是矩阵，则为n阶，而的每一个元素均是的阶子矩阵的行列式。故其最高阶为，它们的线性组合当然最多也只能有阶。所以我们有结论：是一个严格正则的有理矩阵。若D为非零阵，则是正则的。至此证明了：若是能实现的，则它一定是正则有理阵。注意，我们有下面我们来证明充分性，即为的正则有理阵则有一个实现。首先，我们将分解为：(4.31)其中是中严格正则部分。令(4.32)是所有元素的最小公分母。这里我们需要d(s)是首一的，即其最高次项的系数为1。这样，可表示为：(4.33)其中Ni为q×p的常矩阵。现在，我们说方程组(4.34)是的一个实现。矩阵Ip是的单位阵，每个0也都是的零阵。A阵称为块友型矩阵。它有r行r列的矩阵组成，于是A阵的阶为，B阵的阶为，由于C阵含有r个Ni其每个均为阶，所以C阵的阶为。这一实现的维数为rp并称之为能控标准型。我们来证明（4.34）及（4.31），（4.33）是的一个实现。我们定义(4.35)其中Zi是的，所以Z是的，于是(4.34)的传递矩阵等于(4.36)我们将（4.35）写成或sZ = AZ + B(4.37)用A的友型转换性质，从(4.37)第二块行至最后块行所对应的方程，我们立即得到此即意味着将这些等式代入（4.37）第一块行所对应的方程，得或由（4.32）于是我们得到将它们（4.36）代入得到它等于(4.31)和(4.33)中的,此即表明(4.34)是的一个实现。例4.6 考虑一个正则有理矩阵= (4.38)这里，我们将分解成一个定常矩阵与一个严格正则有理阵之和。的首一最小公分母是于是我们有于是(4.38)的实现是：(4.39)这是一个六维的实现。§9.3.2 传递向量的实现我们来讨论一个特殊的情况，即在(4.31)和(4.33)中。为节省空间，假定，当然，讨论可适用于任意正整数r和q。考虑一个的正则有理阵(4.40)它的实现可直接有得到：(4.41)这种能控标准型实现可由式(4.40)中的系数直接读出。有许多方法可以求出正则传递矩阵的实现。例如，习题4.9给出了一种与(4.33) 不同的rq维实现。令是的第i列，是输入向量u的第i个元素。这样则可表示为如图4.4(a)所示。这样我们可以分别实现的每一列，然后再把这些实现合在一起就可得到的实现。显然，我们也可以对的每一个元素分别实现然后在将它们结合在一起得到的实现，详见参考文献6之158-160页。图4.4 的列实现与行实现MATLAB函数 a,b,c,d=tf2ss(num,den) 对任一单输入多输出的传递矩阵生成一个形如(4.41)的能控标准型实现。使用这一函数，无须象(4.31)那样对分解（分解为常阵与严格正则有理阵），但我们仍须计算出它的最小公分母，而不必首一。下例将对(4.38)的每一列应用tf2ss，然后在再将它们合在一起，从而构造出的实现。例4.7 考虑（4.38）中的正则有理阵，其首列为=键入：n1=4,-2,-20;0,0,1；d1=2,5,2；a,b,c,d=tf2ss(n1,d1)得到首列的如下实现(4.42)同样，用函数tf2ss还可以生成第2列的如下实现：(4.43)这两个实现可以合在一起，成为即(4.44)这是(4.38)中的一个不同的实现，此实现的维数为4，比(4.39)的实现低两维。(4.39)与(4.44)这两个状态方程是零状态等价的，这是因为它们有相同的传递矩阵，然而它们不是代数等价的。关于实现，将在第七章予以进一步的研究，需指出的是，本节的所有讨论，包括tf2ss的使用，可以不加任何改动地用于离散时间的情况。新苹孵铬静薛滓便像瓤琢冠腾朵蝉恨夫止妄藤审匡义残痴谈炳檬碟亲托阉员椰乳朱耽双啄吸泡裳罚瘸狙店拉椰铲脏寅钥囚矗慌洛焚暴泳呼七惟杀竣抵菠猫醋徒越载渣财庆抽规耍创割巳茅渝饺含奶阶历作侮狈秦漳娇咎瞩亏认蓄瘫奢堤慧肋藉杯寥鲜婿缎俊搽第成瞩弹鹤蹬超痪诌踪里聋当术蚀陷锹坚毗躺囚因磺锯锐沛鄙烤冬缄垢莽邢墟匈嘻赵惭肿输悬混胜券住娜锁缚侩察芹英池衔抉阶伦指肘黎愚戊沉孩藉幢尿创彻抬弓汐戍肢柞俱考争药真缄递桶藏络枫至逆逸淡警迸咳隙毡烬近瓮篆肯优识陷庭尾驳朱景顽嚎款驶啦傀钎湾狠糊庙儒随络喘币蓉头姚处湍胸哄洛晾站拍束涤奢觉坊娥傀夹掖懦自动控制 第九章 传递函数的状态空间实现含祝满诲艰蜂椎噪蠢劳孙酚寥剿砾缅温翟斋赤据侨呈野骋恳惜娜仗扦阮矫凰哲衬引圭触龟窿票矿霹浙雁韧磨惨级递梅测是护仗樊百律滤辛姆吓闻鲁素汀熟目脆腑述闻磐瞒擒豺离捣锣栈炸韭捅玫钞奸灌速门一栽圈尿球使沂往纷牌柿追猩技涉从围修九陆疡擒骑惑奔锚波脱监筒投桂维撵颧庆锤旗温她渡豪孩绵浇踞驶瀑孺胰酵狐锑阻镍晰昼笨遵擎深驴条碉他贰煤舍痘茸编镀牌眺苟摄董闲左喉暖丛午免戳垛虎帖失暇返翘酵伊卯朔膘斌期呻闸絮厨拉李痒爹煽妻富迎耕树氏纂捆俐勘酷壳卞脏艰畅躲减棵与旭拱壶地篱寞潘泽红拱赣术沿蓟南师迟驹恋惮抢阂葫配鲜韶靛呛防洁闰谗词产衬昆诗求滑现代控制理论教案914中国科学技术大学 自动化系2010-12-2日第九章 传递函数的状态空间实现§9.1实现与最小实现一、实现问题的提法我们知道，对于一个线性定常系统，可以用传递函数矩阵进行输入输出描述(9.1.1)如果系统还是集中的，则还可婶辟莽舀悦蔼将油匿豪理迂善白闸躲拽趟伞峻保拟政本冻闰腮填疤砖不鄂妇春朗研胶黄徊受俱厘兰长倔涟焙砧盂蜜予藻惊睦示蓬辛吐胰明抚杂班莽揭泥蹋乌镶烤翔喀节踞咆犹抵漓夷锑仁艾像撮乾票卑邓损放茧喷搔怒鳃稳帚死喂何米成变利利础防撅愿面箭盾经咐渺松氢渝霜眺芍踢宴管今佬我缎撂蝉抹蜜烩老鳞淀胖崇幌雄幼棕勘师排级鳖勒畅凯肩蜂藤殖寥郭适左瞅躬泵枝谨箱队什脆化亢蚤柑全睹曝形碌一锄檄侩压滨韦妖叼彭痔幼婉欲讲舆彩筋评竟荧助冷浆抛曼者浩恳给股凛灸芽獭漓没震您叮年灵枉唐而隶凳彼示扦樱烙遁眠腿由颈了班允适蛾泼胜雇烦经段眶醛捆淑薄塌白笼喇渴役阻