四川省成都经济技术开发区实验中学校2019届高三数学12月月考试题理2019012402208.wps

成都经开区实验中学 20162016 级高三上学期 1212 月月考试题 数学（理工类） （考试用时：120分 全卷满分：150分 ） 注意事项： 1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。写在 试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B铅笔涂黑。答案写在 答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5.考试结束后，请将答题卡上交； 第 卷（选择题部分，共 60分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1已知集合 AzC|z12ai，aR，BzC|z|2，则 AB 等于( ) A1 3i,1 3i B 3i C12 3i,12 3i D1 3i 2. 若复数 的实部和虚部互为相反数，那么实数 等于（ ） A. B. C. D. 2 3. 设等差数列an 前 n 项的和为 ，若 S ，则 S 4 20,a 10 a n 5 16 A. -32 B. 12 C. 16 D. 32 4. 设函数 ，给出下列四个命题： 1 当 时， 是奇函数； 当 ， 时，方程 只有一个实数根； 函数 可能是 上的偶函数； 方程 最多有两个实根. 其中正确的命题是（ ） A. B. C. D. 5某企业有 4 个分厂，现有新培训的 6 名技术人员，将这 6 名技术人员分配到各分厂，要求 每个分厂至少 1 人，则不同的分配方案种数为（ C ） A1080 B480 C1560 D300 6. 函数 y x sin | x |, x , 的大致图象是 A. B. C. D. 7. 执行如图所示的算法框图，输出的 值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为 1 的正方体 中，点 ， 分别是棱 ， 的中点， 是侧面 内一点，若 ，则线段 长度的取值范围是（ ） 2 A. B. C. D. 9. 如图所示，在边长为 1 的正方形组成的网格中，画出的是一个几何体的三视图，则该几何 体的体积是（ ） A. B. C. D. 10. 若函数 满足 且 的最小值为 4，则实数 的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 11.A是抛物线 上的一点，F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点，当 时， y2 2px p 0 AF 4 OFA 120 ,则抛物线的准线方程是（ ） A. x 1 B. y 1 C. x 2 D. y 2 12.已知 a、b R,且 ，若 为 的最小值，则约束条件 2ab 2a2 2b2 9 0 M a2 b2 | x 2 x | y 2 | y | 3M , 2M. 所确定的平面区域内整点（横坐标纵坐标均为整数的点）的个数为（ ） A.29 B.25 C.18 D.16 3 第 卷（非选择题部分，共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分。第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 2223题为选做题，考生根据要求作答。 二、填空题：本题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分。 2 13点 P 从 (0,1) 出发，沿单位圆逆时针方向运动 弧长到达 Q 点，则 Q 点的坐标 3 为 . 14.已知 a 0 ，且 a 1，函数 y log 2x 3 2 的图象恒过点 P，若 P 在幂函数图像上， a 则 f 8) _ 15. 若 的展开式中含有常数项，则 的最小值等于_ 16. 已知椭圆 是椭圆上的两点，线段 的垂直平分线与 轴相交 于点 ，则 的取值范围是_（用 表示） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.（本小题满分 12分） 如图，已知 D 是 ABC 边 BC 上一点. （1）若 B 45 ，且 AB DC 1，求 ADC 的面积； （2）当 BAC 90 时，若 BD : DC : AC 2 :1: 3 ，且 AD 4 2，求 DC 的长. 4 18. （本小题满分 12分） 已知数列 满足 ， . （1）求证：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式； （2） 令 ，求数列 的前 项和 . 19. （本小题满分 12分） 为普及学生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能 力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，现将所有参赛选手 参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为 分）进行统计，制成如下频率分布表. 分数（分数段） 频数（人数） 频率 合计 （1）求表中 ， ， ， 的值； （2）按规定，预赛成绩不低于 分的选手参加决赛.已知高一（2）班有甲、乙两名同学 取得决赛资格，记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为 ，求 的分布列和数学期望. 20（本小题满分 12 分） 已知四边形 ABCD 的四个顶点在椭圆C ： x 2 3 y2 1上，对角线 AC 所在直线的斜率为 5 ，且 AB AD ，CB CD 1 （1）当点 B 为椭圆C 的上顶点时，求 AC 所在直线方程； （2）求四边形 ABCD 面积的最大值 21.（本小题满分 12 分） 已知 ( ，且为常数). (1)求 的单调区间； (2)若 在区间 内，存在 且 时，使不等式 成立， 求 的取值范围. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题 号. 22. （本小题满分 10分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的 极坐标方程为 ， . （1）求 的直角坐标方程； （2）曲线 的参数方程为 （为参数），求 与 的公共点的极坐标. 23. （本小题满分 10分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . 6 ()若不等式 对 恒成立，求实数的取值范围； ()当 时，函数 的最小值为 ,求实数的值. 成都经开区实验中学 2016 级高三上学期 12月月考试题 数学（理工类）参考答案 1.【答案】A 【解析】 AB 中的元素同时具有 A，B 的特征，问题等价于|12ai|2，aR，解得 a 3 ± .故选 A. 2 2.【答案】A 【解析】 ， 因为该复数的实部和虚部互为相反数，因此 ，因此 。 故选 A. 3.【答案】D 4.【答案】A 【解析】 【分析】 利用函数的解析式结合奇偶性，单调性的定义逐一考查所给函数的性质即可求得结果 【详解】当 时，函数 ，则函数 是奇函数，故正确 当 ， 时， 函数在 上是增函数，且值域为 ，则方程 只有一个实数 根，故正确 若函数 是 上的偶函数，则 ，即 ，不存在等式在 7 上成立，故错误 当 ， 时，方程 有三个实根： ， 因此，方程 最多有两个实根错误 综上所述，正确的命题有 故选 5.【答案】C 6.【答案】C 7.【答案】C 【解析】 第 1 次判断后 S=1，k=1， 第 2 次判断后 S=2，k=2， 第 3 次判断后 S=8，k=3， 第 4 次判断后 33，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8. 故选 C. 8.【答案】B 【解析】分析：先判断出点 的位置，确定使得 取得最大值和最小值时点 的位置，然后再 通过计算可求得线段 长度的取值范围 详解：如下图所示，分别取棱 的中点 M、N，连 MN， ， 分别为所在棱的中点，则 ， MNEF，又 MN 平面 AEF，EF 平面 AEF， 8 MN平面 AEF ， 四边形 为平行四边形， ， 又 平面 AEF，AE 平面 AEF， 平面 AEF， 又 ， 平面 平面 AEF P 是侧面 内一点，且 平面 AEF， 点 P 必在线段 MN 上 在 中， 同理，在 中，可得 ， 为等腰三角形 当点 P 为 MN 中点 O 时， ，此时 最短；点 P 位于 M、N 处时， 最长 ， 线段 长度的取值范围是 故选 B 9.【答案】A 【解析】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥 ABCD， 三棱锥的外面是长、宽、高为 6、3、3 的长方体， 几何体的体积 V= =9， 故选：A 9 10.【答案】C 【解析】 由约束条件作出可行域（如图），当目标函数 经过 可行域内的点 时， 取得最小值，即 ，解之得 故选 C. 11.【答案】A 12.【答案】A 3 1 ( , ) 2 2 13. 14.2 2 15.【答案】2 【解析】在 的展开式中，求出它的常数项以及含 的项，可得结论 【详解】 的展开式中，通项公式为 令 展开式中含有常数项，当 时， 取最小值为 5； 令 展开式中含有常数项，当 时， 取最小值为 2； 综上可知： 取最小值为 2， 10 故答案为：2 16.【答案】 【解析】设 的坐标分别为 和 因线段 的垂直平分线与 轴相交， 故 不平行于 轴，即 又交点为 ，故 ，即 在椭圆上， 将上式代入，得 ，可得 且 ， 即答案为 2 1 2 AE.DC 17.【解析】（1）过 A 点作 AE BD 求得 AE= 则 ADC的面积 6 分 2 2 4 AC 3 设 BC 3 （2） DC a,则BD 2a,AC 3a,在 ABC中 cos ACB -9 分 在 ADC中由余弦定理可得DC 4 12分 （其它解法酌情给分） 18.【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）由 知： ，利用等比数列的通项公式即可得出； （2）bn=|112n|，设数列112n的前 n 项和为 Tn，则 当 n5 时，Sn=Tn；当 n6 时，Sn=2S5Tn 【详解】（1）证明：由 知 ， 11 所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列. 则 ， . （2） ， 设数列 前 项和为 ，则 ， 当 时， ； 当 时， ； 所以 . 19.【答案】（1）见解析；（2）1 【解析】（1）由题意知，参赛选手共有 50人，由此能求出表中的 x，y，x，s，p 的值 （2）由题意随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量 X 的分布列和随机变量 X 的数学期望 【详解】（1）由题意知，参赛选手共有 （人）， 所以 ， ， ， . （2）由（1）知，参加决赛的选手共 人，随机变量 的可能取值为 ， ， ， ， ， ， 随机变量 的分布列为： 12 因为 ， 所以随机变量 的数学期望为 . 20.【答案】（1） 1 y x ；（2）3 2 【解析】（1）因为 AB AD ，CB CD ，所以对角线 AC 垂直平分线段 BD 因为直线 AC 的斜率为 1，则直线 BD 所在直线的斜率为1 又因为 B0，1，则直线 BD 所在直线方程为 y x 1·······1分 2 3 2 3 x y 由 y x 1 ，解得 D 3 1 ， ·······2 分 2 2 3 1 则 BD 中点 P 的坐标为 ， ·······3分 4 4 所以 AC 所在直线方程为 1 y x ；·······4分 2 （2）设 AC ， BD 所在直线方程分别为 y x m， y x n ， Bx ，y ， Dx ，y ， BD 中点 P x ，y 1 1 2 2 0 0 2 3 2 3 x y 由 y x n ，得 4x2 6nx 3n2 3 0 ， 令 4812n 0 ，得 n2 4 ， 2 3n x x ， 1 2 2 x x 1 2 3n 3 2 ·······6分 4 13 6 4 n2 则 BD x x y y ， 2 2 1 2 1 2 2 同理AC 6 4 m 2 ，·······8 分 2 3 4 m 4 n 2 2 1 则 四边形 ·······9 分 S AC BD ABCD 2 4 x x P n n 3 又因为 x 1 2 n ，所以 BD 中点 3 1 ， 0 2 4 4 4 由点 P 在直线 AC 上，得 n 2m， 3 4 m 1 m 2 2 1 所以 S AC BD 四边形 ·······11 分 ABCD 2 2 因为 n2 4 ，所以 0m2 1， 所以当 m 0时，四边形 ABCD 的面积最大，最大面积为3·······12 分 21.【答案】(1) 时， 单调递增区间为 ，单调递减区间为 时，函数 单 调递增区间为 ，单调递减区间为 .(2) 【解析】试题分析：(1)求导 ，分类讨论可得到 的单调区间； (2)由(1)知， 在区间 上单调递减，不妨设 ，则 ，不等 式 可化为 ，构造新函数 ，则 在区间 上存在单调递减区间，可转化为 有解，即 有解，令 ，讨论其性质可得 ，故 . 试题解析： (1) ( 且为常数)， ，若 时，当 ， ；当 时， ，即 时，函数 单调递增区间为 ，单调递减区间为 14 . 若 时，当 ， ；当 时， ，即 时，函数 单调递增区间为 ，单调递减区间为 . (2)由(1)知， 在区间 上单调递减，不妨设 ，则 ， 不等式 可化为 ，即 ，令 ，则 在区间 上存在单调递减 区间， 有解，即 ， 有解， 令 ，则 ，由 得 ，当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减， ，故 . 22.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）利用公式 化简极坐标方程得到 ；（2）由题 设可知， 是过坐标原点，倾斜角为 的直线，将 代入 ，解得： ， 故 公共点的极坐标为 . 试题解析： （1）将 代入 得： . （2）由题设可知， 是过坐标原点，倾斜角为 的直线， 因此 的极坐标方程为 划 ， 将 代入 ，解得： ， 将 代入 得 ，不合题意，故 公共点的极坐标为 23.【答案】（） ；() . 15 【解析】试题分析：（1）由绝对值不等式可求得实数的取值范围.(2)以零点 和 分三段讨论。 试题分析：() 可化为 解得： 或 实数的取值范围为 （ ）函数 的零点为 和 ，当 时知 如图可知 在 单调递减，在 单调递增， 解得： 16