二次函数图像与性质1.ppt

二次函数的图 象和性质（1） (1)观察y= x2的表达式，选 择适当的x值，并计算相应 的y值，完成下表： x -3-2-10123 y=x29410149 (2)在直角坐标系中描点 （按x的值从小到大，从左 到右描点） (3)用光滑的曲线连接各点， 便得到函数y=x2的图象 （能用直线连接吗？） 议一议 对于二次函数y=x2的图象， (1)你能描述图象的形状吗? (2)图象与x轴有交点吗? 如果有，交点坐标是什么? (3)当x0时呢? (4)当x取什么值时，y的值最小? 最小值是什么?你是如何知道的? (5)图象是轴对称图形吗? 如果是，它的对称轴是什么? 请你找出几对对称点，并与同 伴进行交流 可以看出，二次函数y=x2的图像是一条曲 线，它的形状类似于投篮球或掷铅球时球 在空中所经过的 路线，只是这条曲线开 口向上。这条曲线叫做抛物线y=x2 。实 际上，二次函数的图像都是抛物线，它们 的开口或者向上或者向下。一般的，二次 函数y=ax2+bx+c的图像叫做抛物线 y=ax2+bx+c 二次函数y=x2的图象是抛物线. （1）抛物线的开口向上； （2）它的图象有最低点，最低点的 坐标是（0，0）； （3）它是轴对称图形，对称轴是y 轴。在对称轴左侧，y随x的增大而 减少；在对称轴右侧，y随x的增大 而增大。 （4）图象与x轴有交点，这 个交点也是对称轴与抛物线 的交点，称为抛物线的顶点 ，同时也是图象的最低点， 坐标为（0，0）； （5）因为图像有最低点，所 以函数有最小值，当x=0时， y最小0. 在同一直角坐标系中，画出函数y= x2，y=2x2的图象。 x-4-3-2-101234 y= x2 0228 8 x-2-1.5-1-0.500.511.52 y=2x2 0228 8 -1 -6-4-2246 x 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y y=2x2 y= x2 0 -6-4-2246 x 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y y=2x2 y= x2 0 当a0，图象开口向上 顶点是抛物线的最低 点，a越大开口越小 反之越大 对称轴 做一做 二次函数的图象y=-x²是什么形状? 先想一想,然后作出它的图象 它与二次函数y=x²的图象有什么关 系?与同伴交流。 总结： 二次函数y=-x2的图象是抛物线. （1）抛物线的开口向下； （2）它的图象有最高点，最高点 的坐标是（0，0）； （3）它是轴对称图形，对称轴是 y轴。在对称轴左侧，y随x的增大 而增大；在对称轴右侧，y随x的增 大而减少。 （4）图象与x轴有交点，这个交点 也是对称轴与抛物线的交点，称为 抛物线的顶点，同时也是图象的最 高点，坐标为（0，0）； （5）因为图像有最高点，所以函数 有最大值，当x=0时，y最大0. 探究 画出函数y=-x2,y=- x2,y=-2x2的图象，并考虑 这些抛物线有什么共同点和不同点。 x-3-2-10123 y=-x2 -9-4-10-1-4-9 x-4-3-2-101234 y=- x2 0-2-2-8 -8 x-2-1.5-1-0.500.511.52 y=-2x2 0-2-2-8 -8 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -8-6-4-22468 y x 0 y=- x2 y=-x2 y=-2x2 当a0时，图 象开口向下， 顶点是抛物线 的最高点，a 越大，抛物线 的开口越大。 对称轴 （1）说出这两个函数图像的开口方向、对称 轴和顶点坐标 （2）抛物线y= x2，当x 时,抛物线上的 点都在x轴上方;当x0时;曲线自左向右逐渐 它的顶点是图像的最 点。 1 2 （3）函数y=-2x2，对于一切x的值，总有函数 值y 0，当x 0时， y随x的增大而 ；当x 时，y有最 值，是 10 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -10-5510 x y y=x2 y=-x2 y=x2与y=-x2关于 x轴对称 观察函数y=x2、 y=-x2、 y= x2、 y=-2x2的图像，并考虑这些抛物线有什么 共同点和不同点 1 2 总结： 二次函数y=ax2(a0)的图像是一条抛物线， 它的对称轴是y轴，顶点是坐标原点（0，0 ） 当a0时，抛物线y=ax2的开口向上,a越大， 抛物线的开口越小；在对称轴的左边，曲线 自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在 对称轴的右边，曲线自左向右上升，函数y随 x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点，此 时，函数y取得最小值0. 当a0时，抛物线y=ax2的开口向下，a越大 ，抛物线的开口越大；在对称轴的左边， 曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增 大；在对称轴的右边，曲线自左向右下降 ，函数y随x的增大而减小。顶点是抛物线 上位置最高的点，此时，函数y取得最大值 0.