1985年全国高中数学联赛试题及解答.pdf

试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 1985 年全国高中数学联赛试题 第一试 1选择题(本题满分 36 分，每小题答对得 6 分答错得 0 分，不答得 1 分) 假定有两个命题： 甲：a 是大于 0 的实数；乙：ab 且 a1b1那么( ) A甲是乙的充分而不必要条件 B甲是乙的必要而不充分条件 C甲是乙的充分必要条件 D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 PQ 为经过抛物线 y2=2px 焦点的任一弦，MN 为 PQ 在准线 l 上的射影，PQ 绕 l 一周所得的旋转面面 积为 S1，以 MN 为直径的球面积为 S2，则下面结论中，正确的是( ) AS1S2 BS1S2，有时 S1=S2，有时 S1b 且 a1b1那么( ) A甲是乙的充分而不必要条件 B甲是乙的必要而不充分条件 C甲是乙的充分必要条件 D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解：由于 ab 且 a1b1成立时，必有 a0，bS2 BS1S2，有时 S1=S2，有时 S11故否定 B、D 若 m、n 符号相反，则抛物线开口向右且 mx+ny2=0 图形是双曲线，m0，m=n故选 A 设 Z、W、 为复数，|1，关于 Z 的方程Z=W 有下面四个结论： Z Z=是这个方程的解； 这个方程只有一解； W + 1|2 这个方程有两解； 这个方程有无穷多解则( ) A只有、正确 B只有、正确 C只有、正确 D以上 A、B、C 都不正确 解：原式两端取共轭：Z=，乘以 再取共轭：|2Z=W，相加，由|1，得方程有唯一 Z W Z 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 解 Z=选 A W + 1|2 设 0a，得 BAA=BA，B=2A，C=4A 或 A+BA=(不可能) B= 2 7 方程 2x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=3 的非负整数解共有 组 解：x1=1 时，x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=1，共有 9 解； x1=0 时，x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=3，共有 9+A +C =9+72+84=165 解 2 9 3 9 共有 174 解 在已知数列 1，4，8，10，16，19，21，25，30，43 中，相邻若干个数之和能被 11 整除的数组共 有 解：把这些数 mod 11 得 1，4，3，1，5，3，1，3，3，1 依次累加，得：1，5，2，1，6，3，2，5，2，1其中相等的和有 7 对(3 对 1，3 对 2，1 对 5)，这表 示原数列中共有 7 组相邻数之和能被 11 整除 对任意实数 x，y，定义运算 x*y 为 x*y=ax+by+cxy，其中 a、b、c 为常数，等式右端中的运算是通 常的实数加法、乘法运算现已知 1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数 d，使得对于任意实数都有 x*d=x， 则 d= 解：ax+bd+cxd=x取 x=0，代入得，bd=0，但 d0，故 b=0 a+2b+2c=3，2a+3b+6c=4a=5，c=1取 x=1 代入，得 d=4 经验算：x*y=5xxy，对于一切 x，有 x*4=5x4x=x 成立故 d=4 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 第二试 (本试共有 4 题，每题满分 15 分) 1在直角坐标系 xoy 中，点 A(x1，y1)和点 B(x2，y2)的坐标均为一位的正整数OA 与 x 轴正方向的夹 角大于 45°，OB 与 x 轴正方向的夹角小于 45°，B 在 x 轴上的射影为 B，A 在 y 轴上的射影为 A，OBB的 面积比OAA的面积大 33.5，由 x1，y1，x2，y2组成的四位数 =x1103+x2102+y210+y1试求出所有这样的四位数，并写出求解过程 x1x2y2y1 解：x2y2x1y1=67x1y2且 x1，y1，x2，y2都是不超过 10 的正整 数 x2y267， x2y2=72 或 81 但 x2y2， 故 x2y2=91 舍去 x2y2=72 x2=9， y2=8 x1y1=7267=5x1=1，y1=5， =1985 x1x2y2y1 2 如图， 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E 是 BC 中点， F 在 AA1上， 且 A1F FA=12求平面 B1EF 与底面 A1B1C1D1所成的二面角 解：设 AB=1，则 BE= ，A1F= ，故 B1E=，B1F=，EF= 1 2 1 3 5 2 10 3 61 6 S= ·= B 1EF 1 2 5 4· 10 9 1 4(f(5,4) + f(10,9)f(61,36) 1 12 46 而B1EF 在平面 A1C1上的射影面积= 1 4 cos=，即所求角=arc cos 3 46 3 46 又解 ： 设平面 B1EF 与平面 AD1交于 FG， (G 在 AD 上)， 则由平面 AD1平面 BC1， 得 FGB1E 于是，延长 GF、D1A1交于 P，则 P 为截面与平面 A1C1的公共点，故 PB1为所 求二面角的棱AG=A1H= ， A1P= ， PB1= 1 3 1 6 37 6 作 GHA1D1于 H，则 GH平面 A1C1作 HKPB1，连 GK则GKH 为所 求二面角的平面角 HKPB1=A1B1HP HK=，tanGKH=即所求角=arc tan 3 37 37 3 37 3 3某足球邀请赛有十六个城市参加，每市派出甲、乙两个队，根据比赛规则，比赛若干天后进行统计， 发现除 A 市甲队外，其它各队已比赛过的场数各不相同问 A 市乙队已赛过多少场？请证明你的结论 证明：用 32 个点表示这 32 个队，如果某两队比赛了一场，则在表示这两个队的点间连一条线否则 就不连线 由于，这些队比赛场次最多 30 场，最少 0 场，共有 31 种情况，现除 A 城甲队外还有 31 个队，这 31 个队比赛场次互不相同，故这 31 个队比赛的场次恰好从 0 到 30 都有就在表示每个队的点旁注上这队的 比赛场次 考虑比赛场次为 30 的队，这个队除自己与同城的队外，与不同城有队都进行了比赛，于是，它只可能 与比赛 0 场的队同城；再考虑比赛 29 场的队，这个队除与同城队及比赛 0 场、1 场(只赛 1 场的队已经与比 赛 30 场的队赛过 1 场， 故不再与其它队比赛)的队不比赛外， 与其余各队都比赛， 故它与比赛 1 场的队同城 ； 依次类推，知比赛 k 场的队与比赛 30k 场的队同城，这样，把各城都配对后，只有比赛 15 场的队没有与 其余的队同城，故比赛 15 场的队就是 A 城乙队即 A 城乙队比赛了 15 场 4平面上任给 5 个点，以 表示这些点间最大的距离与最小的距离之比，证明：2sin54 证明 若此五点中有三点共线，例如 A、B、C 三点共线，不妨设 B 在 A、C 之间，则 AB 与 BC 必 F A B C D C1 B1 A1 D 1 E K G H P F A B C D C1 B1 A1 D 1 E 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 有一较大者不妨设 ABBC则22sin54 AC BC 设此五点中无三点共线的情况 若此五点的凸包为正五边形则其五个内角都=108五点的连线只有两种长度：正五边形的边长 与对角线，而此对角线与边长之比为 2sin54 若此五点的凸包为凸五边形 则其五个内角中至少有一个内角108 设EAB108， 且 EAAB， 则AEB36， = =2cosE2cos36=2sin54 BE AB sin(B + E) sinE sin2E sinE 若此五点的凸包为凸四边形ABCD， 点E在其内部， 连AC， 设点E在ABC内部， 则AEB、 BEC、 CEA 中至少有一个角120108，由上证可知，结论成立 若此五点的凸包为三角形 ABC， 则形内有两点 D、 E， 则ADB、 BDC、 CDA 中必有一个角120， 结论成立 综上可知，结论成立