1985年全国高中数学联赛试题及解答.pdf
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1、试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 1985 年全国高中数学联赛试题 第一试 1选择题(本题满分 36 分,每小题答对得 6 分答错得 0 分,不答得 1 分) 假定有两个命题: 甲:a 是大于 0 的实数;乙:ab 且 a1b1那么( ) A甲是乙的充分而不必要条件 B甲是乙的必要而不充分条件 C甲是乙的充分必要条件 D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 PQ 为经过抛物线 y2=2px 焦点的任一弦,MN 为 PQ 在准线 l 上的射影,PQ 绕 l 一周所得的旋转面面 积为 S1,以 MN 为直径的球面积为 S2,则下面结论中,正确的是( ) AS1S2 BS1S2,
2、有时 S1=S2,有时 S1b 且 a1b1那么( ) A甲是乙的充分而不必要条件 B甲是乙的必要而不充分条件 C甲是乙的充分必要条件 D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解:由于 ab 且 a1b1成立时,必有 a0,bS2 BS1S2,有时 S1=S2,有时 S11故否定 B、D 若 m、n 符号相反,则抛物线开口向右且 mx+ny2=0 图形是双曲线,m0,m=n故选 A 设 Z、W、 为复数,|1,关于 Z 的方程Z=W 有下面四个结论: Z Z=是这个方程的解; 这个方程只有一解; W + 1|2 这个方程有两解; 这个方程有无穷多解则( ) A只有、正确 B只有、正确 C只有
3、、正确 D以上 A、B、C 都不正确 解:原式两端取共轭:Z=,乘以 再取共轭:|2Z=W,相加,由|1,得方程有唯一 Z W Z 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 解 Z=选 A W + 1|2 设 0a,得 BAA=BA,B=2A,C=4A 或 A+BA=(不可能) B= 2 7 方程 2x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=3 的非负整数解共有 组 解:x1=1 时,x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=1,共有 9 解; x1=0 时,x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=3,共有 9+A +C =9+72+
4、84=165 解 2 9 3 9 共有 174 解 在已知数列 1,4,8,10,16,19,21,25,30,43 中,相邻若干个数之和能被 11 整除的数组共 有 解:把这些数 mod 11 得 1,4,3,1,5,3,1,3,3,1 依次累加,得:1,5,2,1,6,3,2,5,2,1其中相等的和有 7 对(3 对 1,3 对 2,1 对 5),这表 示原数列中共有 7 组相邻数之和能被 11 整除 对任意实数 x,y,定义运算 x*y 为 x*y=ax+by+cxy,其中 a、b、c 为常数,等式右端中的运算是通 常的实数加法、乘法运算现已知 1*2=3,2*3=4,并且有一个非零实数
5、 d,使得对于任意实数都有 x*d=x, 则 d= 解:ax+bd+cxd=x取 x=0,代入得,bd=0,但 d0,故 b=0 a+2b+2c=3,2a+3b+6c=4a=5,c=1取 x=1 代入,得 d=4 经验算:x*y=5xxy,对于一切 x,有 x*4=5x4x=x 成立故 d=4 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 第二试 (本试共有 4 题,每题满分 15 分) 1在直角坐标系 xoy 中,点 A(x1,y1)和点 B(x2,y2)的坐标均为一位的正整数OA 与 x 轴正方向的夹 角大于 45,OB 与 x 轴正方向的夹角小于 45,B 在 x 轴上的射影为 B
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