2020版数学新攻略大一轮浙江专用精练：14_§ 3_3　导数与函数极值和最值 夯基提能作业 Word版含解析.pdf

高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 § 3.3 导数与函数极值和最值 A 组 基础题组A 组 基础题组 1.下列函数中,既是奇函数又存在极值的是( ) A.y=x3B.y=ln(-x)C.y=xe-xD.y=x+2 答案 D A选项中,函数y=x3单调递增,无极值,B,C选项中的函数都不是奇函 数,D 选项中的函数既为奇函数又存在极值. 2.函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x(aR)的导函数是f '(x),若f '(x)是偶函数,则以 下结论正确的是( ) A.y=f(x)的极大值为 1 B.y=f(x)的极大值为-2 C.y=f(x)的极小值为 2 D.y=f(x)的极小值为-2 答案 D 由题意可得, f '(x)=3x2+2ax+a-3,f '(x)是偶函数,f '(-x)=f '(x),a=0,f(x)=x3-3x, f '(x)=3x2-3,易知 f(x)在 x=-1 处取极大值 2,在 x=1 处取极小值-2,故选 D. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 3.有一个 10 cm×16 cm 的矩形纸板,四个角各被截去了一个大小相同的小正方 形,剩下的部分做成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为( ) A.12 cm3B.72 cm3C.144 cm3D.160 cm3 答案 C 设盒子的容积为 y cm3,盒子的高为 x cm,则 x(0,5). 则 y=(10-2x)(16-2x)x=4x3-52x2+160x, 所以 y'=12x2-104x+160.令 y'=0,得 x=2 或 x=(舍去). 20 3 当 x0,当 x2 时,y'0,排除 B,故选 D. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 5.若函数 f(x)= x3+x2- 在区间(a,a+5)上存在最小值,则实数 a 的取值范围是 1 3 2 3 ( ) A.-5,0) B.(-5,0) C.-3,0) D.(-3,0) 答案 C 由题意知, f '(x)=x2+2x=x(x+2),故 f(x)在(-,-2),(0,+)上是 增函数,在(-2,0)上是减函数,作出其大致图象如图所示, 令 x3+x2- =- ,得 x=0 或 x=-3,则结合图象可知,解得 a-3,0). 1 3 2 3 2 3 - 3 0, 6.函数 f(x)=xsin x+cos x 在上的最大值为 . 6, 答案 2 解析 因为 f '(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x, 所以 f '(x)=0 在 x上的解为 x= . 6, 2 易知 f(x)在上单调递增,在上单调递减, 6, 2 2, 所以函数 f(x)=xsin x+cos x 在上的最大值为 f= . 6, ( 2) 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 7.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系 式为 y=- x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 万 1 3 件. 答案 9 解析 y'=-x2+81,令 y'=0,得 x=9 或 x=-9(舍去).当 00,函数单调 递增;当 x9 时,y'0),令 f '(x)=0,得 x= 或 x=1, 1 22- 3x + 1 1 2 当 x时, f '(x)0,所以 f(x)在区间上单 1 2,1 1 2,1 调递减,在区间1,2上单调递增,所以当 x=1 时, f(x)在区间上取得极小 1 2,2 值,也为最小值,最小值为-2. 10.已知函数 f(x)=ln x- ax2+x,aR. 1 2 (1)当 a=0 时,求曲线 y=f(x)在(1, f(1)处的切线方程; (2)令 g(x)=f(x)-(ax-1),求函数 g(x)的极值. 解析 (1)当 a=0 时, f(x)=ln x+x,则 f(1)=1, 切点为(1,1), 又 f '(x)= +1,切线斜率 k=f '(1)=2, 1 故切线方程为 y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0. (2)g(x)=f(x)-(ax-1)=ln x- ax2+(1-a)x+1(x0), 1 2 则 g'(x)= -ax+(1-a)=, 1 - 2+ (1 - a)x + 1 当 a0 时,x0,g'(x)0, g(x)在(0,+)上是增函数,此时函数 g(x)无极值点. 当 a0 时,g'(x)=-, - 2+ (1 - a)x + 1 ( - 1 )(x + 1) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 令 g'(x)=0 得 x= . 1 当 x时,g'(x)0;当 x时,g'(x)0 时,函数 g(x)有极大值-ln a,无极小值. 1 2 11.已知函数 f(x)=x3+|x-a|(aR). (1)当 a=1 时,求 f(x)在(0, f(0)处的切线方程; (2)当 a(0,1)时,求 f(x)在区间-1,1上的最小值(用 a 表示). 解析 (1) 当 a=1,x0,知 f(x)在a,1上单调递增. 当-1x0 时,求 f(x)的最小值 g(a)的最大值; (3)设 h(x)=f(x)+|(a-2)x|,x1,+),求证:h(x)2. 解析 (1) 函数 f(x)在(0,2)上递减x(0,2), f '(x)0 恒成立 x(0,2), f '(x)=0 恒成立x(0,2),a 恒成立,又 1,所以 - 2 2 2 2 a1. (2)当 a0 时,令 f '(x)=0,得 x= . - 2 2 2 当 x 变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表: x (0, 2 a) 2 a ( 2 a, + ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 f '(x)-0+ f(x) 极小 值 故 g(a)=f=a+aln . ( 2 ) 2 g '(a)=ln 2-ln a,令 g '(a)=0,得 a=2. 当 a 变化时,g '(a),g(a)的变化情况如下表: a(0,2)2 (2,+ ) g '(a)+0- g(x) 极大 值 故 g(a)的最大值为 g(2)=2. (3)证明: 当 a2 时,h(x)=f(x)+(a-2)x= +aln x+(a-2)x, 2 故 h'(x)=+a-20, - 2 2 所以 h(x)在1,+)上是增函数, 故 h(x)h(1)=a2; 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当 a2. 综上所述,h(x)2. B 组 提升题组B 组 提升题组 1.已知函数f(x)= -k,若x=2是函数f(x)的唯一一个极值点,则实数k e 2 ( 2 + ln) 的取值范围是( ) A.(-,eB.0,e C.(-,e)D.0,e) 答案 A f '(x)=-k=(x0).设 g(x)= ,则 2e- 2xe 4 ( - 2 2 + 1 ) ( - 2)( e - k) 2 e g'(x)=,则 g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+)内单调递增. ( - 1)e 2 g(x)在(0,+)上有最小值 g(1),g(1)=e,结合 g(x)= 与 y=k 的图象可知,要 e 满足题意,只需 ke,故选 A. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2.已知函数 f(x)=x3+2ax2+1 在 x=1 处的切线的斜率为 1,则实数 a= , 此 时函数 y=f(x)在0,1上的最小值为 . 答案 - ; 1 2 23 27 解析 由题易知 f '(x)=3x2+4ax,且 f '(x)=1,则 a=- ,故 f(x)=x3-x2+1. 1 2 此时f '(x)=3x2-2x=3x,所以f(x)在上单调递减,在上单调递 ( - 2 3) (0, 2 3) ( 2 3,1) 增, 所以 f(x)min=f=. ( 2 3) 23 27 3.(2018 浙江宁波模拟)设函数 f(x)=x2-ax-ln x,aR. (1)若函数 f(x)的图象在 x=1 处的切线斜率为 1,求实数 a 的值; (2)当 a-1 时,记 f(x)的极小值为 H,求 H 的最大值. 解析 (1)因为函数 f(x)=x2-ax-ln x,aR, 所以 f '(x)=(x0), 22- ax - 1 由题意知 f '(1)=1,2-a-1=1,解得 a=0. (2)设 f '(x0)=0,则 2-ax0-1=0,2 0 则 x0=(舍负), +2+ 8 4 所以 f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+)上单调递增, 则 H=f(x)极小值=f(x0)=-ax0-ln x0=-+1-ln x0,2 0 2 0 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 设 g(a)=(a-1), +2+ 8 4 当 a0 时,g(a)为增函数, 当-1a 0, ( - 1) = 0, 1 2 由题意可知 x1+x2=-1,2+2x2+a=0,x2=- +,- x20.2 2 1 2 1 - 2 2 1 2 所以=, (2) 1 2 2 - (22 2+ 22)ln(2+ 1) - 1 - 2 令 k(x)=,x, 2- (22+ 2x)ln( + 1) - 1 - ( - 1 2,0) 则 k'(x)=+2ln(x+1),k(x)=, 2 ( + 1)2 22+ 6x + 2 ( + 1)3 因为 k=-4,k(0)=2, ( - 1 2) 所以存在 x0,使得 k(x)=0,列表如下: ( - 1 2,0) x ( - 1 2,x0) x0(x0,0) k(x)-0+ 又 k'(0)=0,k'=1-2ln 20, ( - 1 2) 所以 k'(x)0, ( ( - 1 2,0) 所以函数 k(x)在内为减函数, ( - 1 2,0) 所以 k(0)k(x)k,即 0- +ln 2. ( - 1 2) (2) 1 1 2