浙江专用2019高考数学二轮复习精准提分第二篇重点专题分层练中高档题得高分第23练导数与函数的单调性极值最值试.pdf

高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第 23 练 导数与函数的单调性、极值、最值第 23 练 导数与函数的单调性、极值、最值 明晰考情 1.命题角度：讨论函数的单调性、极值、最值以及利用导数求参数范围是高考 的热点.2.题目难度：偏难题 考点一 利用导数研究函数的单调性 方法技巧 (1)函数单调性的判定方法 ： 在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数y f(x)在此区间内单调递增；如果f(x)0；当x(2,0)时，h(x)0，讨论f(x)在(0,2)上的单调性 (k 4 k) 4x2 x 解 因为f(x)1(x0，k0) k4 k x 4 x2 (k 4 k)x4x 2 x2 xk(x4 k) x2 当 0k0，且 2， 4 k 4 k 所以当x(0，k)时，f(x)0， 所以函数f(x)在(0，k)上是减函数，在(k，2)上是增函数； 当k2 时， k2，f(x)2 时，0 ， 4 k 4 k 所以当x时，f(x)0， ( 4 k，2) 所以函数f(x)在上是减函数，在上是增函数 (0， 4 k)( 4 k，2) 综上可知，当 02 时，f(x)在上是 (0， 4 k) 减函数，在上是增函数 ( 4 k，2) 3已知函数f(x)aln(x1)axx2，讨论f(x)在定义域上的单调性 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解 f(x)a2x， a x1 2x(x2a 2) x1 令f(x)0，得x0 或x， a2 2 又f(x)的定义域为(1，)， 当1，即当a0 时， a2 2 若x(1,0)，f(x)0，则f(x)单调递增； 若x(0，)，f(x)0，则f(x)单调递减 当10，即2a0 时， a2 2 若x，f(x)0，则f(x)单调递减； (1， a2 2) 若x，f(x)0，则f(x)单调递增； ( a2 2 ，0) 若x(0，)，f(x)0，则f(x)单调递减 当0，即a2 时， a2 2 f(x)0，f(x)在(1，)上单调递减 当0，即a2 时， a2 2 若x(1,0)，f(x)0，则f(x)单调递减； 若x，f(x)0，则f(x)单调递增； (0， a2 2) 若x，f(x)0，则f(x)单调递减 ( a2 2 ，) 综上，当a0 时，f(x)在(1,0)上单调递增， 在(0，)上单调递减； 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当2a0 时，f(x)在上单调递减， (1， a2 2) 在上单调递增，在(0，)上单调递减； ( a2 2 ，0) 当a2 时，f(x)在(1，)上单调递减； 当a2 时，f(x)在(1,0)上单调递减， 在上单调递增， (0， a2 2) 在上单调递减 ( a2 2 ，) 考点二 利用函数的单调性求参数范围 方法技巧 (1)已知函数的单调性， 求参数的取值范围， 应用条件f(x)0(或f(x)0)， x(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的 取值是f(x)不恒等于 0 的参数的范围 (2)若函数yf(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f(x)0 在(a，b)上有解 4已知函数f(x)(x2bxb)·(bR R)，若f(x)在区间上单调递增，求b的12x (0， 1 3) 取值范围 解 f(x)， x5x3b2 12x (x 1 2) 因为当x时，0， (0， 1 3) x 12x 依题意得当x时，有 5x(3b2)0， (0， 1 3) 从而 (3b2)0，b . 5 3 1 9 所以b的取值范围为. (， 1 9 5设函数f(x)(aR R) 3x2ax ex 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)若f(x)在x0 处取得极值，确定a的值，并求此时曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线 方程； (2)若f(x)在3，)上为减函数，求a的取值范围 解 (1)对f(x)求导，得f(x) ， 6 xa e x3x2ax e x e x2 3x26axa ex 因为f(x)在x0 处取得极值，所以f(0)0，即a0. 当a0 时，f(x)，f(x)， 3x2 ex 3x26x ex 故f(1) ，f(1) ， 3 e 3 e 从而f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y (x1)，化简得 3xey0. 3 e 3 e (2)由(1)知，f(x). 3x26axa ex 令g(x)3x2(6a)xa， 由g(x)0，解得x1，x2. 6aa236 6 6aa236 6 当xx1时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为减函数； 当x1xx2时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为增函数； 当xx2时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为减函数 由f(x)在3，)上为减函数知， x23，解得a ， 6aa236 6 9 2 故a的取值范围为. 9 2，) 6已知函数f(x)x22alnx(a2)x. 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)当a1 时，求函数f(x)的单调区间； (2)是否存在实数a，使函数g(x)f(x)ax在(0，)上单调递增？若存在，求出a的取 值范围；若不存在，请说明理由 解 (1)当a1 时，f(x)x22lnx3x(x0)， 1 2 则f(x)x 3. 2 x x23x2 x x 1 x 2 x 当 02 时，f(x)0，f(x)单调递增；当 10，均有x(2lnalnx)a恒成立，求正数a的取值范围 解 (1)f(x) ，x(0，) 1 x a x2 xa x2 当a0 时，f(x)0，f(x)在(0，)上为增函数，无极值； 当a0 时，x(0，a)时，f(x)0，f(x)在(a，)上为增函数， 所以f(x)在(0，)上有极小值，无极大值， f(x)的极小值为f(a)lna1. (2)若对任意x0，均有x(2lnalnx)a恒成立， 即对任意x0，均有 2lna lnx恒成立， a x 由(1)可知f(x)的最小值为 lna1，问题转化为 2lnalna1，即 lna1，故 0 0 分a0，a 0，a 0，利用导数，求出hx的最大值为1 e 解不等式a2 1 e，可求得a的取值范围 规范解答·评分标准 解 (1)f(x)a2x (x0).1 分 1 x 当a0 时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减 当a0 时，f(x)， a2x21 x a2(x2 1 a2) x 由f(x)0，得x ；由f(x)0，得 0x .4 分 1 a 1 a 所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为. (0， 1 a) 1 a，) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当a0 时，h(x)0； 当x0，g(x)单调递增； 当x(a，0)时，xa0，g(x)0，g(x)0，g(x)单调递增 所以当xa时，g(x)取到极大值， 极大值是g(a)a3sina； 1 6 当x0 时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)a. 当a0 时，g(x)x(xsinx)， 当x(，)时，g(x)0，g(x)单调递增； 所以g(x)在(，)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值 当a0 时，g(x)(xa)(xsinx)， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当x(，0)时，xa0，g(x)单调递增； 当x(0，a)时，xa0，g(x)0，g(x)单调递增 所以当x0 时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)a； 当xa时，g(x)取到极小值，极小值是g(a)a3sina. 1 6 综上所述，当a0 时，函数g(x)在(，0)和(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有 极大值，又有极小值，极大值是g(0)a，极小值是g(a)a3sina. 1 6 4已知函数f(x)x2ax2lnx. (1)若函数yf(x)在定义域上单调递增，求实数a的取值范围； (2)设f(x)有两个极值点x1，x2，若x1，且f(x1)tf(x2)恒成立，求实数t的取 (0， 1 e 值范围 解 (1)因为函数yf(x)在定义域上单调递增， 所以f(x)0，即 2xa 0 在(0，)上恒成立， 2 x 所以a2x (x(0，) 2 x 而 2x 24，所以a4， 2 x 2x·2 x(当且仅当2x 2 x，即x1时等号成立) 所以实数a的取值范围是(，4 (2)因为f(x)(x0)， 2x2ax2 x 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由题意可得x1，x2为方程f(x)0，即 2x2ax20(x0)的两个不同实根， 所以ax12x2，ax22x2. 2 12 2 由根与系数的关系可得x1x21. 由已知 0x1 ，则x2e. 1 e 1 x1 而f(x1)f(x2) (xax12lnx1)(xax22lnx2) 2 12 2 x(2x2)2lnx1x(2x2)2lnx2 2 12 12 22 2 (x22lnx1)(x22lnx2)xx2(lnx1lnx2) 2 12 22 22 1 xx2lnx2lnx2lnx(x2e) 2 22 1 x1 x2 2 2 1 x2 2 1 x2 2 2 2 1 x2 2 2 2 设p(x)x 2lnx(xe2)， 1 x 则p(x)1 ， 1 x2 2 x x22x1 x2 x 1 2 x2 显然当xe2时，p(x)0，函数p(x)单调递增， 故p(x)p(e2)e22lne2e24. 1 e2 1 e2 故f(x1)f(x2)e24， 1 e2 故te24. 1 e2 所以实数t的取值范围是. (，e 2 1 e24