浙江省2019高考数学优编增分练：解答题突破练五函数与导数.pdf

高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (五)函数与导数(五)函数与导数 1 (2018·浙江省台州中学模拟)设函数f(x)ax2bxc(a0)， 曲线yf(x)过点(0,2a 3)，且在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴 (1)用a分别表示b和c； (2)当bc取得最小值时，求函数g(x)f(x)ex的单调区间 解 (1)f(x)2axb， 由题意得Error!则b2a，c2a3. (2)由(1)得bc2a(2a3)4 2 ， (a 3 4) 9 4 故当a 时，bc取得最小值 ， 3 4 9 4 此时有b ，c ， 3 2 3 2 从而f(x)x2x ，f(x)x ， 3 4 3 2 3 2 3 2 3 2 g(x)f(x)exex， ( 3 4x 23 2x 3 2) 所以g(x) (x24)ex， 3 4 令g(x)0，解得x12，x22. 当x(，2)时，g(x)0，故g(x)在(2,2)上为增函数； 当x(2，)时，g(x)0， 1 k 对任意xR R，k(kx)ekx恒成立， 设g(x)ekxkxk2， g(x)kekxkk(1ekx)， 当x0 时，g(x)0， g(x)在(，0)上是减函数，在(0，)上是增函数， g(x)ming(0)1k20， 又k0，00，xk 时，f(x)0；xk 时，f(x)0，00，m(x)单调递增； 当x(e，)时，m(x)1 时，h(x)f(x)g(x)0 恒成立， 即 ln xex2ax2ae0 恒成立， 令t(x)ln xex2ax2ae， t(x) ex2a， 1 x 设(x) ex2a，(x)ex， 1 x 1 x2 x1，exe，0， (x)在(1，)上单调递增， 即t(x)在(1，)上单调递增， t(x)t(1)1e2a， 当a且a1 时，t(x)0， 1e 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 t(x)ln xex2ax2ae 在(1，)上单调递增， t(x)t(1)0 成立， 当a时， 1e 2 t(1)1e2a0， 1 ln 2a 存在x0(1，ln 2a)，满足t(x0)0. t(x)在(1，)上单调递增， 当x(1，x0)时，t(x)0 不恒成立 实数a的取值范围为(，1). (1， 1e 2 4已知函数f(x)x1aex. (1)讨论f(x)的单调性； (2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1x24. (1)解 f(x)1aex， 当a0 时，f(x)0，则f(x)在 R R 上单调递增 当a0，得xln， ( 1 a) 则f(x)的单调递减区间为. (ln( 1 a)，) (2)证明 由f(x)0 得a， 1x ex 设g(x)，则g(x). 1x ex x2 ex 由g(x)0，得x2. 故g(x)ming(2)1 时，g(x)0， 不妨设x14 等价于x24x1， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 4x12 且g(x)在(2，)上单调递增， 要证x1x24，只需证g(x2)g(4x1)， g(x1)g(x2)a， 只需证g(x1)g(4x1)，即， 1x1x13 即证 1 24 e x (x13)x11h(2)0， h(x)在(1,2)上单调递增， h(x)4 得证 5已知函数f(x)，g(x)mx. aln x x (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a0 时，f(x)g(x)恒成立，求实数m的取值范围； (3)当a1 时，求证：当x1 时，(x1)f(x)2. (x 1 ex)(1 1 e) (1)解 f(x)的定义域为(0，)， aln x x 且f(x). 1 aln x x2 1ln xa x2 由f(x)0 得 1ln xa0， 即 ln x0 得 02， (x 1 ex)(1 1 e) 等价于·. 1 e1 x1ln x 1 x 2ex1 xex1 令p(x)，则p(x)， x1ln x 1 x xln x x2 令(x)xln x，则(x)1 ， 1 x x1 x x1，(x)0， (x)在(1，)上单调递增， (x)(1)10，p(x)0， p(x)在(1，)上单调递增， p(x)p(1)2， ， px e1 2 e1 令h(x)， 2ex1 xex1 则h(x)， 2ex11ex xex 1 2 x1，1ex1 时，h(x)h(x)， px e1 2 e1 即(x1) f(x)2，x1. (x 1 ex)(1 1 e) 6已知函数f(x)x3|ax3|2，a0. (1)求函数yf(x)的单调区间； (2)当a(0,5)时， 对于任意x10,1， 总存在x20,1， 使得f(x1)f(x2)0， 求实数a 的值 解 (1)f(x)x3|ax3|2(a0) Error! 则f(x)Error! 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当 ，即a3 时， a 3 3 a 函数yf(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，； ( a 3， 3 a)(， a 3)( 3 a，) 当 ，即 0a3 时， a 3 3 a 函数yf(x)的单调递减区间为， ( a 3， a 3) 单调递增区间为，. (， a 3) ( a 3，) (2)由题意知，对于任意x10,1，总存在x20,1，使得f(x1)f(x2)0，等价于当 x0,1时，f(x)minf(x)max0， 由(1)得当 3a5 时，yf(x)在上单调递减，在上单调递增， 0， 3 a)( 3 a，1 所以f(x)minf 2， ( 3 a) 27 a3 f(x)maxmaxf(0)，f(1)max1，a41， 所以210，解得a3； 27 a3 当 0a3 时，yf(x)在上单调递减， 0， a 3) 在上单调递增， ( a 3，1 所以f(x)minf 1， ( a 3) 2a 3 a 3 f(x)maxmaxf(0)，f(1)max1,2a， 当 1a3 时，f(x)max1， 则 110，得a3(舍去)； 2a 3 a 3 当 0a1 时，f(x)max2a， 则 12a0， 2a 3 a 3 即 3a，其中 3a2，而2， 2a 3 a 3 2a 3 a 3 所以无解，舍去 综上所述，a3.