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推理案例赏析 为让你的思想便于 别人接受和理解,也为 让你易于接收别人表达 的信息,我们共同努力! 1 在学习了合情推理与演绎推理的基础上，进一步体 会两种推理的应用价值会用合情推理对问题进行分析 并作出归纳和类比,同时作出猜测与推断,会用演绎推理 对问题进行推理论证,对合情推理作出的猜测与推断能 给予科学的,明确的肯定或否定的答复 2 明确合情推理与演绎推理的一般过程及常用方法， 注意合情推理与演绎推理的区别之处学习中加强对定 义规则的理解，注意比较，不要混用 3 通过案例赏析，能正确认识合情推理与演绎推理在 数学中的重要作用，养成认真观察问题、分析问题、发 现事物之间的联系的良好品质，认识数学在日常生活中 的重要作用，培养学好数学的意识，树立学好数学的信 心,提高解决问题的综合能力. 学 习 目 标 学 习 重 点 通过案例赏析，加强对两种推理的理解，注 意比较不同之处，不要混用能正确认识两种 推理在数学中的重要作用，提高解决问题的综 合能力. 学 习 难 点 两种推理的理解与应用，综合解决问题能力 的培养与提高. 一自学感悟 阅读课本第74页至76中例题2全部内容并思考后面的问题. 思考: 在例 2 中，数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提 出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演 绎推理分别发挥什么作用？ 四个环节: ( 1 )确定类比对象 ( 2 )观察分析 (3 ) 猜想 ( 4 )演绎 (猜想-验证猜想-调整再猜想-演绎再验证猜想) 两次对公式的猜想 猜想时应用了类比推理和演绎推理 合情推理(类比推理)为演绎推理指明了目标和方向,演 绎推理为合情推理(类比推理)的猜想作出了证明 例2 棱台体积公式的推导 提出问题 能通过类比推测出棱台的体积公式吗？ 数学活动 思路:试图以四棱台为例，通过和梯形的类比推测公式 ( 1 )确定类比对象对梯形和四棱台作比较，如表 所示 二引导体会 据此，使我们产生了把梯形选为类比对象的念头 进而有: ( 2 )对类比对象的进一步分析 梯形可以认为是用平行于三角形一边的直线截去一个 小三角形后得到的，而棱台则可认为是用平行于棱锥底 面的平面截去一个小棱锥后得到的据此，应该有如下 的对应关系： (3 )通过类比推理，建立猜想 求棱台的体积的方法与求梯形面积的方法是 类似的，棱台的体积公式与梯形的面积公式是 类似的于是由梯形的面积公式: 其中 a , b 分别表示梯形上、下底的长度， h 表示高猜想棱台的体积公式可能具有如下的 形式: ( 4 )验证猜想 的形式，其中 S 。应该是表示面积的量它究竟是多 少还有待进一步确定 与 式相比，公式 的分母从 2 变为 3 ，相应的分子从 2 项变为 3 项，这些都恰如其分地反映了 2 维和 3 维的差异，因 此，公式 从整体结构上就给人以一种协调的美感应该说 ，公式 比公式 更合理 既然 式被认为是合理的，那么下一步的行动就是要具体的 确定公式中 S 。的意义和大小了容易看出：第一，由于从棱锥 的体积公式可知，当 S 上=0时,S 。= 0 因此， S 。应含有 S 上 的因子；第二，棱台的上底和下底具有同等地位，因此， S 上和 S 下在公式中应该具有同等地位，据此，我们可以猜想 S 。具有 形式；第三，进一步确定 k 的值仍然使用特殊化的方法，当 S 上= S 下时，棱台变为棱柱，则 三归纳总结 上面的案例说明： ( 1 )数学发现活动是一个探索创造的过程这是 一个不断地提出猜想、验证猜想的过程合情推 理和演绎推理相辅相成，相互为用，共同推动着 发现活动的进程 ( 2 )合情推理是富于创造性的或然推理，在数学 发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向， 具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用 ( 3 )演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在 数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能， 它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想 作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依 据 四数学应用 证明：数列 12 ,1122 , 111222 ， 的各项都是两个连 续正整数的积 证明：因为 12 = 3X4 , 1122 = 33X34 , 111222 = 333 X 334 1下面提供了一道习题的证明过程,阅读后请说明在 证明过程中数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程 中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？ 合情推理和演绎推理分别发挥什么作用？ 三环节:( 1 )观察分析 (2) 猜想 ( 3)演绎 对通项是3m（3m+1）的猜想 猜想时应用了归纳推理 合情推理(归纳推理)为演绎推理指明了目 标和方向,演绎推理为合情推理(归纳推理) 的猜想作出了“判断”和证明 2下面提供的是年江苏省一道高考题的解答过程, 阅读后请说明在解答过程中数学活动分别使用了哪些推 理方法？ 通过“假设-验证”逐个排除的推理方法，可确定苹果 在黄箱子里。 至多三个环节都是“假设-验证”，分别猜想在红、 黄、蓝三只箱子里，再逐个用演绎推理验证。 3 例如：红黄蓝三只箱子，有一个苹果在其中一个箱 子里。红箱子上写着：“苹果在这个箱子里”；黄箱子 上写着；“苹果不在这个箱子里”，蓝箱子写着：“苹 果不在红箱子里”。这三句话只有一句是真的 我们怎么能一次就准确地找出苹果来呢？ 请说明你的判断过程是由哪些环节构成的？在这个过程 中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？ 4下面提供的是年全国卷一道高考题 的解答过程,阅读后请说明在解答过程中数学 活动分别使用了哪些推理方法？ 合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结 果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程归纳推 理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理，合情推理所得到 的结论不一定正确，其正确性需要加以证明或实践的验证而演 绎推理则是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定 理等），按照严格逻辑法则得到新结论的推理过程，演绎推理中 只要前提和推理的形式都是正确的，那么它所推演出的结论是正 确的，因而演绎推理可以用于对问题的证明 在实际问题的解决之中，合情推理和演绎推理相辅相成，相 互作用，共同推动着发现活动的发展，合情推理是富于创造性的 或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向 ，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用，而演绎推理则是 形式化较高的必然推理，在数学发现中，它有类似实验的功能， 它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出判决和证明 ，因而为调控探索活动提供依据使数学中的猜想成为真理，它 们既有区别又有联系，共同作用，才能发挥其最大作用 课本78页T7 :试分析合情推理与演绎推理的联系和区别 五本课时总结 对这两种推理在数学活动中的作用， 著名的数学教育家 G 波利亚作了精辟 的论述：“数学的创造过程与任何其他知 识的创造过程一样，在证明一个数学定理 之前，先得猜测这个定理的内容；在完成 详细的证明之前，先得推测证明的思路 创造过程是一个艰苦曲折的过程数学家 创造性的工作是论证推理，即证明但这 个证明是通过合情推理、通过猜想而发现 的” 六写 在 最 后 的 话 事先准备三白二黑五顶帽子，老师先出示全部帽 子，而后让三名学生闭上眼睛，由他替每位学生戴 上白帽子，把两顶黑帽子藏起来，之后让学生睁眼 说出自己头上帽子的颜色，三个同学互相看了一下 ，略踌躇，即异口同声地说自己头上戴的是白帽子 。你知道是怎么推理的吗？ 由前提可知只有三种情况出现：（A） 黑、黑、白 ； （B ）黑、白，白； （c ）白、白、白分别 对三种情况进行分析就可推断出来，领会其中的推 理过程，对我们既是一种思维的锻炼，又是一种理 性的熏陶 帽 子 问 题 七课外思考