2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7节抛物线教学案含解析.pdf
第七节 抛物线第七节 抛物线 考纲传真 1.掌握抛物线的定义、 几何图形、 标准方程及简单几何性质(范围、 对称性、 顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用 1抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物 线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线 2抛物线的标准方程与几何性质 y22px (p0) y22px (p0) x22py (p0) x22py (p0)标准方程 p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点坐标O(0,0) 对称轴x轴y轴 焦点坐标F(p 2，0) F(p 2，0) F(0，p 2) F(0，p 2) 离心率e1 准线方程xp 2 xp 2 yp 2 yp 2 范围x0，yR Rx0，yR Ry0，xR Ry0，xR R 开口方向向右向左向上向下 常用结论 与抛物线有关的结论 (1)抛物线y22px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0 ，也称为抛 ( p 2，0) p 2 物线的焦半径 (2)y2ax(a0)的焦点坐标为，准线方程为x . ( a 4，0) a 4 (3)设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦， 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2. p2 4 弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角) 2p sin2 以弦AB为直径的圆与准线相切 通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于 2p，通径是过焦点最短的弦 基础自测 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“×”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线 ( ) (2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准 ( a 4，0) 线方程是x .( ) a 4 (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形 ( ) (4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切 ( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2抛物线yx2的准线方程是( ) 1 4 Ay1 By2 Cx1 Dx2 A A yx2，x24y，准线方程为y1. 1 4 3(教材改编)若抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为 1，则点M的纵坐标是 ( ) A. B. C. D0 17 16 15 16 7 8 B B M到准线的距离等于M到焦点的距离， 又准线方程为y， 设M(x，y)， 则y 1 16 1 16 1，y. 15 16 4(教材改编)过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点， 如果x1x26，则|PQ|等于( ) A9 B8 C7 D6 B B 抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.根据题意可得，|PQ|PF| |QF|x11x21x1x228. 5(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(2，4)， 则该抛物线的标准方程为_ y28x或x2y 设抛物线方程为y22px(p0)或x22py(p0) 将P(2， 4) 代入，分别得方程为y28x或x2y. 抛物线的定义与应用 【例 1】 设P是抛物线y24x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|PF|的最小值为 _ 4 4 如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|P1F|.则有|PB| |PF|P1B|P1Q|BQ|4，即|PB|PF|的最小值为 4. 拓展探究 (1)若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|PF|的最小值 (2)若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50， 在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1d2的最小值 解(1)由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部 |PB|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)， |PB|PF|BF|2，42225 即|PB|PF|的最小值为 2.5 (2)由题意知，抛物线的焦点为F(1,0) 点P到y轴的距离d1|PF|1， 所以d1d2d2|PF|1. 易知d2|PF|的最小值为点F到直线l的距离， 故d2|PF|的最小值为3， |15| 1212 2 所以d1d2的最小值为 31.2 规律方法 与抛物线有关的最值问题， 一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线 想焦点，看到焦点想准线” ，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径. (1)已知P是抛物线y24x上的一个动点，Q是圆(x3)2(y1)21 上的 一个动点，N(1,0)是一个定点，则|PQ|PN|的最小值为( ) A3 B4 C5 D.12 (2)动圆过点(1,0)，且与直线x1 相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_. (1 1)A A (2 2)y24x (1)由抛物线方程y24x，可得抛物线的焦点F(1,0)，又N(1,0)， 所以N与F重合过圆(x3)2(y1)21 的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交 抛物线于P，则|PQ|PN|的最小值等于|MH|13. (2)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x1 的距离相等， 根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x. 抛物线的标准方程与几何性质 【例 2】 (1)点M(5,3)到抛物线yax2的准线的距离为 6，那么抛物线的标准方程是 ( ) Ax2y Bx2y或x2y 1 12 1 12 1 36 Cx2y Dx212y或x236y 1 36 (2)(2016·全国卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点， 交C的准线于D，E 两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为( )25 A2 B4 C6 D8 (3)如图所示，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l 于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为( ) Ay2x By29x 3 2 Cy2x Dy23x 9 2 (1 1)D D (2 2)B B (3 3)D D (1)将yax2化为x2y.当a0时， 准线y， 则36， a 1 a 1 4a 1 4a .当a0，即m1 时，x1,22±2.m1 从而|AB|x1x2|4.22m1 由题设知|AB|2|MN|，即 42(m1)，解得m7.2m1 所以直线AB的方程为yx7. 考法 2 与抛物线弦长或中点有关的问题 【例 4】 已知抛物线C：x22py(p0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物 线的准线l与y轴的交点 (1)若ABl，且ABD的面积为 1，求抛物线的方程； (2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.证明：直线AN与抛物线相切 解 (1)ABl，|FD|p，|AB|2p. SABDp2，p1，故抛物线C的方程为x22y. (2)设直线AB的方程为ykx ， p 2 由Error!得x22kpxp20，x1x22kp，x1x2p2. 其中A，B.M，N. (x 1，x 2 1 2p)(x 2，x 2 2 2p)(kp，k 2pp 2)(kp， p 2) kAN. x2 1 2p p 2 x1kp x2 1 2p p 2 x1x 1x2 2 x2 1p2 2p x1x2 2 x2 1x1x2 2p x1x2 2 x1 p 又x22py，y .抛物线x22py在点A处的切线斜率k. x p x1 p 直线AN与抛物线相切 规律方法 解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法 1直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与 系数的关系. 2有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦 点，可直接使用公式|AB|x1|x2|p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式. 3涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设 而不求”“整体代入”等解法. 已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：yx的一 个交点的横坐标为 8. (1)求抛物线C的方程； (2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点 为P，且|OP|PB|，求FAB的面积. 解 (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，8)， (8)22p×8， 2p8， 抛物线方程为y28x. (2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x 轴的交点为M. 由Error!得y28y8m0，6432m0，m2. y1y28，y1y28m，x1x2m2. y2 1y2 2 64 由题意可知OAOB，即x1x2y1y2m28m0， m8 或m0(舍)，直线l2：xy8，M(8,0) 故SFABSFMBSFMA ·|FM|·|y1y2| 1 2 324.y1y224y1y25 1(2018·全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2,0)且斜率为 的直线与C 2 3 交于M，N两点，则·( )FM FN A5 B6 C7 D8 D D 法一 ： 过点(2,0)且斜率为 的直线的方程为y (x2)， 由Error!得x25x40， 2 3 2 3 解得x1 或x4，所以Error!或Error!不妨设M(1,2)，N(4,4)，易知F(1,0)，所以(0,2)，FM (3,4)，所以·8.故选 D.FN FM FN 法二：过点(2,0)且斜率为 的直线的方程为y (x2)，由Error!得x25x40， 2 3 2 3 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y10，y20，根据根与系数的关系，得x1x25，x1x24.易 知F(1,0)， 所以(x11，y1)，(x21，y2)， 所以·(x11)(x21)y1y2x1x2FM FN FM FN (x1x2)1445188.故选 D.x1x2 2 (2016·全国卷)设F为抛物线C：y24x的焦点， 曲线y (k0)与C交于点P，PFx k x 轴，则k( ) A. B1 C. D2 1 2 3 2 D D y24x，F(1,0) 又曲线y (k0)与C交于点P，PFx轴，P(1,2) k x 将点P(1,2)的坐标代入y (k0)得k2.故选 D. k x 3(2018·全国卷)已知点M(1,1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直 线与C交于A，B两点若AMB90°，则k_. 2 2 法一 ： 由题意知抛物线的焦点为(1,0)， 则过C的焦点且斜率为k的直线方程为yk(x 1)(k0)， 由Error!消去y得k2(x1)24x， 即k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2， y2)， 则x1x2，x1x21.由Error!消去x得y24， 即y2y40， 则y1y2 2k24 k2( 1 ky1) 4 k ，y1y24.由AMB90°， 得·(x11，y11)·(x21，y21)x1x2x1x21 4 k MA MB y1y2(y1y2)10，将x1x2，x1x21 与y1y2 ，y1y24 代入，得k2. 2k24 k2 4 k 法二：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Error! 所以yy4(x1x2)， 则k.取AB的中点M(x0，y0)， 分别过点A，B 2 12 2 y1y2 x1x2 4 y1y2 作准线x1 的垂线，垂足分别为A，B，又AMB90°，点M在准线x1 上，所以 |MM| |AB| (|AF|BF|) (|AA|BB|)又M为AB的中点，所以MM平行 1 2 1 2 1 2 于x轴，且y01，所以y1y22，所以k2. 4 (2017·全国卷)已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y 轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_. 6 6 如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线 的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，PMOF. 由题意知，F(2,0)，|FO|AO|2. 点M为FN的中点，PMOF， |MP| |FO|1. 1 2 又|BP|AO|2， |MB|MP|BP|3. 由抛物线的定义知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6. 自我感悟：_ _ _
